(完整)初中数学专题训练--二次根式--最简二次根式.docx

典型例题一

例 01．下列各式中属于最简二次根式的是（

）

A ．

x 2

1

B ． x y

C ． 12

D ． 1

1

x

2

分析

因 x

y x 12

3 4

2 3.

x

xy ,

x

1

1

3 6

2

2

2

解答

A

说明 最简二次根式必须满足两个条件：

（ 1）被开方数因数是整数，因式是整式； （ 2）

被开方数不能含有开得尽方的因数或因式

.

典型例题二

例 02．在二次根式中

45 ， 2x 3 ，

x ， m 2 n 2 ， 11 ，最简二次根式的个数

4

是（

）

A ． 1 个

B ． 2 个

C ． 3 个

D ． 4 个

分析

因为

45 3 5 ， 2x

3

x 2x ， x

x

都不是最简二次根式， 所以最简

4

2

二次根式有 2 个 .

解答 B

说明

最简二次根被开方数中因数次数只能小于

2，且不能含有分母 .

典型例题三

例 03．在根式

6 ， ( x y) 2

z ， a 2b ， 1

x ，

y y 2

， 8ab ，

，

， x 2

x 2 x

x 3 中，最简二次根式的个数为（

） .

A ． 2

B ． 3

C ． 4

D ． 5

分 析

1

的 被 开 方 数 是 分 式 ，

x

的 被 开 方 数 中 含 有 分 数 因 数

1

，

x

2

2

22 2ab 3 x 22

所以这几个二次根式都不是最简二次根式.

解答C

说明考查最简二次根式的意义.

只要全面了解了最简二次根式的定义，这样的题目就能迎刃而解. 读者可以自行编拟类似的判断题等，互相检查对二次根式的了解情况.

典型例题四

例 04．化简

a3222, ()______.

a b a a b ab a b

分析原式 =

a(222)

a a a a

b b

b

a a

b

a( a b) 2

a

a a

b a

b

因 a b ， a b0 ， a b(a b)

故原式 =a a

解答a a

说明化简时，把能开得尽方的因式移到根号外，但一定要根据其取值范围，将算术平方根移到根号外. 如果将要移出因式是多项式，必须添上括号.

典型例题五

例 05．（1）化简：4x5______;

1

________ .

（ 2）a

a

分析（1）因4x50 ，则x0 ，

故4x52x 2x2x2x

（ 2）因1

0 ， a0，a

故 a 1a a

a a a

a

a

a2

解答 2 x2x ；a

说明在（ 1）中隐含4x50 ，即x0 的条件；在（2）中隐含1

0 ，即 a0 . a

典型例题六

例 06．化简a21

2 (0 a 1)

a 2

解答∵ 0 a1，∴a 11

， a0 .

a a

∴ a21

2(a 1 )2 a2a

a1

a

1

(a)

2

1a

说明本题中 a 与1

的大小关系，是以隐含的形式给出的. a

被开方数可以写成两项差的平方的形式，从而可以利用本节所学公式.

典型例题七

例 07．化简：( y x)

x( x y)

22xy y 2

x

解答 1：∵x y ，∴x y0，

原式 = ( y x)

x y x

x

y x

x y) 2x y x

x

(x y

解答 2：∵x y ，∴y x0，

原式 = (x y)

x( x y)2x x

y) 2( x y) 2

( x

说明可将被开方数的分母写成两项差的平方的形式移出根号，也可将根号外的因式移入根号内 .

典型例题八例 08．把下列二次根式化成最简二次根式：

（ 1）17

；（ 2）4a5b3(a0,b 0, m0)

；259m

（ 3）a b

（ 4）

x 21 a b xy y

解答（1）原式 =3242 242

25525

（ 2）原式 =22 a4b2 ab 2 a2b ab =2a2b abm

32 m3m3m

（ 3）原式 =(a b)( a b)1a2b2

(a b) 2a b

（ 4）原式 =(x1)( x1)x11

( x

1

xy y y(x 1)y

=

y

1) y

y

说明考查二次根式的化简

（1）被开方数是带分数时，首先要将它化为假分数；（ 2）被开方数分解因数或因式后，若分子、分母有公因数（式），应先约去公因数（式），使运算简便 .

典型例题九

例 09．化简下列根式：

（1）(a 1)

a 1；（ 2）x x 1；（3）25a3b(

b 0) 1x2

解答（1）由被开方式

1

0知 a10 a1

∴原式 =(1 a)

11

a

(1a)21

a

1a

1

（ 2）由根式有意义知x10

即 x1 x0

∴原式 =( x)x1(x) 2 ( x1)

(x 1)x 1 x2x2

b0 3b a 0