工科数学分析微分方程-8

9
（取实部）
原方程通解为
y
C1
cos
x
C
2
sin
x
1 3
x
cos
2
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4 9
sin
2
x
.
注意 Aex cosx, Aex sinx
分别是 Ae(i )x 的实部和虚部.
例4 求方程 y y tan x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 用常数变易法求非齐方程通解
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx
R(2 m
)
(
x
)
sin
x],
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
k
0 1
i不是根 i是单根,
注意
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
例2 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x,
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6x2 8e2x
的待定特解的形式.
思考题解答
设 y 4 y 4 y 6x2 的特解为 y1* 设 y 4 y 4 y 8e2x 的特解为 y2* 则所求特解为 y* y1* y2* r 2 4r 4 0 特征根 r1,2 2 y1* Ax2 Bx C y2* Dx2e2x（重根） y* y1* y2* Ax2 Bx C Dx2e2x .
C1e x
C2e 2 x
x(1 2
x
1)e2x
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式
ex [Pl
e ix
e ix 2
Pn
e ix
e ix ] 2i
( Pl Pn )e(i ) x ( Pl Pn )e(i ) x
(2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQm ( x), y* xQm ( x)ex ;
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设
Q( x)
x
Q 2 m
(
x
),
y* x 2Qm ( x)ex .
综上讨论
0 不是根
3
9
y* ( 1 x 4 i)e2ix , 39
( 1 x 4 i)(cos 2x i sin 2x) 39
1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x)i,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y* 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y* Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
可设 Q( x) Qm ( x), y* Qm ( x)ex ;
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y*
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
Rm(2) ( x)sinx];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
2 2i
2 2i
P( x)e(i ) x P ( x)e(i ) x ,
设 y py qy P( x)e(i )x , y1* x kQme(i ) x ,
则 y py qy P ( x)e(i )x , y2* x k Q me(i ) x ,
y* x k ex [Qme ix Qme ix ]
设 y* x kexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
q
e x
,
不是特征方程的根
y*
A xex ,
2 p
是特征方程的单根 ,
A x2ex , 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
例3 求方程 y y x cos 2x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x,
作辅助方程 y y xe2ix ,
2i 不是特征方程的根,
设 y* ( Ax B)e2ix , 代入辅助方程
4Ai 3B 0 3A 1
A 1，B 4 i,
§8 常系数非齐次 线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x)
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y* , 常见类型 f ( x) ?
Pm ( x)ex cosx,
Pm ( x)ex ,
Pm ( x)ex sinx,
问题：如何求特解？ 方法：待定系数法.
作辅助方程 y y 4eix , i 是单根, 故 y* Axeix ,
代入上式 2Ai 4, A 2i,
y* 2ixeix 2x sin x (2x cos x)i, 所求非齐方程特解为 y* 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e2x ,
2 是单根，设 y* x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y* x(1 x 1)e2x 2
B 1
原方程通解为
y
设 y c1( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小结 (待定系数法)