边界层理论习题
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1/ 9
并有
0.185 Re
0.2
，式中， V 为来流速度，
为边界层厚度，
为沿程损失系数，
Re V / 。试推导边界层厚度的计算公式 。
解题步骤
解：
''
0 1 2 1 u u 9 9 9 1 dy 0 d V V 110
解题步骤
解： 设边界层转捩临界雷诺数，因为
Rexc 510
所以
5
1 xc m 0.08333m 12
解题步骤
（ 1）
x 3m
Rex V x / 18106
1 1 1 2 L 2 T FD V bxcC fxc V bxC fx V2bxcC T fxc 2 2 2
Rex V x / 1810
6
1 1 1 2 L 2 T FD V bxcC fxc V bxC fx V2bxcC T fxc 2 2 2
解题步骤
C
L fxc
1.328 1.8781103 Re xc
0.455
C
T fx
lg Rex
2.58
x 3m
题 目 2
水渠底面是一块长 l 30m ，宽 b 3m 的平板， 水流速度 V 6m / s ，水的运动粘性系数
6 2
10 m / s
试求： （1）平板前面 x 3m 一段板面的摩擦阻力； （2）长 l 30m 的板面的摩擦阻力。
Rexc 5105
边界层理论
边界层理论
MF2Cd1741
题 目1
如图所示，一块高h=15m，长l=60m的巨大广告牌 （视作平板）竖立在大风中，风速随高度y变化的关 1/ 7 y 系可表示为： u y u
max
h
3 1.205 kg / m u 20 m / s 式中： max ，空气密度 ，运动粘性系
置的方法有两种：以长边顺着流速方向，摩擦阻力为 F1 ；以短边顺着流速方向，摩擦阻力为 F2 。试求比值
F1 / F2
。
解题步骤
解：设混合边界层转捩临界雷诺数 Rex 5.5 105 F1 （1）长边顺着流速方向时，摩擦阻力为
c
因为
T Re xc 1 2 T L F1 V b1l1 C fl1 C fxc C fxc 2 Re l1
1/ 5
x
4/5
0 0.02965 Ux
l
1/ 4
U 2
1/ 4
0 0 dx 0.07413 Ul 0.07413 Cf 1/ 5 Rel
1 U 2l 2
边界层理论
MF2Cd1740
题 目 4
若平板紊流边界层内的速度分布为 u / V y / ，
解题步骤
设在某高度处，其板末端正好是平面边界层转 捩点，我们求的值。
Rexc uxc / 6 106
u
xc
Re xc
l
Re xc 1.5m / s
y 20 h
1/ 7
1.5
y / h 1.3 108
可以看出，的值很小而可以略去。
解题步骤
平板边界层单面、微小高度的阻力为
题 目 9
高速列车以速度200km/h和行驶，空气的运动粘性 6 2 15 10 m / s 。每节车厢可视为长25m,宽3.4 系数 ，高4.5m的立方体。试计算为了克服十节车厢的顶部 5 Re 5.5 10 ， 和两侧面的边界层阻力所需的功率。设 x 1.205kg / m3 。
Re
xc
0.074
0.2
5.3634 103
解题步骤
（2）短边顺着流速方向时，摩擦阻力为 F2
b2 8m, l2 3m
T Re xc 1 2 T L F2 V b2l2 C fl2 C fxc C fxc 2 Rel2
因为
所以
的平板，水流速度 V 6m / s ，水的运动粘性系数
106 m2 / s
试求： （1）平板前面 x 3m 一段板面的摩擦阻力； （2）长 l 30m 的板面的摩擦阻力。
解题步骤
解: 5 设边界层转捩临界雷诺数，因为 Rexc 5 10 1 所以 xc m 0.08333m 12 （ 1） x 3m
解题步骤
（ 2）
l 30m
Rel Vl / 18 106
1 1 1 2 L 2 T 2 FD V bxcC fxc V blC fl V bxcC T fxc 2 2 2
C
T fl
0.455
lg Re x
2.58
1.9627 103
FD 8.4514 3179.5038 24.1353 N 3163.82N
边界层理论
MF2Cd1740
题 目 3
设平板紊流边界层的速度分布和壁面切应力的表 达式为
u y U
1/ 7
0 0.0233 U
1/ 4
U 2
试用边界层动量积分关系式计算边界层厚度 x 和平板单面的阻力系数 C f 。
因为
0
8
V2
1 5
所以
0 0.185 2 V 8 V
0 d '' 2 dx V
解题步骤
9 1 0.185 5 d dx 110 8 V
1 5
9 5 6 0.185 5 x 110 6 8 V
解题步骤
解： 平板紊流边界层的动量积分关系式为
0 d '' dx U 2
''
0
u u 7 1 dy U U 72
1/ 4
7 1/ 4 d 0.0233 72 U
dx
解题步骤
0.3812 U
2.7386 103
CT fxc
Re
xc
0.074
0.2
5.3634 103
FD 8.4514 443.6493 24.1353 N 427.96N
解题步骤
（ 2）
l 30m
Rel Vl / 18 106
1 1 1 2 L 2 T 2 FD V bxcC fxc V blC fl V bxcC T fxc 2 2 2
C
T fx
0.455
lg Rex
2.58
2.7386 103
解题步骤
C
L fxc
1.328 1.8781103 Re xc
C
T fxc
Re
xc
0.074
0.2
5.3634 10
3
FD 8.4514 443.6493 24.1353 N 427.96N
7 7 dFD 421.61 44.26 d 1 421.61 44.26 FD dFD N 296.64 N 0 1.8 1 1 1 7 7
双面阻力为
2FD 593.28N
边界层理论
MF2Cd1710
解:
先判断边界层属层流还是紊流。 5 Re V l / 0.15 10 水： l 油： Rel Vl / 1.2 106
解题步骤
对于平板边界层，转捩临界雷诺数 Rexc 3105 （甚至更大些），可见，油边界层属层流，板末的 边界层厚度按层流公式计算：
l 5l Rel
5 1/ 6 6 0.4061 X 0.4061X Re x V 1 6
1 5
边界层理论
MF2Cd1740
V 0.6m / s
题 目 5
流体以速度 V 0.6m / s 绕一块长 l 2m 的平 板流动，如果流体分别是水（ 106 m2 / s）和 油（ 8 105 m2 / s ），试求平板末端的边界层 厚度。
l 0.3812l Rel
1/ 5
0.02405m
Cf
0.072
Rel
0.2
4.5429 103
1 2 FD V 2blC f 4.5429 N 2
边界层理论
MF2Cd1750
题 目 7
水渠底面是一块长
l 30m
，宽 b 3m
C
T fl2
Rel2 Vl2 / 9 106
0.455 3.0087 10
3
lg Rel
2.58
F2
1 V2b2l2 0.2815 104 2
F1 b1l1 0.2556 0.9080 F2 b2l2 0.2815
边界层理论
MF2Cd1750
解：
b 1m, l 1m
Rel Vl / 10
，
6
解题步骤
层流： 0.5 l 5l Rel 0.005m
1.328 Cf 1.328 103 Rel
1 2 FD V 2blC f 1.328 N （双面） 2
解题步骤
紊流：
0.074
ul /
0.074
0.2
20
0.074
1/ 7
l /
0.2
0.074 38.07 0.2 / 7
T fxc
Re
xc
0.2
3.2629 103
Rel ul / 20l1/ 7 / 8 1071/ 7
解题步骤
将已知数据及上面各式代入的表达式，化简后 得 1.8 1
c
解题步骤
解： 。 车厢的总长l=250, 总宽b=12.4m,车速V 55.56m / s 。
Rel Vl / 926 106
Re xc T 1 2 T L FD V bl C fl C fxc C fxc 2 Re l
数
15 106 m2 / s ， 平板边界层转捩临界雷诺数为 Rexc 6 106 。试求广告牌两侧面的气流边界层的阻力。
y u(y) o l h x
解题步骤
解：
本问题属于来流速度为的气流边界层，但来流速度 u(y)随y而变。 为简化起见，整个板面边界层视作混合边界层，这 样引起的误差很小，理由如下。
CT fl
0.455
lg Re x
2.58
1.9627 103
FD 8.4514 3179.5038 24.1353 N 3163.82N
边界层理论
MF2Cd1750
题 目 8
一块面积为 3m 8m 的矩形平板放在速度 V 3m / s 的水流中，水的运动粘性系数 106 m2 / s ,平板放
0.5
0.08165m
水边界层属紊流，故
l 0.3812l Rel
1/ 5
0.04638m
边界层理论
MF2Cd1750
题 目 6
边长为1m的正方形平板放在速度 V 1m / s 的水流中，求边界层的最大厚度及摩擦阻力，分别按 全板都是层流或者都是紊流两种情况进行计算，水的 6 2 运动粘性系数 10 m / s 。
b1 ຫໍສະໝຸດ Baidum, l1 8m
Rel1 Vl1 / 2.4 107 ,Rexc 5105
所以
C
T fl1
0.455
lg Rel
2.58
2.6206 10
3
C
T fxc
C
L fxc
1.328 1.8781103 Re xc
1 2 F1 V b1l1 0.2556 104 2
Re xc 1 2 T T L dFD u ldy C fl C fxc C fxc 2 Re l 令 y / h ，则
u umax1/ 7 201/ 7
dy hd 15d
解题步骤
CT fl 0.074
Rel
C
0.2
并有
0.185 Re
0.2
，式中， V 为来流速度，
为边界层厚度，
为沿程损失系数，
Re V / 。试推导边界层厚度的计算公式 。
解题步骤
解：
''
0 1 2 1 u u 9 9 9 1 dy 0 d V V 110
解题步骤
解： 设边界层转捩临界雷诺数，因为
Rexc 510
所以
5
1 xc m 0.08333m 12
解题步骤
（ 1）
x 3m
Rex V x / 18106
1 1 1 2 L 2 T FD V bxcC fxc V bxC fx V2bxcC T fxc 2 2 2
Rex V x / 1810
6
1 1 1 2 L 2 T FD V bxcC fxc V bxC fx V2bxcC T fxc 2 2 2
解题步骤
C
L fxc
1.328 1.8781103 Re xc
0.455
C
T fx
lg Rex
2.58
x 3m
题 目 2
水渠底面是一块长 l 30m ，宽 b 3m 的平板， 水流速度 V 6m / s ，水的运动粘性系数
6 2
10 m / s
试求： （1）平板前面 x 3m 一段板面的摩擦阻力； （2）长 l 30m 的板面的摩擦阻力。
Rexc 5105
边界层理论
边界层理论
MF2Cd1741
题 目1
如图所示，一块高h=15m，长l=60m的巨大广告牌 （视作平板）竖立在大风中，风速随高度y变化的关 1/ 7 y 系可表示为： u y u
max
h
3 1.205 kg / m u 20 m / s 式中： max ，空气密度 ，运动粘性系
置的方法有两种：以长边顺着流速方向，摩擦阻力为 F1 ；以短边顺着流速方向，摩擦阻力为 F2 。试求比值
F1 / F2
。
解题步骤
解：设混合边界层转捩临界雷诺数 Rex 5.5 105 F1 （1）长边顺着流速方向时，摩擦阻力为
c
因为
T Re xc 1 2 T L F1 V b1l1 C fl1 C fxc C fxc 2 Re l1
1/ 5
x
4/5
0 0.02965 Ux
l
1/ 4
U 2
1/ 4
0 0 dx 0.07413 Ul 0.07413 Cf 1/ 5 Rel
1 U 2l 2
边界层理论
MF2Cd1740
题 目 4
若平板紊流边界层内的速度分布为 u / V y / ，
解题步骤
设在某高度处，其板末端正好是平面边界层转 捩点，我们求的值。
Rexc uxc / 6 106
u
xc
Re xc
l
Re xc 1.5m / s
y 20 h
1/ 7
1.5
y / h 1.3 108
可以看出，的值很小而可以略去。
解题步骤
平板边界层单面、微小高度的阻力为
题 目 9
高速列车以速度200km/h和行驶，空气的运动粘性 6 2 15 10 m / s 。每节车厢可视为长25m,宽3.4 系数 ，高4.5m的立方体。试计算为了克服十节车厢的顶部 5 Re 5.5 10 ， 和两侧面的边界层阻力所需的功率。设 x 1.205kg / m3 。
Re
xc
0.074
0.2
5.3634 103
解题步骤
（2）短边顺着流速方向时，摩擦阻力为 F2
b2 8m, l2 3m
T Re xc 1 2 T L F2 V b2l2 C fl2 C fxc C fxc 2 Rel2
因为
所以
的平板，水流速度 V 6m / s ，水的运动粘性系数
106 m2 / s
试求： （1）平板前面 x 3m 一段板面的摩擦阻力； （2）长 l 30m 的板面的摩擦阻力。
解题步骤
解: 5 设边界层转捩临界雷诺数，因为 Rexc 5 10 1 所以 xc m 0.08333m 12 （ 1） x 3m
解题步骤
（ 2）
l 30m
Rel Vl / 18 106
1 1 1 2 L 2 T 2 FD V bxcC fxc V blC fl V bxcC T fxc 2 2 2
C
T fl
0.455
lg Re x
2.58
1.9627 103
FD 8.4514 3179.5038 24.1353 N 3163.82N
边界层理论
MF2Cd1740
题 目 3
设平板紊流边界层的速度分布和壁面切应力的表 达式为
u y U
1/ 7
0 0.0233 U
1/ 4
U 2
试用边界层动量积分关系式计算边界层厚度 x 和平板单面的阻力系数 C f 。
因为
0
8
V2
1 5
所以
0 0.185 2 V 8 V
0 d '' 2 dx V
解题步骤
9 1 0.185 5 d dx 110 8 V
1 5
9 5 6 0.185 5 x 110 6 8 V
解题步骤
解： 平板紊流边界层的动量积分关系式为
0 d '' dx U 2
''
0
u u 7 1 dy U U 72
1/ 4
7 1/ 4 d 0.0233 72 U
dx
解题步骤
0.3812 U
2.7386 103
CT fxc
Re
xc
0.074
0.2
5.3634 103
FD 8.4514 443.6493 24.1353 N 427.96N
解题步骤
（ 2）
l 30m
Rel Vl / 18 106
1 1 1 2 L 2 T 2 FD V bxcC fxc V blC fl V bxcC T fxc 2 2 2
C
T fx
0.455
lg Rex
2.58
2.7386 103
解题步骤
C
L fxc
1.328 1.8781103 Re xc
C
T fxc
Re
xc
0.074
0.2
5.3634 10
3
FD 8.4514 443.6493 24.1353 N 427.96N
7 7 dFD 421.61 44.26 d 1 421.61 44.26 FD dFD N 296.64 N 0 1.8 1 1 1 7 7
双面阻力为
2FD 593.28N
边界层理论
MF2Cd1710
解:
先判断边界层属层流还是紊流。 5 Re V l / 0.15 10 水： l 油： Rel Vl / 1.2 106
解题步骤
对于平板边界层，转捩临界雷诺数 Rexc 3105 （甚至更大些），可见，油边界层属层流，板末的 边界层厚度按层流公式计算：
l 5l Rel
5 1/ 6 6 0.4061 X 0.4061X Re x V 1 6
1 5
边界层理论
MF2Cd1740
V 0.6m / s
题 目 5
流体以速度 V 0.6m / s 绕一块长 l 2m 的平 板流动，如果流体分别是水（ 106 m2 / s）和 油（ 8 105 m2 / s ），试求平板末端的边界层 厚度。
l 0.3812l Rel
1/ 5
0.02405m
Cf
0.072
Rel
0.2
4.5429 103
1 2 FD V 2blC f 4.5429 N 2
边界层理论
MF2Cd1750
题 目 7
水渠底面是一块长
l 30m
，宽 b 3m
C
T fl2
Rel2 Vl2 / 9 106
0.455 3.0087 10
3
lg Rel
2.58
F2
1 V2b2l2 0.2815 104 2
F1 b1l1 0.2556 0.9080 F2 b2l2 0.2815
边界层理论
MF2Cd1750
解：
b 1m, l 1m
Rel Vl / 10
，
6
解题步骤
层流： 0.5 l 5l Rel 0.005m
1.328 Cf 1.328 103 Rel
1 2 FD V 2blC f 1.328 N （双面） 2
解题步骤
紊流：
0.074
ul /
0.074
0.2
20
0.074
1/ 7
l /
0.2
0.074 38.07 0.2 / 7
T fxc
Re
xc
0.2
3.2629 103
Rel ul / 20l1/ 7 / 8 1071/ 7
解题步骤
将已知数据及上面各式代入的表达式，化简后 得 1.8 1
c
解题步骤
解： 。 车厢的总长l=250, 总宽b=12.4m,车速V 55.56m / s 。
Rel Vl / 926 106
Re xc T 1 2 T L FD V bl C fl C fxc C fxc 2 Re l
数
15 106 m2 / s ， 平板边界层转捩临界雷诺数为 Rexc 6 106 。试求广告牌两侧面的气流边界层的阻力。
y u(y) o l h x
解题步骤
解：
本问题属于来流速度为的气流边界层，但来流速度 u(y)随y而变。 为简化起见，整个板面边界层视作混合边界层，这 样引起的误差很小，理由如下。
CT fl
0.455
lg Re x
2.58
1.9627 103
FD 8.4514 3179.5038 24.1353 N 3163.82N
边界层理论
MF2Cd1750
题 目 8
一块面积为 3m 8m 的矩形平板放在速度 V 3m / s 的水流中，水的运动粘性系数 106 m2 / s ,平板放
0.5
0.08165m
水边界层属紊流，故
l 0.3812l Rel
1/ 5
0.04638m
边界层理论
MF2Cd1750
题 目 6
边长为1m的正方形平板放在速度 V 1m / s 的水流中，求边界层的最大厚度及摩擦阻力，分别按 全板都是层流或者都是紊流两种情况进行计算，水的 6 2 运动粘性系数 10 m / s 。
b1 ຫໍສະໝຸດ Baidum, l1 8m
Rel1 Vl1 / 2.4 107 ,Rexc 5105
所以
C
T fl1
0.455
lg Rel
2.58
2.6206 10
3
C
T fxc
C
L fxc
1.328 1.8781103 Re xc
1 2 F1 V b1l1 0.2556 104 2
Re xc 1 2 T T L dFD u ldy C fl C fxc C fxc 2 Re l 令 y / h ，则
u umax1/ 7 201/ 7
dy hd 15d
解题步骤
CT fl 0.074
Rel
C
0.2