基本初等函数测试题及答案

基本初等函数测试题
、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的）
1. 有下列各式：
n ____ 4
①晶=a；②若a€ R,则（a2- a+ 1）0= 1 :③ ^x4 y3x3y ；
3- 2.
其中正确的个数是（）
A. 0
B. 1 C . 2 D. 3
2. 函数y= a|x|（a>1）的图象是（）
3. 下列函数在（0,+^）上是增函数的是（）
-x 1
A. y = 3 B . y =- 2x C. y= D . y=奪
1 一
4•三个数log 2-, ^-的大小关系是（）
5
1 -1 1 - —1 1 1
A. log 2^<<2 B .log 2g<2 < C . <2 <log 25 D . <log 2^<2
5.已知集合A= {y| y= 2x, x<0} , B= {y|y = log 2X}，则A n B=（）
A. {y| y>0} B . {y| y>1} C . {y|0< y<1} D .
6. 设P和Q是两个集合，定义集合P- Q= {x|x€ P且x?Q，如果P= {x|log泳v 1}, Q ={x|1<x<3}，那么P- Q等于（）
A. {x|0 v x v 1} B . {x|0 v x w 1} C . {x|1 w x v 2} D . {x|2 < x v 3}
1
7. 已知0<a<1, x= log a 2+ log a 3, y = [og a5, z = log a 21 —log a 3，则（）
A. x>y>z B . x>y>x C. y>x>z D . z>x>y
&函数y= 2x-x2的图象大致是（）
9.已知四个函数①y = f 1（x）:②y= f2（x）:③y= f 3（x）:④y = f4（x）的图象如下图:
则下列不等式中可能成立的是（）
A. f 1（x1 + X2）= f 1（x1）+ f 1（x2） B . f 2（x1 + X2）= f2（X1）+ f 2（x2）
C. f 3(X1 + X2)= f 3( X i) + f 3( X2) D . f 4(X1 + X2)= f 4(X i) + f 4(X2)
1
一i 2 _
10. 设函数
f i(x) X2, f2(X) = X , f3(x) = x,则f 1( f 2( f 3(2010)))等于( )
2
A. 2010 B . 2010
3X2
11. 函数f (x)=-——+ lg(3 x+ 1)的定义域是()
p1 — x
x—1
2e , x<2,
12. (2010 •石家庄期末测试)设f(x) = 2 则f[f(2)]的值为
log 3 x —1 ，x >2.
( )
A. 0 B . 1 C . 2 D . 3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
13. 给出下列四个命题：
(1)奇函数的图象一定经过原点；(2)偶函数的图象一定经过原点；
1
(3)函数y= lne x是奇函数；⑷ 函数y x3的图象关于原点成中心对称.
其中正确命题序号为__________ .(将你认为正确的都填上)
14・函数y log 1 (x 4)的定义域是______________ . ________
V 2
15. ____________________________________________________ 已知函数y= log a(x+ b)的图象如下图所示，则a= ____________________________________ , b= ________ .
16. (2008 •上海高考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x€ (0 , )时，f (x)
=lg x，则满足f (x)>0的x的取值范围是 ____________ .
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
17. (本小题满分10 分)已知函数f (x) = log 2(ax+ b)，若f (2) = 1, f(3) = 2,求f(5).
1
(本小题满分12分)已知函数f (x) 2x 2.
求f (x )的定义域；(2)证明f (x )在定义域内是减函数.
时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式.
{y |0<y <1}.
P = {x |log 2X <1} = {x |0<x <2}, Q= {x |1<x <3} , A p — Q= {x |0< x < 1}，故选 B. 答案：B
18. 19. (本小题满分12分)已知函数
x
2 — 1 f ( x ) =TX -.
2 + 1
(1)判断函数的奇偶性；(2)证明: f (x )在(—8,+^ )上是增函数.
20.(本小题满分12分)已知函数
x (m 2
m 1)x m m 3 是幕函数，且 x € (0 , +8)
21.(本小题满分12分)已知函数 f (x ) = lg( a x — b x ), (a >1>b >0).
(1)求f (x )的定义域;
⑵ 若f (x )在(1 , +8)上递增且恒取正值，求
a ,
b 满足的关系式.
22.(本小题满分12分)已知f (x ) = 2丁 + • x .
(1)求函数的定义域; (2)判断函数f (x )的奇偶性;
参考答案
答案速查：1-5 BCDBC 6-10 BCACC
11-12 CC
1.解析：仅有②正确.答案： B
2.解析:
x
|x|
a
， y = a = —x a ,
x >0 ,
x <0 ,
且a >1，应选C.答案：C
3.答案: D
4. 答案:
5.解析: x
A = {y l y = 2 , x <0} = {y |0< y <1} ,
B = {y | y = log 2x } = {y | y € R} , A A n B = 答案：C
6.解析：
7.解析：x = log a 2+ log a 3 = log a 6 = flog a6,
z= log a 21 —log a 3= log a 7 = qlog a7.
1 1 1
0<a<1,.°. qlog a5>^log a6>2"log a7.
即y>x>z.
答案：C
8. 解析：作出函数y = 2x与y = x2的图象知，它们有3个交点，所以y = 2x—x2的图象与x 轴有3个交点，排除 B C,又当x<—1时，y<0,图象在x轴下方，排除D.故选A.
答案：A
9. 解析：结合图象知，A B D不成立，C成立•答案：C
一一2
10. 解析：依题意可得f3(2010) = 2010 , f2(f 3(2010))
2 2 一 1 —2
=f 2(2010 ) = (2010 ) = 2010 ,
1 —1 1
一 2 一2
••• f1(f2(f3(2010))) = f 1(2010 ) = (2010)2= 2010 =丽.
答案：C
x<1
1 —x>0 1
11.解析：由? 1 ? —-<x<1.答案：C
3x + 1>0 x>—3 3
2
12.解析：f(2) = log 3(2 —1) = log 33= 1,• f [ f (2)] = f(1) = 2e°= 2. 答案：C
1 一2
13. 解析：⑴、(2)不正确，可举出反例，如y = -, y = x ，它们的图象都不过原点.(3)
1
中函数y = lne x= x，显然是奇函数•对于(4) , y = x：是奇函数，而奇函数的图象关于原点对
3
称，所以⑷正确.
答案：⑶(4)
14. 答案：(4,5]
15. 解析：由图象过点(—2,0) , (0,2)知,log a( —2+ b) = 0, log a b= 2，•—2 + b= 1,
•- b= 3, a = 3,由a>0 知a= 3. •- a= 3, b= 3.
答案：,3 3
16. 解析：根据题意画出f(x)的草图，由图象可知，f(x)>0的x的取值范围是一1<x<0
或x>1.
答案：(—1,0) U (1 ,+^)
log 2 2a + b = 1
2a + b = 2
17. 解：由 f (2) = 1,
f (3) = 2,得
？
log 2 3a + b = 2
3a + b = 4
••• f(x ) = log 2(2x -2),
f (5) = lo
g 28= 3.
18.
■/ X 2>X 1 >0,「. X 2-X 1>0, X 2 + X 1>0,
•••f (X 1)- f (X 2)>0 ,• f (X 2)<f (X 1).
于是f (x )在定义域内是减函数. 19. 解：(1)函数定义域为R.
—X
X X
2 — 1 1 — 2 2 — 1
f ( — X ) = — = X = — _X . = — f ( X ),
2 + 1 1 + 2 2 + 1 所以函数为奇函数.
⑵证明：不妨设一8v X 1<X 2< + 8, • 2X 2>2X 1.
• f (X 2)>f (X 1).
所以f (X )在(一8,+^ )上是增函数. 20. 解：••• f(x )是幕函数， • m 2 — m- 1 = 1, • m =— 1 或 m = 2,
•- f (x ) = x —
3或 f (x ) = x 3,
而易知f (x ) = x 在(0，+m
)上为减函数, f (x ) = x 在(0 ,+8)上为增函数.
• f (x ) = x 3.
a
21. 解：(1)由 a x — b x >0,得 b x >1.
a
■/ a >1>b >0,^ >1,
b
• x >0.
即f (x )的定义域为(0 ,+8).
⑵•/f (x )在(1 , +8)上递增且恒为正值,
__ 2X 2— 1 又因为 f (x» — f (X 1) = 2X ；+^ 2X 1 —
1
2X 1+ 1
2 2x 2 — 2X 1 2x 1 + 1
2x 2 + 1 >0
,
a = 2,
b =— 2.
•f(x)>f(1)，只要f(1) >0,
即 lg( a — b ) >0,.・. a — b > 1.
••• a > b + 1为所求
22. 解：⑴ 由2x — 1工0得X M 0,.函数的定义域为 {x |x 丰0, x € R}. (2)在定义域内任取x ,则—X 一定在定义域内. 1 1
f ( — x ) = 2-
X — 1 + 2 ( — x )
亠 1 1
2X +1
而 f
(x ) = 2—7+
2
X
=
2~~ • x ，
• f ( — X ) = f (x ). • f (x )为偶函数.
⑶证明：当X >0时，2X >1,
X >0.
又f (X )为偶函数， •当 X <0 时，f (x )>0.
故当 X € R 且 X MO 时，f (x )>0.
2X 1
=
1—T + 2 1 + 2X 7—7 2X + 1
X =
2 2X — 1
-X .。