线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

线性代数超强总结

()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪

=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解

是的特征值 的列（行）向量线性相关12()0,,T s i n

A r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪

≠⇔⎨⎪⎪

⎪⎪

=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关

是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵

总有唯一解R ⎫

⎪−−−→⎬⎪⎭

具有

向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同√ 关于：

12,,,n e e e ⋅⋅⋅①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；n :n :②线性无关；12,,,n e e e ⋅⋅⋅③；

12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=④；

tr()=E n ⑤任意一个维向量都可以用线性表示.

n 12,,,n e e e ⋅⋅⋅

a

n √ 行列式的计算：

① 若都是方阵（不必同阶）,则

A B 与(1)mn A A A A B B B B A

A B B οο

οοο

*===**=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

③关于副对角线：

(1)2

1121

21

121

1

1

(1)

n n n

n

n n n n n n n a a a a a a a a a ο

οο

---*

=

=-

√ 逆矩阵的求法:

①1

A A A

*

-=

②1()()

A E E A -−−−−→ 初等行变换

③ 1

1a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦T

T T T

T A B A C C D B

D ⎡⎤

⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

④ 1

2

11

11

2

1n a

a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦⎣

⎦

2

1

1

1

1211n

a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⑤ 1

1111

2

21n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦⎣

⎦

1

1121

211

n n A A A A A A ----⎡

⎤

⎡

⎤⎢⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

√ 方阵的幂的性质： m n m n A A A +=()()m n mn

A A =√ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ n A 1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++ A √

设的列向量为,的列向量为，的列向量为,

,,m n n s A B ⨯⨯A 12,,,n ααα⋅⋅⋅B 12,,,s βββ⋅⋅⋅AB 12,,,s r r r 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),

,,.i i s s T n n n

i i i i

r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪

==++⎪⎬

⎪⎪⎭ 则：即 用中简

若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度

的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量√ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；ΛΛ用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.ΛΛ√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即：11

11

22

22

,kk kk A B A B A B A B οοο

ο

⎡⎤

⎡⎤

⎢

⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

11112222

kk kk A B A B AB A B ο

ο

⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I ) 或 (I I ) 当时,

0A ≠ ,B A B E X −−−−→ 初等行变换

（当为一列时(I )的解法：构造()()

即为克莱姆法则）

T T T T A X B X X =(I I )的解法：将等式两边转置化为， 用(I )的方法求出，再转置得√ 和同解（列向量个数相同）,则：

Ax ο=Bx ο=,A B ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 判断是的基础解系的条件：12,,,s ηηη 0Ax = ① 线性无关；

12,,,s ηηη ② 是的解；

12,,,s ηηη 0Ax =③ .

()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数