高中数学人教A版必修2空间直角坐标系讲义
高中数学人教A版2教案：空间直角坐标系含解析
空间直角坐标系【教学目标】1。
掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法;通过本节的学习,培养学生类比,迁移，化归的能力。
2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神.【重点难点】教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点:通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标，以及相关应用。
【课时安排】1课时【教学过程】导入新课大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车,汽车要低得多，原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题：空间直角坐标系。
推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示?②在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2，建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.②在初中，我们学过平面直角坐标系，平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy，xOy 称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直；②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面，它们是一对有序实数(x,y）.③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系，即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2，OABC—D′A′B′C′是单位正方体，我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系，以O 为原点，分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA，OC，OD′的长为单位长度，建立三条数轴Ox，Oy，Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中O叫坐标原点，x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，我们又得到三个坐标平面xOy平面，yOz平面,zOx 平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素，即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定。
高一数学人必修二课件第四章空间直角坐标系
坐标平面
由任意两个坐标轴确定的 平面称为坐标平面，分别 是xy平面、yz平面和zx平 面。
空间点坐标表示方法
空间中任意一点P的位置可以用三个 实数x、y、z来表示，称为点P的坐标 。
根据点P在三个坐标平面上的投影， 可以确定点P在三个坐标轴上的坐标 值。
点P的坐标记作(x,y,z)，其中x是点P到 y轴和z轴的距离，y是点P到x轴和z轴 的距离，z是点P到x轴和y轴的距离。
空间向量加法
空间向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，即两个向量的和等于以这两 个向量为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量。
空间向量减法
空间向量减法可以转化为加法进行，即减去一个向量相当于加上这个向量的相 反向量。
空间向量数量积运算
空间向量数量积的定义
空间向量的数量积是一个标量，等于两向量的模的乘积与它们之间夹角的余弦的 乘积。
06
空间解析几何初步应用
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量运算和数量积的性质， 推导点到直线距离的公式。
应用举例
利用点到直线距离公式，解决空 间中点到直线的最短距离问题。
两点间距离公式推导及应用
公式推导
根据空间两点坐标，利用向量模长公式推导两点间距离的公 式。
应用举例
应用两点间距离公式，计算空间中任意两点之间的距离。
通过消元法，将空间曲线表示为两个三元一次方程的联立形式。
空间曲线的参数方程
选定适当的参数，将空间曲线上的点的坐标表示为参数的函数。
空间曲线在坐标面上的投影
通过将空间曲线方程中的某一坐标设为常数，可以得到曲线在相应 坐标面上的投影方程。
空间曲面方程
空间曲面的一般方程
01
高中数学4.3空间直角坐标系课件新人教A版必修2
置关系是
()
A．关于 x 轴对称
B．关于 xOy 平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
答案：A
5．如图所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC ⊥CB，D，E 分别是棱 AB，B1C1 的中点，F 是 AC 的中点，求 DE，EF 的长度．
答案：|DE|＝ 5 |EF|＝ 6
空间中点的对称
[例 2] (1)点 A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的对称点的 坐标分别是________．
(2)已知点 P(2,3，－1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1，点 P1 关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2 关于 z 轴的对称点为 P3， 则点 P3 的坐标为________．
A. 2a
C．a 答案：B
B. 1
D.2a
12.空间直角坐标系的应用误区
[典例] 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，所有棱 长都为 2，侧棱 AA1⊥底面 ABC，建立适当坐标系 写出各顶点的坐标．
[随堂即时演练]
1．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的位
[解] 以 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AA1 的方向分别为正 方向建立空间直角坐标系，如图所示．
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4， 则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝12|AB|＝12， 所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－12＝32. 所以点 E 的坐标为1，32，0，点 F 的坐标为(1,2,1)．
[活学活用] 如图所示，V-ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E，F 分别为 BC， CD 的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系， 试分别写出各个顶点的坐标．
4.3.《空间直角坐标系》课件(新人教A版必修2)
思考2:平面直角坐标系由两条互相 垂直的数轴组成，设想：空间直角 坐标系由几条数轴组成？其相对位 置关系如何？在平面上如何画空间 直角坐标系？ z 三条交于一点且两 两互相垂直的数轴 ∠xOy=135° ∠yOz=90°
O
y
x
思考3:在长方体中，如何建立直角坐标系？
OABC D A B C 是长方体．以O为原点，分别以 如图， 射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向，，建立三条数轴：x轴、 y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标 O xyz， 其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、 yOz平面、zOx平面．
知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标
思考1:在平面直角坐标系中，点M的 横坐标、纵坐标的含义如何？
(x,y)
|x| |y|
y
O
x
思考2：怎样确定空间中点M的坐标？
设点M是空间的一个定点，过点M分别作 垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、 y 轴和z 轴于点P、Q和R． 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐 标分别是x，y和zz ，那么点M就对应唯一确定 的有序实数组（x，y，z）．
设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位 置关系如何？在平面上如何画空间直角坐标系？ C1 思考3:在长方体中，如何建立直角坐标系？ D1 思考4：什么是右手直角坐标系？ A1 B1
思考5：怎样确定空间中点
O A B
C
M的坐标？
知识探究（一）：空间直角坐标系
思考1:数轴上的点M的坐标用一个实 数x表示，它是一维坐标；平面上的 点M的坐标用一对有序实数（x，y） 表示，它是二维坐标.设想：对于空 间中的点的坐标，需要几个实数表 示？ (x,y) y
高中数学第1部分第四章43空间直角坐标系课件新人教A版必修2
判断直线与平面的位置关系
通过计算直线与平面的交点个数，判断直线与平面的位置关系，如平行、相交或垂直。
点、线、面的对称关系
点关于直线、平面对称
通过计算点到对称轴或平面的距离，判断点是否关于直线或平面 对称。
直线关于点、平面对称
通过计算对称轴或平面上的点到直线的距离，判断直线是否关于点 或平面对称。
高中数学第1部分第四章43空间直 角坐标系课件新人教a版必修(2)
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系中的向量运算 • 空间直角坐标系中的平面方程
• 空间直角坐标系中的直线方程 • 空间直角坐标系中的点、线、面
之间的位置关系
01 空间直角坐标系的基本概念
空间直角坐标系的定义
01
空间直角坐标系是三维空间中的 一个固定坐标系，由三条互相垂 直的数轴构成，分别为x轴、y轴 和z轴。
02 空间直角坐标系中的向量运算
向量的加法与数乘运算
向量的加法
向量加法遵循平行四边形法则， 即以两个向量为邻边作平行四边 形，对角线上的向量即为两向量 的和。
数乘运算
数乘是指一个实数与向量的乘积 ，其实质是改变向量的长度或方 向。
向量的数量积与向量积运算
向量的数量积
数量积定义为两个向量的模的乘积与 它们夹角的余弦值的乘积，也称为点 积。
THANKS 感谢观看
平面方程的基本形式
01
02
03
点斜式方程
通过已知的一点和该点处 的斜率来表示平面方程， 公式为$y - y_1 = m(x x_1)$。
两点式方程
通过两个已知的点来表示 平面方程，公式为$y y_1 = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$。
高中数学必修二4.3.1空间直角坐标系课件
( 1 ,0, 1 ),(1, 1 , 1 ),( 1 ,1, 1 ),(0, 1 , 1 );
2 2 22 2 2 22
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上层这五个钠原子所 在位置的坐标分别是
(0,0,1), (1,0,1), (1,1,1),
(0,1,1),( 1 , 1 ,1);
22
y
x
练习：在空间直角坐标系中描出下列各点， 并说明这些点的位置。
图：建立空间直角坐标系 O xyz 后，
试写出全部钠原子所在位置的坐标。
z
y x
解: 把图中的钠原子分成下,中,上三层来 写它们所在位置的坐标.
下层五个钠原子所在位置的坐标分别是
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),( 1 , 1 ,0);
22
中层这四个钠原子所在位置的坐标分别是
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）
D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
解：
z
3 D•
2• B
1 •A C
F• O 1 •2 y 21
•E
x
课后练习：
z
解：
D
P
C
A
B
O xA
Cy B
解：
z
D A
O xA
C
B Q
Cy B
练习：点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点 ，写出满足下列条件的点的坐标.（课本138题1）
A
x -1
0
y
P
N
0
Mx
12
数轴上的点可用与 这个点对应的实数 x来表示。
平面直角坐标系上的点用 它对应的横纵坐标，即一 对有序实数对(x,y)表示。
人教A版高中数学必修二4.3.空间直角坐标系课件
【变式练习】 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|
=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′与B′D′相交于点P.
分别写出点C，B′，P的坐标. z
答案：ห้องสมุดไป่ตู้
D
A
P
C
B
AO x
Cy B
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图（1）是食 盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 1 的小正
z
在空间中，到定点的距离
等于定长的点的轨迹是 以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
P
O y
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？
如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、
轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x, y, z)
确定的点M. z
R
pO x
M y
Q
这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组 (x, y, z)
来表示，有序实数组 (x, y, z) 叫做点M在空间直角坐标 系中的坐标，记作M (x, y, z).其中 x, y, z
分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.
关于谁对称谁 不变
在空间直角坐标系中，若 已知两个点的坐标，则这两点 之间的距离是惟一确定的，我 们希望有一个求两点间距离的 计算公式，对此，我们从理论 上进行探究.
y
y2
P2(x2, y2)
y1 P1(x1,y1) Q(x2,y1)
O x1
x2 x
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
人教A版数学必修二空间直角坐标系.pptx
∴|EF|＝＝a2 0a2， a2
4
4
2 2
答案 B
10．与点A(－1,2,3)，B(0,0,5)的距离相等的点的坐 标满足的条件为________．
解析 设满足条件的点的坐标为(x，y，z)，由题意 可得
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 x2 y2 (z 5)2 ，
即2x－4y＋4z－11＝0.
垂线AP，垂足为P
过点M作与 平面 xoy垂
直的垂线MA，垂足为A
自学引导
2．空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用 有序实数组(x，y，z) 来表 示，有序实数组(x，y，z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的 坐标，记作M(x，y，z)．其中 x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标．
12．(创新拓展)如图所示，以棱长为1的正方体的具有公共 顶点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．
(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值； 解 (1)∵正方体的棱长为1，P是AB的中点，
∴P (1 , 1 , 1 ) ，∵2|CQ|＝|QD|， 222
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x1,y1,z1) OM
P2(x2,y2,z2)
H
y
N
x
自学引导
3．空间两点间的距离公式 (1) 在 空 间 中 ， 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O 的 距 离 |OP|＝
x2＋y2＋z2. (2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝
人教A版高中数学必修二4.3.1 空间直角坐标系课件
一一对应关系，(x,y,z)就叫做M的空间直角坐标，
简称为坐标，记作M(x,y,z)。三个数值x、y、z分 别叫做M点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
思考1：⑴x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点？ ⑵xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何特点？
z D'
A' O
xA
C' B'
Cy B
课堂小结
空间直角坐标系
1.空间直角坐标系的建立(两步)
2.空间中点的坐标(一一对应)
注意特殊位置的点
小试牛刀
解：如图所示，
z 4
O•
6 x
A
C
•M(6,2,4)
2 y
•M0
1
y
1坐标平面
x
知识探究（二）空间中点的坐标的确定
联想平面直角坐标系中，点M的横、纵坐
标的表示方法思考空间直角坐标系中点M
y
的坐标的表示方法
P (x,y) y
O
xx
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
z
z P1
M
1
•
M点坐标为
x
•o
1
1
x
yy
•M0
(x,y,z)
注意：在建立了空间直角坐标系后，空
z x轴上的点:(0,0)
O
y
x
xOy平面上的点:(x,y,0)
典例精析
例1:设点M的坐标为（a，b，c）过点M分别作xOy
平面、yOz平面、xOz平面的垂线，那么三个垂足 的坐标分别如何？
z
C(a,0,c)
C O
B(0,b,c)
高一数学人教版A版必修二课件：4.3.1 空间直角坐标系
第四章 § 4.3 空间直线坐标系4.3.1 空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式；2.掌握空间中任意一点的表示方法；3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点 空间直角坐标系思考1 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？答案 三个.思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？答案 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直.1.空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴： ，这样就建立了一个 (2)相关概念： 叫做坐标原点，叫做坐标轴，通过x 轴、y 轴、z 轴空间直角坐标系Oxyz x 轴、y 轴、z 轴两个坐标轴每点O xOy yOz zOxx 轴y 轴z 轴3.空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用 来表示，_________________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中叫做点M 的横坐标，叫做点M 的纵坐标， 叫做点M 的竖坐标.有序实数组(x ，y ，z )有序实数组(x ，y ，z )(x ，y ，z )x y z题型探究 重点难点 个个击破类型一 求空间点的坐标例1 (1)如图，在长方体ABCD－AB1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5，1|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标.(2)在棱长为a的正四棱锥P－ABCD中，建立适当的空间直角坐标系.①写出四棱锥P－ABCD各个顶点的坐标；②写出棱PA的中点M的坐标.跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD—AB1C1D1中，E、F分别是D1D、1BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝ |CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标.类型二 已知点的坐标确定点的位置例2 在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6).解 方法一 第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二 以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.跟踪训练2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2,0,3)位于( )AA.xOz平面内B.yOz平面内C.y轴上D.z轴上解析 因为点P的纵坐标y＝0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内.类型三 空间中点的对称问题例3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.解 过A作AM⊥平面xOy于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1).过A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)，关于x轴对称的点为B(1，－2,1).跟踪训练3 已知点P(2,3，－1)，求：(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；解 设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数.所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1).同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1).(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；解 设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数.所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3,1).同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1).(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标.解 点P(2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1).达标检测 451231.点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )DA. B.|a| C.|b| D.|c|解析 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2.点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是( )C A.(4,2,2) B.(2，－1,2)C.(2,1,1)D.(4，－1,2)解析 设点P与Q的中点坐标为(x，y，z)，3.在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射(0,2，－3)影的点的坐标是__________.解析 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3).4.点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为____________；点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标为________________.解析 点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为(1,1，－1)，点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标为(－1，－1，－1).(1,1，－1)(－1，－1，－1)5.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标.解 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).规律与方法1.空间中确定点M坐标的三种方法：(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标.(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标.(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标.2.求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.。
人教A版高中数学必修二课件4.3.1空间直角坐标系2
E
1
M (x,y,z)
O
•
C
1
y
P1 F
A
z
M (x,y,z)
1
O
•
1 1p
y
x
M’(x, y, -z)
一个房间的示意图如下, 若要给这个房间安装
一个顶灯, 试确定它的位置.
zD H
F
E 3m
G
4m o xA
6m C
y B
一个房间的示意图如下, 若要给这个房间安装
一个顶灯, 试确定它的位置.
z
yoz平面上的点横坐标为0 y xoz平面上的点纵坐标为0
•1
A
•D
x
二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0
z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
例1：如图
在长方体OABC - DⅱA BⅱC 中，OA =
3，OC = 4，ODⅱ= 2,写出D ，C，Aⅱ ，B
四点的坐标.
A
•P
y
• P2 y
C
z
z P1
1
P点坐标为 (x,y,z)
x
•o
1
1
xM
P
•
yy
N
•P0
(-,-,+)
Ⅲ
(+,-,+) yz 面
Ⅳ
xy 面
(-,-,-)
Ⅶ
x
Ⅷ
(+,-,-)
z zx 面
(-,+,+)
Ⅱ
•O
Ⅰ
y (+,+,+)
Ⅴ
(+,+,-)
高中数学 4.3 空间直角坐标系课件 新人教A版必修2
Ｐ（０，m，０） Ｐ（０，0，m） Ｐ（m，n，０） Ｐ（m，0，n） Ｐ（０，m，n）
13
xOy坐标平面内的点的特点：
xOz坐标平面内的点的特点：
2019/3/24 yOz 坐标平面内的点的特点：
例 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食 盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2 5： 的小正方体堆积成的正方体），其中红 z 色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如 图：建立空间直角 坐标系 O xyz 后， 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。
X
§4.3.1 空间直角坐标系
2019/3/24
1
(1) 空间直角坐标系的定义？
z
D`
A` O A x
2019/3/24
C`
B` C B y
2
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限
2019/3/24 3
空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
纵轴
y
在平面xOy的点有哪些?
z
这些点的坐标有什么共性?
A' B' A B C C' D'
A（0，0，0）
A’（0，0，5）
B（12，0，0） B’（12，0，5）
D
y
C（12，8，0） C’（12，8，5）
D（0，8，0）
D’（0，8，5）
10
2019/3/24
x
例2 如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为
新人教A版必修二.《空间直角坐标系》(第课时)ppt课件
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空间 两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间的
距离公式的推导。
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
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其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，
己先查看一遍，把用不上的部分页面 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。
M(x,y,0)
|PM|=|z|
z
O
P
y
人教A版高中数学必修二空间直角坐标系张PPT新(7)课件
将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z 轴均成135°，而z轴垂直于y轴，，y轴和z轴的长度单 位相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的一 半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
知识点:
如何建立空间直角坐 标系?
从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度 的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz，点O叫做
z
A（0，0，0） A’（0，0，5）
A' B'
D' C'
B（12，0，0） B’（12，0，5） C（12，8，0） C’（12，8，5）
A B
D
y
D（0，8，0） D’（0，8，5）
C
x
例题选讲:
例2
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12， AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射 线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴， 建立空间直角 坐标系，求长方体各个顶点的坐标。
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方 向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向， 则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书上所指的都 是右手直角坐标系。
例题选讲:
例1 在空间直角坐标系中，作出点P（3，2，1）.
z
3
P（3，2，1）
2
1
o
y
1
12 3
2 ①③
3
x
②
例题选讲:
例2
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12， AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射 线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴， 建立空间直角 坐标系，求长方体各个顶点的坐标。
人教A版高中数学必修二课件4.3.1空间直角坐标系
z zox 面
o
y
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面, 空间直角坐标系共有三个坐标面
例1 如图在长方体 OABC DABC 中,|OA|=3,|OC|
=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B
x
解: D′在z轴上,且OD′=2,它的竖坐标是2;它的横 坐标x与纵坐标y都是零,所以点D′的坐标是(0,0,2).
别是
(0,0,0),
(1,0,0),
(1,1,0),
(0,1,0),
(
1 2
,
1 2
,0);
中层的原子全部在xOy平面上,与z轴交点的竖坐
标为 1 ,所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是
2
(
1 2
,0,
1 2
),
(1,
1 2
,
1 2
),
(
1 2
,1,
1 2
),
(0,
1 2
,
1 2
);
上层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交 点的竖坐标为1, 所以,这五个钠原子所在位置的坐标 分别是
(0,0,1),
(1,0,1),
(1,1,1),
(0,1,1),
(
1 2
,
1 2
,1);
课堂小结
1、空间直角坐标系的概念; 2、表示出一点在空间直角坐标系中的坐标.
课后作业 课本习题4.3 (A组)第 1、2 题
高中数学课件
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z
o
y
x 空间直角坐标系 O xyz
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
2019高中数学4.3空间直角坐标系讲义含解析新人教A版必修2
4.3 空间直角坐标系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P134～P137，回答下列问题．(1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？提示：如图所示，设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．(3)设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.①M、N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？②若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，点P1，P2间的距离如何？提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝x1－x22＋y1－y22.②如图，在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.2．归纳总结，核心必记(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．(4)空间两点间的距离公式①点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离，|OP|＝x2＋y2＋z2.②任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离，|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[问题思考](1)给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？提示：是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的坐标？；(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？.(1)如图数轴上A点、B点．(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置．(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？[思考1] 上述(1)中如何确定A、B两点的位置？提示：利用A、B两点的坐标2和－2.[思考2] 上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．[思考3] 对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．讲一讲1．建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．(链接教材P135—例1)[尝试解答] 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．空间中点P坐标的确定方法(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y、P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．练一练1．如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．讲一讲2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[尝试解答] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．练一练2.保持本解中的点P不变，(1)求点P关于y轴的对称点的坐标；(2)求点P关于yOz平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点N(－5,4,3)的对称点的坐标．解：(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(2,1，－4)．(2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(2,1,4)．(3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得－5＝－2＋x2，4＝1＋y2，3＝4＋z2，即x＝2×(－5)－(－2)＝－8，y＝2×4－1＝7，z＝2×3－4＝2，故P3(－8,7,2).(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．[思考1] 如何求数轴上两点间的距离？提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.[思考2] 如何求平面直角坐标系中P、Q两点间距离？提示：d＝|PQ|＝a－m2＋b－n2.[思考3] 若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．讲一讲3．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，试判断△ABC的形状．[尝试解答]|AB|＝－4＋2＋－1－2＋－9＋2＝49＝7，|BC|＝－10＋2＋＋2＋－6＋2＝98＝72，|AC|＝－4＋2＋－1＋2＋－9＋2＝49＝7，则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．练一练3．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.解：(1)|PQ|＝－2＋－2＋＋2＝22.(2)设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，见讲1.(2)求空间中对称点坐标的规律，见讲2.(3)空间两点间距离公式的应用，见讲3.3．本节课的易错点是空间中点的坐标的确定，如讲1.课下能力提升(二十六) [学业水平达标练]题组1 空间直角坐标系的建立及坐标表示 1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．第一象限内解析：选C 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．2．在空间直角坐标系中，点P (4,3，－1)关于xOz 平面的对称点的坐标是( ) A ．(4，－3，－1) B ．(4,3，－1) C ．(3，－4,1) D ．(－4，－3,1)解析：选A 过点P 向xOz 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOz 平面的对称点P ′连线的中点，又N (4,0，－1)，所以对称点为P ′(4，－3，－1)．3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 解析：设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1)4．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.答案：05．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4，则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．6．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.题组2 空间两点间的距离7．(2016·长春高一检测)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 解析：选D 由题意得x －2＋－2＋－2＝26，解得x ＝－2或x ＝6.8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1,2)，中心M (0,1,2)， 所以C 1(－3,3,2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－－2＋－1－2＋－2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：2393[能力提升综合练]1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6解析：选B 由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.2．点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：选B 点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝－2＋＋2＋－2＝4.3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选C BC 的中点坐标为M (1,1,0)，又A (0,0,1)， ∴|AM |＝12＋12＋－2＝ 3.4．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32 D.63解析：选A 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62.5．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(a ，－1，c －2)，则点P (a ，b ，c )到坐标原点O 的距离|PO |＝________.解析：点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(1，b ，－2)，所以点(a ，－1，c －2)与点(1，b ，－2)重合，所以a ＝1，b ＝－1，c ＝0，所以|PO |＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 26．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4187．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，A 1(0,0,2)． ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)． 由两点间距离公式， 得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＋－2＝212. 8．如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0，1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5，|EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.11。
高中数学4.3空间直角坐标系课件新人教a必修2
1．点 P(1,4，－3)与点 Q(3，－2,5)的中点坐标是 导学号 09025061 ( C )
设点P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则
对称轴(或中心或平面)
点P的对称点坐标
原点
(－a，－b，－c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy平面
(a，b，－c)
yOz平面
(－a，b，c)
xOz平面 关于谁谁不变，其它变相反
(a，－b，c)
3．空间两点间的距离公式
平 面 上 任 意 两 点 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 之 间 的 距 离 公 式 |AB| ＝ x1－x22＋y1－y22，那么空间中任意两点 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)之间的距 离公式是怎样的呢？
1．空间直角坐标系
定义
以空间中两两___垂__直_____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y
『规律方法』 确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作 PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作 MB⊥y轴于点B；③设P(x，y，z)，则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|.当点A、B、 C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在 x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时， 则x、y、z的值为0.
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（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学空间直角坐
标系讲义新人教A版必修2
重难点易错点解析
题一
题面：有下列叙述
① 在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）；
②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）；
③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）；
④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。
其中正确的个数是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
题二
题面：已知点A（－3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（）
A、（1，－3，－4）
B、（－4，1，－3）
C、（3，－1，－4）
D、（4，－1，3）
金题精讲
题一
题面：已知点A（－3，1，－4），点A关于x轴的对称点的坐标为（）
A、（－3，－1，4）
B、（－3，－1，－4）
C、（3，1，4）
D、（3，－1，－4）
题二
题面：点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ）
A 、（2，3，－4）
B 、（－2，3，4）
C 、（2，－3，4）
D 、（－2，－3，4）
题三 题面：点P (a ,b ,c )到坐标平面xOy 的距离是（ ）
A 、22a b +
B 、|a|
C 、|b|
D 、|c|
题四
题面：在空间直角坐标系中，点P 的坐标为（1，2，3），过点P 作yOz 平面的垂线PQ ， 则垂足Q 的坐标是______________。
题五
题面：A (1,－2,11),B (4,2,3),C (6,－1,4)为三角形的三个顶点，则ABC ∆是（ ）
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、等腰三角形
题六
题面：若点A (2,1,4)与点P (x ,y ,z )的距离为5，则x ,y ,z 满足的关系式是_______________.
题七
题面：已知点A 在x 轴上，点B （1，2，0），且|AB 5则点A 的坐标是_________________.
题八
题面：以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（）
A、（1
2
，1，1） B、（1，
1
2
，1） C、（1，1，
1
2
） D、（
1
2
，
1
2
，1）
题九
题面：以棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对角线交点的坐标为-__________。
题十
题面：设z为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合图形为__________。
题十一
题面：在空间直角坐标系中，方程x2－4(y－1)2=0表示的图形是（）
A、两个点
B、两条直线
C、两个平面
D、一条直线和一个平面
思维拓展
题面：试写出三个点使得它们分别满足下列条件：
（1）三点连线平行于x轴；
（2）三点所在平面平行于xoy坐标平面；
学习提醒
类比平面，结合立体
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：C
题二
答案：C
金题精讲
题一
答案：A
题二
答案：C
题三
答案：D
题四
答案：（023）
题五
答案：A
题六
答案：
222 (2)(1)(4)25 x y z
-+-+-=
题七
答案：(0,0,0)或（2，0，0）
题八
答案：C 题九
答案：（1
2
，0，
1
2
）
题十
答案：过点（1，2，0）且平行于z轴的一条直线。
题十一
答案：C
满分冲刺
题一
答案；C
题二
答案：29
思维拓展
答案：
（1）（1，2，3），（－2，1，3），（1，－1，3）（只要三点的纵坐标和竖坐标相等即可）。
（2）（1，2，3），（－2，1，3），（1，－1，3）（只要三点的竖坐标相等即可）。