数学(理工农医类)

数 学（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为 A.1

B.2

C.1或2

D.-1

(2)设集合A={x |

1

x

x -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若a 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为 A.63

B.64

C.127

D.128

(4)函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3

B.0

C.-1

D.-2

(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4

5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

A.

16

625

B.

96625

C. 192

625

D.

256

625

(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为

A.

63

B.

5

5

2 C.

155

D.

105

(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

A.14

B.24

C.28

D.48

(8)若实数x 、y 满足 x-y+1≤0，则y

x

的取值范围是 x>0

A. (0,1)

B. (0,1)

C. (1,+∞)

D. [1, +∞]

(9)函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y = -f ′(x )的图象，则m 的值可以为

A.2π

B.π

C.－π

D.－ 2

π

(10)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为 A. 6

π B.

3π C.6

π或56π

D.

3

π或

23π

(11)双曲线

12

22

2=-b y a x （a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线

离心率的取值范围为

A.(1,3)

B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

(12)已知函数y =f (x ), y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________.(用数字作答) x =1+cos θ

(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y =-2+sin θ （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 . （153，则其外接球的表面积是 . （16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a -b ， ab 、

a

b

∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{}

2,F a b b Q =+∈也是数域.有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；

③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知向量m =(sin A ,cos A ),n =(3,1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. （18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，

其中BC ∥AD , AB ⊥AD , AD =2AB =2BC =2, O 为AD 中点.

（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 3AQ

QD

的值；若不存在，请说明理由.

（19）（本小题满分12分） 已知函数3

21()23

f x x x =

+-. （Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点2

11(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n , S n ）也在y =f ′(x )的图象上； （Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1, a ）内的极值. （20）（本小题满分12分）

某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科

目A 每次考试成绩合格的概率均为

23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为1

2

。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期

望E ξ.

（21）（本小题满分12分）

如图、椭圆22

221x y a b

+=（a>b>0）的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.