华东师大初中数学八年级上册《12.5因式分解》课堂教学课件 (2)

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原八年级数学上册 12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解课件 (新版)华东师大版

结果等于1_1_0_2_5；
(2)计算 952＋2×95×5＋52 时，可以逆着(1)的思路把它化为
(_9_5__＋__5__)2，结果等于__ 10000
时，先把 952 化为(100
－__5__)2，再化为__1_002－2×100×5＋52
_，结果等于
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
重难互动探究
探究问题运用两数和(差)的平方公式分解因式例分解因式：(1)a2－4ab＋4b2； (2)－x2＋4xy－4y2； (3)(a＋b)2＋12(a＋b)＋36.
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
[解析] (2)因式分解时，首项是负数，应先提取负号，但要注意各项都变号．(3)应把(a＋b)看作一个整体．
备选探究问题选择合适的方法因式分解例因式分解：(1)3x3－6x2y＋3xy2；(2)m4－16；(3)(x＋2)(x ＋4)＋x2－4. [解析] (3)小题中把 x2－4 利用平方差公式可转化为(x＋2)(x －2)，这时多项式中有公因式(x＋2)，因此再利用提公因式法便可进行因式分解．
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
[归纳总结] 因式分解的步骤： (1)先看各项有无公因式，若有公因式，先提取公因式． (2)考虑能否运用公式法． (3)进行到每一个因式都不能再分解为止．技巧： (1)当多项式有公因式时，首先提取公因式． (2)当多项式为两项时，常用平方差公式分解因式． (3)当多项式为三项时，常用两数和(差)的平方公式分解因式． (4)当多项式是四项以上时，常用分组分解法．
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解

华东师大版八年级上册 12.5.8 因式分解的应用课件(共30张PPT)

因式分解的应用
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)

2019华东师大版八年级上册数学课件12.5 因式分解 (共32张PPT)

相同字母最低次幂关键确定公因式
一、问题情景导入分解因式
x4-x2
你会做吗？
二、探究新知
1、（a+b)(a-b)=__a_2-_b_2__.
这个公式叫__平__方__差__公__式__. 从左边到右边的这个过程叫_整__式__乘__法____.
2、反过来，a2-b2=（__a_+_b_)_(_a_-_b_)__ .
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4x²+y² B.4x-(-y)² C.-4x²-y³ D.-x²+y²
2) -4a² +1分解因式的结果应是（ D ）
A. -(4a+1)(4a-1) B.-(2a-1)(2a-1)
C. -(2a+1)(2a+1) D.-(2a+1)(2a-1)
分解因式注意事项： 1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法. 2、分解之后要看每一项是否分解彻底. 3、提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这项. 4、答案要写成最简形式.
做一做
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果.
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2 (x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
ab 2 a2 2abb2 ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”.
我们把 a2 2abb2 , a2 2abb2 这两个式子叫做
完全平方式.
“头”平方,“尾”平方,“头”“尾”两倍中间放.

华东师大八年级数学上册12.5.5《用分组分解法分解因式》课件

还有其他分组的方法吗？
分组规律：
在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
分解步骤：
(1)分组 (2)在各组内提公因式 (3)在各组之间进行因式分解 (4)直至完全分解
把下列各式分解因式：
(1) 20(x+y)+x+y
=21(x+y)
(2) p-q+k(p-q)
=(p-q)(1+k)
解：原式=20(x+y)+(x+y) 解：原式=(p-q)+k(p-q)
(3) 5m(a+b)-a-b
(4) 2m-2n-4x(m-n)
2
=(2a2+2ac)-(ab+bc)
= 2a(a+c)- b(a+c) = (a+c)(2a-b)
因式分解
-4yz + 3x - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
2
因式分解
分
析在用分组分解法因式分解时，要注意分组不能使一个多项式变为乘积形式，分组的目的是分好的各组能提取各自的公因式同时使各组提取公因式后剩下的多项式又是各组的公因式，可以再提取，从而使问题得到解决，上述规律可以通俗的归纳成：“ 分组的目的是为了提取，提取的目的是为了再提取”。
=(x-5y)(2a-b)
例 1方法二：解：a2-ab+ac-bc
=(a2+ac)-(ab+bc) =a(a+c)-b(a+c) = (a+c)(a-b)

12.5 第1课时因式分解及提公因式法课件 2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

探究
[概括新知]
与 (1)多项式中的每一项都含有的相同的因式叫做公因式.
应
用 (2)一个多项式各项的公因式常常不止一个.通常,当多项式
的各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的
最大公因数 ;字母应取各项相同的字母,而且各字母的
指数取次数最低的.
探得锦囊
数,若互为相反数,注意符号的变化;
(4)提公因式一定要提“净”(即提出公因式后,剩余的多项式
中不能再有公因式).
探
应用五利用因式分解求值
究与
例 5 先分解因式,再求值:
应用
已知2x-y=13,xy=2,求2x4y3-x3y4的值.
解:原式=x3y3(2x-y).
∵2x-y=13,xy=2, ∴x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×13 = 83.
中的三个等式,其过程正好与整式的乘法相反.
探识关系究因式分解和整式乘法的关系
与
应因式分解和整式乘法是互逆的恒等变形,因式分解的对象是用多项式,结果是几个整式的积.
探究
[概括新知]
与因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的
应
用形式,叫做多项式的因式分解.
探知重点究因式分解的“四点注意”
结与检测
课 4.把下列各式分解因式:
堂
小 (1)a2x2y-axy2;
结
与解:(1)axy(ax-y)
(2)-3ma3+6ma2-12ma;
(2)-3ma(a2-2a+4)
检测
(3)2a(b+c)-3(b+c);

12-5因式分解(课件)华东师大版数学八年级上册

练习三拓展应用
已知二次三项式X2 —4X+M=（x+3)(x+n)即
X2-4x+m=(x+3)x+3n∴
n34 m3n
∴ n7 m21
∴另一个因式为x-7 m的值为-21
问题:若二次三项式x2-5x+6可分解为
（x-2)(x+a)则a= 若二次三项式（2x-1)(x+5)则b=
学以致用
1、若x2－x－m=（x+2)(x-3) 则m=_____ 2、若 x2－ax+b=能分解成（x-1)（x-4），则a=___,b=___
规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式
的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
补充练习
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值.
回顾总结
本节课你收获了那些？还有那些疑惑？
根据上面的算式填空: (1) 3x2-3x= 3x(x-1) (2)ma+mb+mc= m(a+b+c) (3) m2-16= (m+4)(m-4) (4) x2-6x+9= (x-3)2 (5) a3-a= a(a+1)(a-1)
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
整式乘法是积化和差，分解因式是和差化积二者是互逆的恒等变形
练习一理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

华东师大版八年级数学上册12.5《因式分解》教学课件2

下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
不正确分解到不能再分解为止
巩固练习
1、在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中,能利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
12.5 因式分解
12.5.2平方差公式法
目 Contents 录
01 回顾思考 02 合作探究
03 学以致用
04 巩固练习
05 总结提升
预习检测：下列分解因式是否正确？
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
回顾思考
找出下列各题公因式：
(6) 169x2 －4y2 解:原式＝(13x)2－(2y)2
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
(8) -16x4 ＋81y4 (解7):9原a2式p2＝＝－((b332aaqpp2＋)2－bq()b(q3)a2p－解b:q原) 式＝＝＝＝(((89991yyyy２ 224++－)442－xx1226))〔(x9(4y4(2x3-２4yx))222-)(2x)2〕
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2 （3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)

秋八年级数学华师大版上册课件：12.5 因式分解(共26张PPT)

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•பைடு நூலகம்
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月15日星期三2021/9/152021/9/152021/9/15 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/152021/9/15September 15, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/15
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 2:09:32 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021

1因式分解第2课时公式法因式分解课件华东师大版数学八年级上册

试一试：
(a+2b)·(a-2b)=____a_2_-_4_b_2 __； (a+2)·(a-2)=_____a_2-_4_____.
视察上面两个等式，可以得到： a2-4b2=( a+2b)(a-2b )； a2-4 =( a+2 )( a-2 ).
想一想：根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你对因式分解的方法有什么新的发现？
解： (1) 73.562-26.442 =(73.56+26.44)(73.56-26.44) =100×47.12 =4 712；
(2) 8002-2×800×799&知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：因为x-y=1，xy=2，所以x3y-2x2y2+xy3 = xy(x2-2xy+y2) = xy(x-y)2 = 2×1 = 2．
➢ 完全平方公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以代表单项式或多项式.
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊情势的多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法.
例2 分解因式： (1) x2+4xy+4y2；
解: (1) x2+4xy+4y2 = x2+2·x ·2y + (2y)2 = (x+2y)2；
把整式乘法的平方差公式，反过来就得到因式分解的公式：
(a+b)(a-b)
整式乘法因式分解
a2-b2
根据a2-b2 = (a+b)(a-b)可知：
➢ 等式左边为两个数平方的差，等式右边为两个数的和与这两个数的差的积. 即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.

2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法__平方差公式课件新版华东师大版

答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
2．【中考·济宁】多项式4a－a3分解因式的结果是( B ) A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝99962 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)说明这个规律的正确性．
解：设m、n为两个整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和 2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当 m、n同是奇数或同是偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；②当m、n一奇一偶时，m＋n＋1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．
【点拨】设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋2，则(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2) ＝4(2n＋1)． ∴能被4整除，故选C.
15．【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、
a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱

12.5 因式分解华东师大版八年级上册数学导学课件

感悟新知
知识点 3 提公因式法
1. 定义把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m 和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法. 即：用字母表示为ma+mb+mc=m(a+b+c).
感悟新知
3－2. 若将多项式x2+3x+a 分解为(x+1)·(x+2)，则a的
值为( A )
A. 2 B. 3
C. －3 D. －2
感悟新知
知识点 2 公因式
1. 定义多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式.
2. 公因式的确定 (1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则
感悟新知
2－1. 下列从左到右因式分解正确的是( D )
A. x3+x2+x=x(x2+x)
B. －5t3+10t2－15t=5t·(t2+2t－3)
C.
4p3－6p2=2p(2p2－3p)=2p3
2－
3 p
D. (x－y)2－ (y－x)=(y－x)(y－x－1)
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
感悟新知
例2 [中考·毕节] 下列因式分解正确的是( )
A.x3y－2x2y+xy=xy(x2－2x)
B. x2－x+
1 4
=
x－
1 2
2
C. x2－2x+4=(x－2)2
D. 4x2－y2=(4x+y)(4x－y)
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.

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因式分解
一、复习回顾
1、什么叫因式分解？我们已经学过哪种因式分解方法？
2、什么叫公因式？提公因式时，确定公因式的两个条件是什么？
3、因式分解与整式乘法之间有何关系？
4、填空： (1) （a＋b)(a－b)= ____a_²_-_b_²_ (2) （a＋b)²= ____a_²+_2_a_b_+_b² (3) (a－b)²= _____a_²_-2_a_b_+_b²
= (m+0.1n)(m-0.1n)
变式二：把下列各式分解因式. （1）(a+b+c)2-(a-b+c)2 （2）16(a-b)2-9(a+b)2 （3）169x2-121(x-2y)2
解：（1） (a+b+c)2-(a-b+c)2 = [(a+b+c)+(a-b+c)] [(a+b+c)-(a-b+c)] = (2a+2c)2b = 4b(a+c)
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2
（3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2
变式三：把下列各式分解因式.
（1）x5-x³ (2) x4-y4 解：
(3) a2 (a2-1)-a2+1
(1) x5-x³ a2+1
(2) x4-y4
(3) a2 (a2-1)-
= x³(x2-1)
=(x2)2-(y2)2
=a2 (a2-1)-
(a2-1)
= x³(x+1)(x-1)
=(x2+y2)(x2-y2）
（2）如图，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，计算当R＝7.8cm，r＝ 1.1 cm时剩余部分的面积（π取3.14）．
（五）课堂小结
提问：1、什么是运用公式法进行分解？
将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
2、运用平方差公式分解因式的条件和结果是什么？因式运分用解条的件顺：序两是个数什的么平？方应差注的意形式什。么（？即公式的左边a²-b²）。
（2）16(a-b)2-9(a+b)2 = [4(a-b)]2 - [3(a+b)] 2
= [(4a-4b)+(3a+3b)] [(4a-4b)-(3a+3b)] = (4a-4b+3a+3)
（3）169x2-121(x-2y)2 = (13x)2+[11(x-2y)] 2 = [13x+11(x-2y)] [13x-11(x-2y)] = (13x+11x-22y)(13x-11x+22y) = (24x-22y)(2x+22y) = 2(12x-11y)2(x+11y) = 4(12x-11y)(x+11y)
、（x+p)²-(x+q)²
解： ① x²-16=x²-4²=(x+4)(x-4)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓
a²- b²= (a+b) (a-b)
② 9m²- 4n²= (3m)²- (2n)²=(3m+2n)(3m-2n)
↓
↓
↓ ↓ ↓↓
a² - b² = ( a + b ) ( a – b )
(x+p)²-(x+q)²
运用结果：这两个数的和与这两个数的差的积。（即公式的右边(a+b)(a-b)）。
分解顺序：一提公因式，二套公式。注意：因式分解要分解彻底。
（六）课后作业: 1 、把下列各式分解因式: （1）1－m2 （3）4x2－9y2 （5）(x＋2y)2－(2x－y)2
（2）－a2＋b2 （4）9(x－y)2－y2
二、运用公式法：
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式.于是有：
a²-b²=(a+b)(a-b)
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
三、利用平方差公式因式分解：
=(a2-1)(a2-1)
注意：（1）如果多项=(x式2+各y2项)(有x+公y)因(x-式y），那么=先(a提+1公)(a因-1式) (a，+1再)(a-1)
进一步分解。
=(a+1)2(a-1)2
（2）因式分解，必须进行到每个多项式因式不能分解
为止。
（四）拓展应用
（1）计算：20152 – 20142
1．平方差公式
（1）公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
（2）请同学们先想一想应该怎样叙述这个公式？
（3）形式和特点：运用条件：两个数的平方的差的形式（即公式的左
边）；运用结果：这两个数的和与这两个数的差的积（即
公式的右边，是两个二项式的乘积）.
（4）例子：分解因式： ①、x²-16
②、9m²-4n²
（6）(a2＋b2)2－a2b2
2、在一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了多少？
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= [(x + p )+(x + q)] [(x + p) - ( x + q)]
↓↓
↓
↓
↓
↓
a² - b² = ( a + b ) ( a – b )
= (2x+p+q) (p-q)
归纳:公式中的a、b不仅可以代表单项式，也可以代表多项式，只要符合平方差公式的形式，就可以应用公式法进行因式分解。