高数解析几何复习试题及答案
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东华
李
解析几何部分复习题及答案
1. 设 a i j , b 2 j k ，则 a b
11 。
a bx a 2. 已知 a 为非零向量， b 2 , a 与 b 的夹角为 ，求 lim 。 x0 3 x
lim
x0
a bx a x
yoz 面上投影直线：
5 y 4 z 1 0 ； x 0
xoz 面上投影直线：
5 x 3 z 7 0 y 0
x 2 y 2 z 2 1 31. 求两个球面的交线 2 在 xOy 面上的投影曲线方程。 2 2 x y 1 z 1 1 x2 2 y2 2 y 0 z 0
| AC |2 | AB AD |2 | 6a b |2 (6a b) (6a b) 225 | BD |2 | AB AD |2 | 4a 5b |2 593
| AC | 15
| BD | 593
6. 在 yoz 面中求向量 p ，使它垂直于向量 a (12, 3, 4) 且与 a 有相同的模。
1 3 ( , 1, ) 2 2
22. P 1,1,2 到平面 x 2 y 2 z 1 的距离为 。
4 3
23. 求点 P0 1,0,1 到直线 L :
x y 3 的距离。 3 x y z 1
3
东华
李
求出一个线上点 P 1, 4, 0 ，直线的方向向量为 s 1, 1, 2
3. 求与三点 M 1 (1, 1, 2), M 2 (3, 3,1), M 3 (3,1, 3) 决定的平面垂直的单位向量。
17 (3, 2, 2) 17
4. 设 a , b 为非零向量，且向量 a 在向量 b 上的投影等于向量 b 在向量 a 上的投影，问向量
a , b 有什么关系。
18. 在直线方程 行。
m 2, n 0, p 6
19. 求 球 面 x y z 2 x 2 z 11 的 与 平 面 x y z 1 平 行 ， 且 与 直 线
2 2 2
x y z 3 垂直的直径所在的直线方程。 1 1 2
( x 1) 2 y 2 ( z 1) 2 13 ，球心为 1, 0,1 ， s (1,1, 1) (1, 1, 2) (1, 3, 2) ，
1 35 210 | AB AC | ； （3）高= 2 2 6
x 1 y z 绕 z 轴旋转生成的旋转曲面方程。 0 1 1
设曲面上任意一点为 M ( x, y , z ) ，过 M 做平面垂直于 z 轴交直线于点 M ( x1 , y1 , z ) ， M 在 直线上所以 x1 1, y1 z ，两个点到 z 轴距离相等， x 2 y 2 x12 y12 1 z 2 ，故所求曲 面方程为 x y z 1
2 2 2 O 到 M1， M2 距离相等推出 t=1,进而 R=5，( x 1) ( y 1) z 25 O (7t 6, t , 5 5t ) ，
29. 求直线
x y z 1 在平面 x y z 0 上的投影直线。 x y z 1
52 39 p ( 0 , , ) 5 5 7. 已知非零向量 a , b 不共线，令 c ma b ，其中 m 为实数，证明当 c 最小时 c a 。
设 p (0, y , z ) ， p a 0 ,
| p || a |
| c |2 ( ma b) (ma b) m 2 | a |2 2ma b | b |2
作平面束 x y z 1 ( x y z 1) 0 ， ( 1) x (1 ) y ( 1) z 1 0
( 1,1 , 1) (1,1,1) 0 ， 1 ， y z 1 0
= lim
x0
= lim x a bx + a ） x 0 （
a bx a
2
2
a +|bx|2 +2xa b a x （ a bx + a ）
2
2
lim
x0
|bx|2 +2x | a | | b |
1 2 x （ a bx + a ）
lim
4 x 2 +2x | a | 1 x0 2x a
x y 0 x 3 y 1 0 和 L2 : 相交的直 x y z 4 0 y z 2 0
4 5
x 9 y 5 z 20 0
设通过 L2 和 P 的平面方程为 x 3 y 1 ( y z 2) 0 ，将 P (2, 3,1) 代入方程得
d
P0 P s |s|
93 3
24. 三角形 ABC 的三个顶点分别为 A(1,0,0), B (3,1,1), C ( 2,1,2) ，求（1）过 A，B，C 三点的平面的法向量； （2）求三角形 ABC 的面积； （3）求点 C 到边 AB 的高。 （1） n AB AC 1, 5, 3 ； （2） S 25. 求直线 L :
cos
1 2
cos
2 2
cos
2 1 ， 3 2
3 4
3
9. 直线
x2 y3 z 4 π 与平面 2 x y z 6 0 的交角为 。 1 1 2 6
10. 平面 3 x y z 4 与平面 x y z 1 的夹角为 arccos
设 M 1 (1, 2,1), M 2 (5, 2, 7), M 1M 2 4(1,1, 2), n1 (1,1, 2) , 所 求 平 面 法 向 n1 (1,1, 2) ， (1,1, 2) n1 2(1,1,1) ，故可取所求平面法向量为
直线的方程为
x 1 y z 1 1 3 2
20. 求点 P0 1,2,0 在平面 x 2 y z 1 0 上的投影点的坐标。
(
5 2 2 , , ) 3 3 3 x 1 y z 3 上投影点的坐标。 1 2 3
21. 求点 P 0,0,1 在直线
a b |b | a b |a|
| a | | b | 或 a b 0
5. 设 a 2 2 , b 3 ，向量 a 与向量 b 的夹角为
π ， AB 5a 2b , AD a 3b ，试 4
求以 AB , AD 为边的平行四边形的对角线的长度。
2 2 2
26. 设圆柱面 S 的轴线是 L : S 的方程。
x y 1 z 2 ，点 p 0 (1,1,0) 在圆柱面 S 上，求圆柱面 1 2 2
设圆柱面上任一点为 P ( x, y , z ) ，L 上一点 M (0,1, 2),s (1, 2, 2) ，
MP ( x, y, z 2), MP 0 ( x 1, y 1, z ) ，P0, P 到 L 距离相等所以
(3)
2, m 2 或>10 时相离。
28. 若球面过点 M 1 1,3,3 和 M 2 5,2,0 且球心在直线
x 2 y z 1 上，求它的方程。 2 x y 3 z 3
4
东华
李
直线化为对称式方程
x6 y z 5 ，球心在直线上，故可设球心坐标为 7 1 5
33 。 11
11. 平面通过 M 1 ( a , a , 0), M 2 ( a , a , a ), O (0, 0, 0) 求该平面与平面 xoy 的交角。 ( a 0)
OM 1 (a, a, 0), OM 2 ( a, a, a ),
n1 (1, 1, 2), n2 (0, 0,1)
5
x 9 y 5 z 20 0 x 2 y 5 z 9 0 ，所求直线为两个平面的交线 L2 : x 2 y 5z 9 0
x4 y z 5 中，m, n, p 各取何值时， 直线与坐标平面 xoy , yoz 都平 2m n 6 p
x y 1 z 2 3 1 2
16. 过 0,0,0 而且与直线
x 2 y z 1 平行的直线方程为 2 x y z 0
。
2
东华
李
x y z 1 3 5
17. 求过点 P (2, 3,1) 且与两直线 L1 : 线方程。 设通过 L1 和 P 的平面方程为 x y z 4 ( x y ) 0 ，将 P (2, 3,1) 代入方程得
MP s MP0 s ， MP s MP0 s ，
(2 y 2 z 2) 2 (2 x z 2) 2 (2 x y 1) 2 32
27. 讨论平面 x 2 y 2 z m 0 与球面 x y z 8 x 2 y 6 z 22 0 间各种相
1
东华
李
当m
a b |a|
2
2
时 c 最小，此时 c a m 2 | a |2 a b a b a b 0
8. 已知两点 M 1 4, 2 ,1 和 M 2 3,0,2 ，计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦和方向角。
| M 1 M 2 | 2
2 2 2
2 2
互位置关系。
( x 4) 2 ( y 1) 2 ( z 3) 2 4 ，球心为 4, 1,3 , R 2 ， d
426m 3
m4 3
，
(1)
m4 3 m4 3
2, 2 m 10 时相交； (2)
m4 3
2, m 2 或 m=10 时相切；c
投影直线为
y z 1 0 。 x y z 0
30. 把直线
2 x y 2 z 3 0 投影到三个坐标面上，分别求出三条投影直线的方程。 x 2 y z 1 0 4 x 3 y 5 0 ； z 0
xoy 面上投影直线：利用方程组的两个方程消去 z,与 z=0 联立得
12. 讨论直线 L :
OM 1 OM 2 ( a 2 , a 2 , 2a 2 ) a 2 ( 1, 1, 2)
2 6
夹角为 a rccos
x y5 z6 和平面 : 15 x 9 y 5 z 12 的位置关系。 2 5 3
。
夹角为 0，且直线不在平面内，故直线与平面平行. 13. 过 1,2,1 及 5,2,7 且与平面 x y 1 0 垂直的平面方程为
n 2 (1,1,1) ，平面方程为 x y z 0
14. 求经过直线
x 1 y z 2 ，且与平面 2 x y z 2 垂直的平面方程。 2 3
x -2y 4 z 0
15. 求过点 0,1,2 ，与直线
x 1 y 1 z 相交且垂直的直线方程。 1 1 2
李
解析几何部分复习题及答案
1. 设 a i j , b 2 j k ，则 a b
11 。
a bx a 2. 已知 a 为非零向量， b 2 , a 与 b 的夹角为 ，求 lim 。 x0 3 x
lim
x0
a bx a x
yoz 面上投影直线：
5 y 4 z 1 0 ； x 0
xoz 面上投影直线：
5 x 3 z 7 0 y 0
x 2 y 2 z 2 1 31. 求两个球面的交线 2 在 xOy 面上的投影曲线方程。 2 2 x y 1 z 1 1 x2 2 y2 2 y 0 z 0
| AC |2 | AB AD |2 | 6a b |2 (6a b) (6a b) 225 | BD |2 | AB AD |2 | 4a 5b |2 593
| AC | 15
| BD | 593
6. 在 yoz 面中求向量 p ，使它垂直于向量 a (12, 3, 4) 且与 a 有相同的模。
1 3 ( , 1, ) 2 2
22. P 1,1,2 到平面 x 2 y 2 z 1 的距离为 。
4 3
23. 求点 P0 1,0,1 到直线 L :
x y 3 的距离。 3 x y z 1
3
东华
李
求出一个线上点 P 1, 4, 0 ，直线的方向向量为 s 1, 1, 2
3. 求与三点 M 1 (1, 1, 2), M 2 (3, 3,1), M 3 (3,1, 3) 决定的平面垂直的单位向量。
17 (3, 2, 2) 17
4. 设 a , b 为非零向量，且向量 a 在向量 b 上的投影等于向量 b 在向量 a 上的投影，问向量
a , b 有什么关系。
18. 在直线方程 行。
m 2, n 0, p 6
19. 求 球 面 x y z 2 x 2 z 11 的 与 平 面 x y z 1 平 行 ， 且 与 直 线
2 2 2
x y z 3 垂直的直径所在的直线方程。 1 1 2
( x 1) 2 y 2 ( z 1) 2 13 ，球心为 1, 0,1 ， s (1,1, 1) (1, 1, 2) (1, 3, 2) ，
1 35 210 | AB AC | ； （3）高= 2 2 6
x 1 y z 绕 z 轴旋转生成的旋转曲面方程。 0 1 1
设曲面上任意一点为 M ( x, y , z ) ，过 M 做平面垂直于 z 轴交直线于点 M ( x1 , y1 , z ) ， M 在 直线上所以 x1 1, y1 z ，两个点到 z 轴距离相等， x 2 y 2 x12 y12 1 z 2 ，故所求曲 面方程为 x y z 1
2 2 2 O 到 M1， M2 距离相等推出 t=1,进而 R=5，( x 1) ( y 1) z 25 O (7t 6, t , 5 5t ) ，
29. 求直线
x y z 1 在平面 x y z 0 上的投影直线。 x y z 1
52 39 p ( 0 , , ) 5 5 7. 已知非零向量 a , b 不共线，令 c ma b ，其中 m 为实数，证明当 c 最小时 c a 。
设 p (0, y , z ) ， p a 0 ,
| p || a |
| c |2 ( ma b) (ma b) m 2 | a |2 2ma b | b |2
作平面束 x y z 1 ( x y z 1) 0 ， ( 1) x (1 ) y ( 1) z 1 0
( 1,1 , 1) (1,1,1) 0 ， 1 ， y z 1 0
= lim
x0
= lim x a bx + a ） x 0 （
a bx a
2
2
a +|bx|2 +2xa b a x （ a bx + a ）
2
2
lim
x0
|bx|2 +2x | a | | b |
1 2 x （ a bx + a ）
lim
4 x 2 +2x | a | 1 x0 2x a
x y 0 x 3 y 1 0 和 L2 : 相交的直 x y z 4 0 y z 2 0
4 5
x 9 y 5 z 20 0
设通过 L2 和 P 的平面方程为 x 3 y 1 ( y z 2) 0 ，将 P (2, 3,1) 代入方程得
d
P0 P s |s|
93 3
24. 三角形 ABC 的三个顶点分别为 A(1,0,0), B (3,1,1), C ( 2,1,2) ，求（1）过 A，B，C 三点的平面的法向量； （2）求三角形 ABC 的面积； （3）求点 C 到边 AB 的高。 （1） n AB AC 1, 5, 3 ； （2） S 25. 求直线 L :
cos
1 2
cos
2 2
cos
2 1 ， 3 2
3 4
3
9. 直线
x2 y3 z 4 π 与平面 2 x y z 6 0 的交角为 。 1 1 2 6
10. 平面 3 x y z 4 与平面 x y z 1 的夹角为 arccos
设 M 1 (1, 2,1), M 2 (5, 2, 7), M 1M 2 4(1,1, 2), n1 (1,1, 2) , 所 求 平 面 法 向 n1 (1,1, 2) ， (1,1, 2) n1 2(1,1,1) ，故可取所求平面法向量为
直线的方程为
x 1 y z 1 1 3 2
20. 求点 P0 1,2,0 在平面 x 2 y z 1 0 上的投影点的坐标。
(
5 2 2 , , ) 3 3 3 x 1 y z 3 上投影点的坐标。 1 2 3
21. 求点 P 0,0,1 在直线
a b |b | a b |a|
| a | | b | 或 a b 0
5. 设 a 2 2 , b 3 ，向量 a 与向量 b 的夹角为
π ， AB 5a 2b , AD a 3b ，试 4
求以 AB , AD 为边的平行四边形的对角线的长度。
2 2 2
26. 设圆柱面 S 的轴线是 L : S 的方程。
x y 1 z 2 ，点 p 0 (1,1,0) 在圆柱面 S 上，求圆柱面 1 2 2
设圆柱面上任一点为 P ( x, y , z ) ，L 上一点 M (0,1, 2),s (1, 2, 2) ，
MP ( x, y, z 2), MP 0 ( x 1, y 1, z ) ，P0, P 到 L 距离相等所以
(3)
2, m 2 或>10 时相离。
28. 若球面过点 M 1 1,3,3 和 M 2 5,2,0 且球心在直线
x 2 y z 1 上，求它的方程。 2 x y 3 z 3
4
东华
李
直线化为对称式方程
x6 y z 5 ，球心在直线上，故可设球心坐标为 7 1 5
33 。 11
11. 平面通过 M 1 ( a , a , 0), M 2 ( a , a , a ), O (0, 0, 0) 求该平面与平面 xoy 的交角。 ( a 0)
OM 1 (a, a, 0), OM 2 ( a, a, a ),
n1 (1, 1, 2), n2 (0, 0,1)
5
x 9 y 5 z 20 0 x 2 y 5 z 9 0 ，所求直线为两个平面的交线 L2 : x 2 y 5z 9 0
x4 y z 5 中，m, n, p 各取何值时， 直线与坐标平面 xoy , yoz 都平 2m n 6 p
x y 1 z 2 3 1 2
16. 过 0,0,0 而且与直线
x 2 y z 1 平行的直线方程为 2 x y z 0
。
2
东华
李
x y z 1 3 5
17. 求过点 P (2, 3,1) 且与两直线 L1 : 线方程。 设通过 L1 和 P 的平面方程为 x y z 4 ( x y ) 0 ，将 P (2, 3,1) 代入方程得
MP s MP0 s ， MP s MP0 s ，
(2 y 2 z 2) 2 (2 x z 2) 2 (2 x y 1) 2 32
27. 讨论平面 x 2 y 2 z m 0 与球面 x y z 8 x 2 y 6 z 22 0 间各种相
1
东华
李
当m
a b |a|
2
2
时 c 最小，此时 c a m 2 | a |2 a b a b a b 0
8. 已知两点 M 1 4, 2 ,1 和 M 2 3,0,2 ，计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦和方向角。
| M 1 M 2 | 2
2 2 2
2 2
互位置关系。
( x 4) 2 ( y 1) 2 ( z 3) 2 4 ，球心为 4, 1,3 , R 2 ， d
426m 3
m4 3
，
(1)
m4 3 m4 3
2, 2 m 10 时相交； (2)
m4 3
2, m 2 或 m=10 时相切；c
投影直线为
y z 1 0 。 x y z 0
30. 把直线
2 x y 2 z 3 0 投影到三个坐标面上，分别求出三条投影直线的方程。 x 2 y z 1 0 4 x 3 y 5 0 ； z 0
xoy 面上投影直线：利用方程组的两个方程消去 z,与 z=0 联立得
12. 讨论直线 L :
OM 1 OM 2 ( a 2 , a 2 , 2a 2 ) a 2 ( 1, 1, 2)
2 6
夹角为 a rccos
x y5 z6 和平面 : 15 x 9 y 5 z 12 的位置关系。 2 5 3
。
夹角为 0，且直线不在平面内，故直线与平面平行. 13. 过 1,2,1 及 5,2,7 且与平面 x y 1 0 垂直的平面方程为
n 2 (1,1,1) ，平面方程为 x y z 0
14. 求经过直线
x 1 y z 2 ，且与平面 2 x y z 2 垂直的平面方程。 2 3
x -2y 4 z 0
15. 求过点 0,1,2 ，与直线
x 1 y 1 z 相交且垂直的直线方程。 1 1 2