高数上第一章答案

2016～2017 学年第 一 学期

科目: 高等数学(一)第一章 单元测试题答案

命题教师： 使用班级：全校16级理科

一．单项选择题（每小题2分，共20分）

1．选B 因为A 、C 、D 中两个函数的定义域不同

2．选C 220ln(1)lim 1tan x x x

→+= 3．选C 根据连续的定义.

4．选A 根据连续的定义

5．选D 初等函数在其定义区间是连续的，故只要0)2)(1(≥--x x 即可，由于分母不能取0，故（D ）正确。

6．选Ｄ 00sin sin lim lim 1||x x x x x x ++→→==，00sin sin lim lim 1||x x x x x x

--→→=-=- 0sin lim ||

x x x →∴不存在 7．选Ｄ 11(1)100

lim(1)lim[1()]x x x x x x e ⋅---→→-=+-=， 8．A 00lim ()1,lim ()1(0)x x f x f x f →-→+===，故是连续点。

9．选Ｃ 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0

x f x x →存在，则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0

x f x x →存在，例如x x 1sin lim 0→，函数11sin 1≤≤-x

有界，但在0=x 点极限不存在 10．选Ｃ 003sin 3sin 334lim

lim ,22229

x x mx m mx m m x mx →→===∴=

二. 填空题(每小题3分，共15分，请把答案填在横线上)

11．e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ，所以 e x ≤≤1。

12．.,2x u u y ==

13．2 211

lim ()lim 1--→→==x x f x x 11

lim ()lim(1)1++→→=-=-x x f x ax a 则由连续性，11a -=即2a =

14．8 ，根据书本P48页n 与m 间关系，由于分式→常数4，故m n =，∴0≠a ，且42

=a 15．0

三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）

16. 解：由洛必达法则， 00cos 1cos sin lim lim sin 1cos x x x x x x x x x x x →→--+=-- 0sin sin cos lim sin x x x x x x →++=

3=

17. .解：原式=52525sin 522sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅→x x x x x 18. . 解：2

12lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n

19. . 解：1cos sin lim sin cos lim cot lim 000=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x x x 20.解：20tan sin lim sin x x x x x →- 20tan (1cos )lim sin x x x x x

→-= 20(1cos )lim x x x x x →⋅-=⋅ 12=

21. . 解：原式=()[]22/11lim e x x x =+∞→

四. 计算题（二）(每小题6分，总分18分)

22..求函数32233()6

x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限032lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→-→． 解：2(1)(3)()(2)(3)

x x f x x x -+=-+，故()f x 在(,3)(3,2)(2,)-∞--+∞内连续 220332

11(3)18lim ()(0),lim ()lim ,lim ()22325x x x x x f x f f x f x x →→-→-→---=====-=∞--- 23.求函数x

x y 1sin

=的间断点,并说明间断点所属类型. 如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续. 解：由于x x y 1sin =在0=x 处没有定义，因此0=x 是间断点，且01lim sin 0x x x →=,故0=x 为第一类可去间断点,若定义0)0(=y ,则y 在0=x 处连续.

24. 设2sin 0

() 0 x x x f x a x x <⎧=⎨+≥⎩

要使()f x 在(,+)-∞∞内连续,应当怎样选择数a ?

解：由于函数在()f x 在(,+)-∞∞内连续，故：

200lim sin 0,lim()x x x x a x a -+→→=+=

当0a =时，00lim ()lim ()0x x f x f x -+→→==

则0

lim ()(0)x f x f →=，此时()f x 在0x =连续，也在(,+)-∞∞内连续。 五．证明题（每小题6分， 共6分）

25证明方程01sin =++x x 在开区间⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

2,2ππ内至少有一根. 证明：令,1sin )(++=x x x f 显然,)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,0122sin 2>++=⎪⎭

⎫ ⎝⎛πππf ,.

022<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf , 所以存在一点⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∈2,2ππξ使0)(=ξf 即01sin =++ξξ. 所以方程01sin =++x x 在⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

2,2ππ内至少有一根.

六．应用题（每小题5分， 共5分） 26试确定b a ,之值，使2111lim 2=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。 解：1

)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x 2

11)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧-==231b a 。