二次型的标准型与规范型(课堂PPT)

二、用正交线性替换法 化二次型为标准形
定理 3.14实对称A矩 一阵 定与对角,且 矩存 阵在 正交矩 Q,使 阵得 Q1AQ 为对角 . 阵
定理 4.2对于二X 次 TA型 X,一定存在正Q交 , 矩 使得经过正x交 Q替 y把换 它化为标准
1y122y22nyn2 其中 1,2,,n是二次型的 A的矩全阵部特.
则称上式为该二次型的规范形.
规范形中,正项的个数 p 称为二次型的 正惯性指标,负项个数r－p 称为二次型的负 惯性指标. r 是二次型的秩. p – ( r – p ) = 2p – r 称为二次型的符号差
例 .如果二 f(x 次 1,x2型 ,x3,x4,x5)的正惯性 2, 指 秩4 为 ,则它的规y范 1 2y2 2 形 y3 2为 y4 2
e1
p1 p1
1 2
1 1 0
,
e2
p2 p2
1 6
1 1 2
,
e3
p3 p3
1 3
1 1 1
.
一般地，用正交线性替换将二次型 f ( x1 , x2 ,
…, xn ) = xTAx (其中 AT = A) 化为标准形的步骤如下:
Step1 Step2 Step3
求出二次型矩阵 A 的全部特征值 1 , 2 , … , n ; 求出正交矩阵 P，使 PTAP = diag(1 , 2 , … , n) ;
定理 4.3'对任意对A 称 ,都矩存阵在一个C可 , 逆 使CTAC为对角,即 矩阵
即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
四、用初等变换法 化二次型为标准形
对A施以一系列 A 行初等变换 E 对 A 施以一系列
E
同种列初等变换
PsT…P2TP1TAP1P2…Ps P1P2…Ps
例4
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
如果二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) = xTAx (其中 AT = A) 通过可逆线性替换可以化为
y12 + … + yp2 – y2p+1 – … – yr2 ( p r n )
化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.
例 3 用配方法化二次型
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形.
定4 理 .3每个二次型线 都性 可替 经换 可化 逆
对任意二次xT型 Ax, 对任意对称矩 A,阵 存在可逆线性x替C换 y, 存在可逆矩C,阵 使得 yT(CTAC )y为标准 使 形得矩 CTA 阵C 为对角
任一(实)二次型一定可以通过正交线性替换化 为标准形.
例 1 用正交线性替换化下列二次型为标 准形, 并求出所作的正交线性替换:
f(x1,x 2,x 3)
2x1x22x1x32x2x3;
1 1
|E A| 1 1(2)1 ()2,
1 1
1
1
p1 1 , p2 1 , p 3
0
2
1 1 . 1
B = CTAC = diag(d1 , d2 , … , dr , 0 , … , 0).
d 1 d2
y 1 y2
(y1,y2,..yn .),
dr 0
yr
yr1
0 y n
d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 . .d .ry r 2
d1y1 2d2y2 2...dryr 2的秩 r 为
定理 4.4 任一二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) 都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规
范形是唯一的. 推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵
Ep
推论 2
合同,其中 1 和－1的个数
Er p
wk.baidu.com O
共有r个,r
为二次型的秩.
两个实对称矩阵合同的充分必要条件
是它们具有相同的正惯指数和秩.
第二节 二次型的标准形与规范形
标准形的定义 正交线性替换法 配方法 初等变换法 二次型的规范形
一、标准形的定义
定义 二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退化 线性替换 x= Cy所变成的如下形式(只含平方项)
yTBy = d1y12 + d2y22 + … + dryr2 ( r n ) (4.5) 的二次型称为二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的标准形. 不难看出，二次型 (4.5) 的矩阵 B 为 n 阶对角 矩阵. 即
用初等变换法化二次型
f1x 21 23x2 21x 23 2
1x 21x22x 41x38x2x3
为标准形.
例 5 用初等变换法化二次型
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形.
五、二次型的规范形
标准形唯一吗？ 标准形不唯一!
作正交线性替换 X = PY ，其中
Y = (x1 , x2 , … , xn )T Rn ，则二次型 f ( x1 , x2 , … ,
xn ) 化为标准形 1y12 + 2y22 + … + nyn2 .
三、用配方法 化二次型为标准形
例 2 用配方法把三元二次型
f(x 1,x2,x3)2x 1 23x2 2x3 2 4x 1x24x 1x38x2x3