第三章曲面的第二基本形式

所以
d ( r ⋅ n) = 0
r ⋅ n =常数
或
( r (u, v ) − r (u 0 , v0 )) ⋅ n = 0
这说明曲面在通过点 r (u 0 , v0 ) 、以 n 为法向量的平面内。 定理 ２ 一块正则曲面是球面的充分必要条件是在曲面上每一点，第二基本形式是第一
基本形式的非零倍数。 证明 程满足 设曲面 S : r = r (u, v ) 落在一个球面上，则必有常向量 r0 及常数 R ，使曲面的方
因此
nu + cru = 0, nv + crv = 0
将（ 21 ）的两式分别对于 v, u 求导，得到
（21）
nuv + cv uu + c ⋅ ruv = 0 nuv + cu u v + c ⋅ ruv = 0
所以
c v ru = c u rv
由于 ru , rv 是线性无关的，所以只能有
第三章 曲面的第二基本形式
§３．１ 第二基本形式 在上一章我们已经对曲面的概念作了讨论，并且初步研究了曲面上与度量有关的性质。 现在我们要着手研究空间 E3 中曲面的形状， 首先讨论描写曲面在第一点的弯曲程序的方法。 设 S : r = r (u, v ) 是一块正则曲面。曲面 S 在点（ u 0 , v0 ）的切平面 π 有单位法向量
v = v( s) 是 S 上过 P 点，且在 P 点以 du : dv 为切方向的一条曲线，仍记曲面在 P 点的单位
法 向 量 为 n ， α 、 β 分 别 表 示 曲 线 在 P 点 处 的 单 位 切 向 量 和 单 位 主 法 向 量， 且 记
θ = ∠( β , n) 。我们考察 C 的曲率向量 kβ 在 n 上的投影
一方面，
kβ ⋅ n = k cosθ
另一方面
kβ ⋅ n = n ⋅
结合两方面，我们看到
d 2r ? = ， ds 2 ?
（1）
k cosθ = ? /?
[注 1]（ 1）式右端只是点和方向的函数，给定点处，其值仅由方向 du : dv 决定，因此， 对于过点 P 且具有相同切线的诸多曲线而言， 尽管它们在 P 点的曲率 k 不同； 对应的 θ 也不 相同，但乘积 k cosθ 却是个固定值。 [注 2] （ 1 ）式左端含有反映曲线弯曲程序的曲率项，而右端有反映曲面弯曲程度的第 二基本型，因此， （ 1）式把曲线与曲面的弯曲性联系起来，为我们利用曲线来研究曲面的弯 曲程序提供了方便 定义 1 称 k cosθ 为曲线 C 在 P 点处的法曲率，记为
n=
ru × rv | ru × rv |
（1）
( u0 , v0 )
很明显，刻画曲面 S 在（ u 0 , v0 ）处的弯曲程度的最直观的量就是该点的邻近点到平面
π 的有向距离 δ
显然，邻近点（ u 0 + ∆u , v0 + ∆v ）到平面 π 的有向距离是
δ ( ∆u , ∆v) = [r (u 0 + ∆u, v0 + ∆v ) − r (u 0 , v0 )] ⋅ n
1 ( L∆u 2 + 2 M∆u∆v + N∆v 2 ) ，这启示我们考虑 2
? = Ldu 2 + 2 Mdudv + Ndv 2
变换
（6）
首先我们要指出二次微分式Ⅱ与曲面上保持定向的容许参数变换是无关的。 假定有参数
~, v ~) u = u(u ~~ v = v(u , v )
并且
L = J ⋅ M
变换规律是相同的，注意到
M ⋅ J N
由此可见，L，M ，N 在保持定向的参数变换下的变换规律的第一类基本量 E，F，G 的
~, dv ~) ⋅ J ( du, dv) = (du
所以
（12）
Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2 L M du = ( du, dv ) M N dv ~ ~ ~ L M du ~ ~ = (du , dv ) ~ ~ ~ M N dv ~ ~ ~ ~ ~2 ~ ~2 = L du + 2M du dv + Ndv
（4）
因此
δ ( ∆u , ∆v) =
其中
（3）
由于 ru ⋅ n = rv ⋅ n = 0 ，所以 L， M，N 还能表示成
L = −ru ⋅ nu ,
M = −ru ⋅ nv = −rv ⋅ nu ,
N = − rv ⋅ n v
（5）
在 （ 3 ） 式 中 ， 有 向 距 离 δ ( ∆u , ∆v ) 的 主 要 部 分 是 二 次 微 分 式
n = ( 0,0,1)
所以
? = dr ⋅ dr = du 2 + dv 2 , ? = −dr ⋅ dn = 0
设圆柱面 S2 的方程是
（15）来自百度文库
u u r = (a cos , a sin , v) a a
故
u u ru = − sin , cos , 0 a a rv = (0,0,1) u u ru × rv = cos , sin , 0 = n a a u 1 u 1 ruu = − cos , − sin ,0 a a a a ruv = rvv = 0
1 ， c2
1 为半径的球面上。 |c|
注意，定理 2 的条件的意思是：在每一点曲面沿各个方向上弯曲的程度都是相同的，这 个事实利用下一节的法曲率的概念会变得更加明显，而定理 2 的结论是很强的，它意味着： 如果曲面在每一个固定点沿各个方向的弯曲程度是相同的， 则它在各个点、沿各个方向的弯 曲程序都是一样的。 §３．２ 法曲率 在引入曲面的第二基本形式时， 我们已经了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面 离开它的切平面的快慢程度决定，但是在给定点处，曲面沿不同方向的弯曲程序不同，也就 是说沿不同方向曲面也不同的速度离开切平面， 因此当我们想刻画曲面在已知点邻近的弯曲 性时，就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究，并由此引进法典率的概念， 以起到承上启下的作用。 ３．２．１ 法曲率的定义 给定曲面 S : r = r (u, v ) 上一点 P (u , v) 及 P 点处的切方向 du : dv ，设 C : u = u (s ) ，
c u = cv ≡ 0
即 c (u, v ) = c 是常数，这样，从（21 ）式得到
d(n + c ⋅ r) = 0
即 n + cr 是定义的曲面上的常向量场，不妨设
n(u, v ) + cr (u, v) = c ⋅ r0 , c ≠ 0
于是
( r (u, v ) − r0 ) 2 =
即曲面落在 r0 为中心，以
其中
∆u 2 + ∆v 2 →0
lim
| o( ∆u 2 + ∆v 2 ) | =0 ∆u 2 + ∆v 2
1 ( L∆u 2 + 2M∆u∆v + N∆v 2 ) + o(∆u 2 + ∆v 2 ) ， 2
L = ruu |( u0 ,v0 ) ⋅n, M = ruv |( u0 ,v0 ) ⋅n, N = rvv |( u 0 ,v0 ) ⋅ n,
因此
E = ru ⋅ ru = 1 ， F = ru ⋅ rv = 0 ， G = rv ⋅ rv = 1 ，
1 L = ruu ⋅ n = − ， a
所以
M = ruv ⋅ n = 0 ，
N = rvv ⋅ n = 0
? = du 2 + dv 2
（16）
1 ? = − du 2 a
由此可见，平面 S1 和圆柱面 S2 虽然在局部上可以建立保长对应，但是它们的第二基本 形式在保长对应不是不同的，这反映了它们的形状是不同的。 下面两个定理分别用第二基本形式给出了平面和球面的特征。 定理 １ 一块正则曲面是平面的充分必要性是它的第二基本形式恒等于零。 证明 必要性在前面已经得到证明，现在只要证明充分性。设曲面的方程是
根据 Taylor 展式，我们有
（2）
r (u 0 + ∆u , v0 + ∆v ) − r (u0 , v0 )
= (ru |( u 0 ,v0 ) ∆u + rv |( u0 ,v0 ) ∆v) + 1 (ruu | (u 0 ,v0 ) ∆u 2 2
+ 2ruv |( u0 ,v0 ) ∆u∆v + rvv |( u0 ,v0 ) ∆v 2 ) + o(∆u 2 + ∆v 2 )
( r (u, v) − r0 ) 2 = R 2
对方程两边进行微分得到
dr ⋅ (r (u , v) − r0 ) = 0
由此可见，曲面的单位法向量是
n=
因此
1 ( r (u, v ) − r0 ) R 1 1 dr ⋅ dr = − ? R R
? = − dr ⋅ dn = −
反过来，假定有处处不为零的函数 c (u , v) ，使得曲面的第一基本形式 和第二基本形式 满足
式恰好改变它的符号。 （3 ）式告诉我们，Ⅱ的直接的几何意义是：它是有向距离 δ ( ∆u , ∆v ) 的主要部分的 2 倍，即?
= 2δ ( ∆u , ∆v) 。
例 平面和圆柱面的第二基本形式。 设 S1 是 E3 中的 xy − 平面，所以它的参数方程是
r = (u, v,0)
它的单位向量是常向量
根据第一类基本量和第二类基本量的定义， （20）式等价于 （20）
( nu + cru ) ⋅ ru = 0 ( nu + cru ) ⋅ rv = ( nv + crv ) ⋅ ru = 0 ( nv + crv ) ⋅ rv = 0
另一方面，由于 n 是单位法向量场，所以
( nu + cru ) ⋅ n = ( nv + cr v ) ⋅ n = 0
? = c (u, v ) ⋅?
即
( L − cE) du 2 + 2( M − cF )dudv + ( N − cG) dv 2 = 0
由于 du, dv 的任意性，不难知道
（19 ）
L (u , v) = c(u , v) ⋅ E(u , v), M (u, v ) = c (u , v) ⋅ F (u , v), N (u , v) = c(u, v) ⋅ G (u, v ).
（18）
注意到 {r ; ru , rv , n} 构成 E3 中的标架，而（ 17 ） ， （ 18）两式表明 nu , n v 在 ru , rv , n 上的投 影都是零，所以 nu , n v 都是零向量，即
dn = nu dv + nv dv ≡ 0
故 n 是曲面上的常向量场。由于
dr ⋅ n = 0
r = r (u, v ) ，
我们要证明它的单位法向量 n 是常向量，由于?
≡ 0 ，故我们有
（17）
L = −ru ⋅ nu = 0, M = − ru ⋅ nv = −rv ⋅ nu = 0 N = −rv ⋅ nv = 0
此外，由于 n 是单位向量场，故有
nu ⋅ n = nv ⋅ n = 0
其中
（9）
∂u ~ ∂u J = ∂u ~ ∂v
由（ 5）式得到
∂v ~ ∂u ∂v ∂~ v
（10）
~ L ~ M
~ M ~ ru u , n~ v ) ~ = − r~ ( n~ N v
（11）
ru = −J ⋅ ( nu , n v ) ⋅ J r v
（7）
∂ (u , v ) > 0， ~, ~ ∂ (u v)
因此
ru ~ × r~ v =
∂ (u , v ) ~, v ~) ru × rv ， ∂ (u
（8）
~=n n
并且
r~ ru u r~ = J ⋅ r , v v ~ nu nu n~ = J ⋅ n v v
（13 ）
这说明Ⅱ在曲面的保持定向的容许参数变换下是不变的。 我们称Ⅱ为曲面的第二基本形 式，L ， M，N 为曲面的第二类基本量，上述不变性还有更简明的观察，实际上，由于（ 5） 式，Ⅱ可以表示成
? = − dr ⋅ dn （14） 在保持定向的参数变换下，单位法向量 n 是不变的；而 dr ， dn 分别是向量函数 r ， n 的一次微分，由于一次微分的形式不变性，故 dr ・ dn 是不变的，从上面的讨论可以看出， 若参数变换是翻转曲面的定向的，则把单位法向量 n 变成单位法向量 − n ，所以第二基本形