第2讲 多自由度系统实模态分析

坐标变换法的基础是求解系统特征值问题。 在系统强迫振动微分方程中令激励为零，得 齐次方程，求解归结为数学上的一个特征值 问题。 这一特征值问题与一个特定的振动系统相联 系，反映了系统的固有特性。 特征值（不一定就是模态频率）与模态频率 和模态阻尼相联系，特征矢量（不一定就是 模态矢量）与模态矢量相联系。
Φ Φ1 Φ2 … Φn
无阻尼系统的实模态
（2）特征矢量正交性 任一特征对均满足式 ( K 2 M )Φ 0 。 2 , n ，得 将 0 i , Φi 代入式上式并左乘 ΦT j j 1, 2, 2 ΦT j ( K 0i M )Φi 0 (a) 2 再将 0 i , Φi 代入 ( K 2 M )Φ 0 转置后右乘 Φi ， 2 ΦT (b) j ( K 0 j M )Φi 0 T T K K、M = M 得 其中， 2 2 T (0 (a)-(b)得 (c) j 0i )Φ j MΦi 0 2 2 i j, 0 j 0i 0 ΦT M Φ 0 ( i j ) 系统无重根， j i
多自由度系统实模态
一般的，n个自由度系统有n个主频率和 个n主振型以及n个模态阻尼。 多自由度系统具有多个主振型是区别于 单自由度系统的最本质之处。 此外，还需讨论多自由度系统的频响函 数和脉冲响应函数，即系统的非参数模 型。 下面假设系统受简谐激励，用坐标变换 法研究模态参数模型和非参数模型。
多自由度系统实模态
x Φi yi Φy
i 1 n
02i
ki mi
以上式为变换矩阵的线性变换，反映了物理坐标系与 模态坐标系间的关系，也称为模态展开定理。
无阻尼系统的实模态
将式 x Φi yi Φy 代入 Μx + Kx = 0 ，左乘 ΦT，利用模 i 1 态矢量的正交性，得 式中 diag —对角矩阵。 上式表明，在模态坐标系中，无阻尼自由振动方程变 成一组解耦的振动微分方程。正则形式为 根据初始条件，有下式成立
若 K 是正定矩阵，则 U 0 ，系统没有刚体位移， 称为正定振动系统；若是半正定矩阵，则 U 0 ，系 统将出现刚体位移，称为半正定系统。 一个振动系统是正定或半正定，与结构的边界条件 有关。
1 T 1 x Mx 0,U xT Kx 0 2 2
无阻尼系统的实模态
自由振动时，令 f (t ) 0 则 Μx + Kx = 0 （1）特征值问题 设特解 x = Φe jt Φ —系统自由响应幅值阵列。 jt 将 x = Φe 代入式 Μx + Kx = 0 ，得 ( K 2 M )Φ 0 当 Φ 为零时，这是一个广义特征值问题， 为特征 值， Φ 为特征矢量。上式也是以 Φ 中元素为变量 的n阶代数齐次方程组， K 2 M 为其系数矩阵。该 方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零， 即 K 2 M 0
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2014/9/7
多自由度系统实模态分析
对无阻尼和比例阻尼系统，表示系统主振型的 模态矢量是实数矢量，故称实模态系统，相应的模态 分析过程称为实模态分析。下面首先首先介绍实模态 分析的基本理论。 具有个n个自由度的无阻尼系统振动微分方程为
无阻尼系统的实模态
具有个n个自由度的无阻尼系统振动微分方程为
无阻尼振动系统频响函数
设无阻尼振动系统受简谐激励
f (t ) Fe
jt
无阻尼振动系统频响函数
由 得 其中
(K 2 M ) X F
X H ()F
—激励幅值列阵，n阶。 系统稳态位移响应
F
H ( ) ( K 2 M )1
式中 X —稳态位移响应幅值阵列，n阶。 将它们代入式 Μx + Kx = 0 得 (K 2 M ) X F
坐标系中的自由响应 其中 Di ΦiYi
x Φi yi sin 0i t i Di sin 0i t i
i 1
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主振型的物理意义
如果系统以某阶固有频率 0i 振动，则振动规律
xi Di sin(0i t i ) i 1, 2, , n 即为无阻尼系统的主振动。 根据式 Di ΦiYi 可知， Yi 是与初始条件相关的常量， 则 Di Φi 。 可见，系统以某阶固有频率 0i 作自由振动时，振动 形态与主振型完全相同。这就是主振型的物理意义。
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桥梁结构振动与抗震 （结构动力学部分）
第2讲 多自由度系统 实模态分析
多自由度系统实模态
绝大多数振动结构可离散成为有限个自由度 的多自由度系统。对一个有个自由度的振动系统， 需用个独立的物理坐标描述其物理参数模型。在 线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为个 振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态 的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率 即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率）， 振动形态即系统的主振型（模态），对应每个阻 尼系统的主振动有相应的模态阻尼。
实模态系统的模态特征
考察主振动下各个物理坐标的振动情况，由式 xi Di sin(0i t i ) i 1, 2, , n 知 xi 中每个元素 x ji D ji sin(0it i ) jiYi sin 0it i j 1, 2, , n 在第i个主振型中， i 为与初始条件有关的常量，与 物理坐标 x ji 无关。 所以，在每个主振动中各物理坐标的初始相位角 i 相同。各物理坐标振动的相位角不是同相（相差 00 ） 就是反相（相差 1800 ），即同时达到平衡位置和最 大位置。这说明，无阻尼振动系统的主振型具有模态 （振型）保持性，或“驻波形式”。这是实模态系统 的模态特征。
无阻尼系统的实模态
由 ( K 2 M )Φ 0 共解得n个线性无关非零矢量 Φi 的比 例解，通常选择一定方法进行归一化，称为主振型 (模态振型、模态矢量或模态)。 无阻尼振动系统主振型为固有振型，此时为实矢量 T Φi 1i 2i … ni 特征值与特征矢量称为系统的特征对。对 n 个特征矢 量按列排成一个 n n 阶矩阵
称为系统特征矢量矩阵，此时特征矢量即为模态矢 量，故又称为模态矩阵。
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无阻尼系统的实模态
当 i j 时，定义模态质量（主质量）
mi Φ MΦi
T i
无阻尼系统的实模态
式(c)、(d)、(e)、(f)可表示为 (d)
0 ΦiT MΦi mi i j i j (i, j 1, 2,…, n)
ΦiT KΦi ki i j (i, j 1, 2,…, n)
K 正定或半正定，所以 ki 0
式(d)、(f)代入式(a)，有
02i
ki mi
无阻尼系统的实模态
模态质量 mi 和模态刚度 ki 均与 Φi 的大小有关。而 Φi 各元素比例固定、大小不定。归一化方法不同， Φi 大小不同，得到的 mi 、 ki 值也不同。 ki 的数值大小无直接意义，其比 所以，仅讨论 mi 、 值关系是确定的，即
多自由度系统实模态
所有独立的特征矢量构成一矢量空间的完备 正交基，这一矢量空间称为模态空间，特征 矢量具有特定的加权正交性，以其按列组合 构成的特征矢量矩阵为变换矩阵，可将物理 空间和模态空间相联系。 在模态坐标系中将系统的振动方程解耦，进 而求得物理坐标中的响应，频响函数和脉冲 响应函数也随之而得。
x Xe jt
n n 阶，是 称为无阻尼振动系统的频响函数矩阵， n 实对称矩阵。将坐标变换式 x Φi yi Φy i 1 代入 Μx + Kx = 0 ，左乘 ΦT，并结合模态矢量正交性， 得模态坐标系下的强迫振动方程
diag[mi ] y diag[ki ] y ΦT f (t )
X ΦU Φ diag[
n ΦiΦiT 1 ]ΦT F F 2 ki 2 mi k i 1 i mi
将它代入强迫振动方程，并考虑式 f (t ) Fe jt ，得 则
diag[ki 2 mi ]U ΦT F
T 1 U diag Φ F 2 k m i i
即称为无阻尼振动系统频响函数矩阵的模态展式
H ( )
i 1 n
ΦiΦiT ki 2 mi
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无阻尼振动系统频响函数
无阻尼振动系统频响函数矩阵的模态展式 可直接写出频响函数矩阵的模态展式，即
H () ( K 2 M )1
H ( ) ΦΦ 1 ( K 2 M )(ΦT ) 1 ΦT Φ[ΦT ( K 2 M )Φ]1 ΦT Φ[diag[ki 2 mi ]]1 ΦT n ΦiΦiT 2 k i 1 i mi
Μx + Kx = f (t)
质量矩阵为 M 为正定矩阵，刚度矩阵 K 为半正定 矩阵。对任何非零的 x、x ，系统的动能T和势能
T
Μx + Kx = f (t)
M, K 为系统的质量矩阵和刚度矩阵，它们均为 n n x、x 为位移列阵和加速度列阵 n 1 ， 阶实对称矩阵； n 1 。 f (t ) 为激振力列阵，
是与初始条件有关的常量。 （4）物理坐标系中的自由响应
将式
yi Yi sin(0i t i )
注意到 x=Φy y0 Φ1 x0
T
代入式
n i 1
x Φi yi Φy
i 1
n
n
，得物理
y0 Φ x0 diag[ ]Φ Mx0
1 mi
1 y0 Φ1 x0 diag[ m ]ΦT Mx0 i
1
2 y diag 0i y 0
n
无阻尼系统的实模态
模态坐标系中的自由响应 yi Yi sin(0it i ) 其中
2 Yi y0 i
diag[mi ] y diag[ki ] y 0
02i
2 y0 i
， i arctan
Βιβλιοθήκη Baidu
0i y0i
y0i
无阻尼系统的实模态
式 K 2 M 0 称为特征方程，它是关于 2 的n次代 数方程。 设无重根，解此方程得 的n个互异正根0i (i 1, 2,…,n) ,通常按升序排列成 0 01 02 … 0n 式中，0i 为振动系统第i阶主频率(模态频率)，对应无 阻尼振动系统，主频率即为固有频率。 将每一个 0i 代入式 ( K 2 M )Φ 0 ，得到关于 Φi 中元 素的具有n-1个独立方程的代数方程组。
模态展开定理
（3）实模态坐标系中的自由响应 根据特征矢量正交性，n个线性无关的特征向量 Φi 构 成一个n维矢量空间的完备正交基，称这一n维空间为 模态空间或模态坐标系。对于实模态系统，以n 个模 态矢量构造的模态空间为实线性空间。设物理坐标系 中矢量 x 在模态坐标为 yi i 1, 2, , n ，则
M
正定，所以 mi 0。将式(c)代入式(a)，得
ΦT j KΦi 0 (i j )
(e) (f)
当 i j 时，定义模态刚度（主刚度） Φi
ki ΦiT KΦi
上式表明，第j 阶模态惯性力在第i 阶模态运动中做功 为零； 0 i j 第j阶模态弹性力在第i阶模态运动中做功为零。 即各阶模态运动之间不发生能量交换，但每阶模态 运动的能量（动能+ 势能）是守恒的，这一性质称为 特征矢量关于 M ，K 加权正交。
无阻尼振动系统频响函数
模态坐标系下的强迫振动方程 diag[mi ] y diag[ki ] y ΦT f (t ) 设稳态位移响应
y Ue jt
无阻尼振动系统频响函数
t 将式 x Xe j、式 y Ue jt 代入式
x Φi yi Φy
i 1
n
并利用 有
T 1 U diag Φ F 2 ki mi