中考数学数学平行四边形的专项培优练习题(含答案

一、选择题

1．已知PA2PB4

==

，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB=45°时，PD的长是( )；

A．25B．26C．32D．5

2．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．

甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13

n=．

乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．

丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的

2

2

倍时就可移转过去；结果取13

n=．

下列正确的是（）

A．甲的思路错，他的n值对

B．乙的思路和他的n值都对

C．甲和丙的n值都对

D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对

3．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，点D是BC上的一个动点，点D关于AB，AC的对称点分别是点E，F，四边形AEGF是平行四边形，则四边形AEGF面积的最小值是（）

A．1 B．

6

2

C2D3

4．如图，矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任

意点，P 为AE 中点，则PO ＋PB 的最小值为 （ ）

A ．3

B ．13+

C ．7

D ．3

5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，点M 为BC 上异于B 、C 的一定点，点N 为AB 上的一动点，E 、F 分别为DM 、MN 的中点，当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积为 ( )

A ．4

B ．4.5

C ．5

D ．6

6．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，过点A 作GA AE ⊥，

CD 的延长线交AG 于点G ，BE DF EF +=，若30DAF ∠=?，则BAE ∠的度数为（ ）

A ．15°

B ．20°

C ．25°

D ．30°

7．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片，使AD 落在BC 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论①∠AGD ＝110.5°；②S △AGD ＝S △OGD ；③四边形AEFG 是菱形；④BF 2OF ；⑤如果S △OGF ＝1，那么正方形ABCD 的面积是2，其中正确的有（ ）个．

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

8．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：

①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =． 以上结论中，你认为正确的有（ ）个．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．如图，矩形ABCD 和矩形CEFG ，AB ＝1，BC ＝CG ＝2，CE ＝4，点P 在边GF 上，点Q 在边CE 上，且PF ＝CQ ，连结AC 和PQ ，M ，N 分别是AC ，PQ 的中点，则MN 的长为（ ）

A ．3

B ．6

C ．

37 D ．

172

10．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③AP ⊥EF ；④

2

2

PD=EF ．其中正确结论的番号是（ ）

A ．①③④

B ．①②③

C ．①③

D ．①②④

二、填空题

11．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．

12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、

P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积

依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．

13．如图，ABC ?是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，

//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，

11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则

2020C =______．

14．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF

+=的点P 的个数是________个．

15．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．

16．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．

17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．

18．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．

19．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则

BC =_________．

20．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝

3

2

S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）

三、解答题

21．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．

（1）求证：AOE COF ???；

（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；

（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．

22．如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，30C ∠=?，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．

（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；

（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；

（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由． 23．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =． （1）求证：QAB QMC ∠=∠ （2）求证：90AQM ∠=?

（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积

图1 图2

24．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．

（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；

（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．

25．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =； （2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ

AM .

26．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：

如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ?的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：

（动手操作，归纳发现）

（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ?的周长

是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想

（推理探索，尝试证明）

为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程： （2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G 则90CGB ∠=

90GCB CBG ∴∠+∠=

又

四边形ABCD 正方形，

AB BC =，90ABC ∠=

则90CBG ABO ∠+∠=

GCB ABO ∴∠=∠

在CBE ?与ABE ?中， （类比探究，拓展延伸）

（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．

27．如图，在平面直角坐标系中，已知?OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动． （1）求点B 的坐标；

（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；

（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．

28．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α?<

（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数； （3）联结AF ，求证：2DE AF =

．

29．如图，锐角ABC ?，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ?，使

AE AD =，EAD BAC ∠=∠．

（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）

①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；

（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

30．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以

E 为顶点，ED 为一边，作DE

F A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．

（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；

（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；

（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】

过P 作PB 的垂线，过A 作PA 的垂线，两条垂线相于与E ，连接BE ，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE 是等腰直角三角形，即可求出PE 的长，根据角的和差关系可得∠EAB=∠PAD ，利用SAS 可证明△PAD ≌△EAB ，可得BE=PD ，利用勾股定理求出BE 的长即可得PD 的长. 【详解】

过P 作PB 的垂线，过A 作PA 的垂线，两条垂线相交与E ，连接BE ， ∵∠APB=45°，EP ⊥PB ， ∴∠EPA=45°， ∵EA ⊥PA ，

∴△PAE 是等腰直角三角形，

∴PA=AE，PE=2PA=2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAP=∠DAB=90°，

∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD，即∠PAD=∠EAB，

又∵AD=AB，PA=AE，

∴△PAD≌△EAB，

∴PD=BE=22

PE PB

+=22

24

+=25，

故选A.

【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.

2．B

解析：B

【分析】

根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．

【详解】

甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为

n22

61265

+=14；

乙的思路与计算都正确，n22

61265

+=14；

丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=（12+6）×

2

2

=2≈13．

故选B．

【点睛】

本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．

3．D

解析：D

【解析】

【分析】

由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，当

AD⊥BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，求出2，即可得出四边形AEGF的面积的最小值．

【详解】

由对称的性质得：AE=AD=AF ， ∵四边形AEGF 是平行四边形， ∴四边形AEGF 是菱形， ∴∠EAF=2∠BAC=120°，

当AD ⊥BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小， ∵∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=2，

∴四边形AEGF 的面积的最小值=()

2

12332

??=．

故选：D 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．

4．C

解析：C 【分析】

设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，则'BO 即为PO ＋PB 的最小值，易证△ABO 为等边三角形，过点A 作AH ⊥BO 于H ，求出AH OO ='，然后利用勾股定理求出BO 即可． 【详解】

解：如图，设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，

∵P 为AE 中点， ∴点P 在MN 上，

作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ， ∴OP OP ='，

∴PO ＋PB =BP O P BO +=''， ∵四边形ABCD 是矩形，∠AOD =120°， ∴OA =OB ，∠AOB =60°， ∴△AOB 为等边三角形， ∴AB =BO =4，

过点A 作AH ⊥BO 于H ， ∴2221=3AH =-，

∵MN ∥BD ，点H 关于MN 的对称点为A ，点O 关于MN 的对称点为'O ，

∴AH OO =='OO BD ⊥'，

∴BO =

'

即PO ＋PB 故选：C ． 【点睛】

本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出'BO 为PO ＋PB 的最小值是解题关键．

5．A

解析：A 【分析】

取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，由中位线的性质，可得当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为?EFP ，求出当点N 与点A 重合时，FP 的值，以及FP 上的高，进而即可求解． 【详解】

取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，

∵FP 是?MNB 的中位线，EF 是?DMN 的中位线， ∴FP ∥BN ，FP=

12BN ，EF ∥DN ，EF=1

2

DN ， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为?EFP ．

∴当点N 与点A 重合时，FP=12BN =1

2

BA =4， 过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，

∵AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5， ∴AQ=8-5=3，

∴4==，

∴当点N 与点Q 重合时，EF=11

222

DN DQ ==，EF ∥DQ ，即：EF ⊥AB ，即：EF ⊥FP ， ∴?EFP 中，FP 上的高=2，

∴当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积=1

2

×4×2=4． 故选A ．

【点睛】

本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．

6．A

解析：A 【分析】

根据已知条件先证明△ABE ≌△ADG ，得到AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，得到

EAF GAF ∠=∠,根据30DAF ∠=?，设BAE ∠=x,利用GA AE ⊥得到方程求出x 即可求解． 【详解】

在正方形ABCD 中，AB=AD,90ABE ADG BAD ∠=∠=∠=? ∵GA AE ⊥

∴90EAD DAG ∠+∠=? 又90EAD BAE ∠+∠=? ∴DAG BAE ∠∠= ∴△ABE ≌△ADG （ASA ） ∴AE=AG ，BE=DG, ∵BE DF EF +=

∴BE DF DG DF EF +=+= ∴EF=GF

∴△AEF ≌△AGF （SSS ） ∴EAF GAF ∠=∠

∵30DAF ∠=?，设BAE ∠=x, ∴EAF GAF ∠=∠=x+30° ∵GA AE ⊥

∴90EAF GAF ∠+∠=? 故x+30°+ x+30°=90° 解得x=15° 故选A ．

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及全等三角形的判定定理．

7．B

解析：B

【分析】

①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数，从而求得∠AGD；

②证△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；

③先计算∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，从而得到∠AGE＝∠AED，易得AE=AG，由AE＝FE、AG＝FG即可得证；

④设OF＝a，先求得∠EFG＝45°，易得∠GFO＝45°，在Rt△OFG中，GF22a，从而可证得BF＝EF＝GF2；

⑤由S△OGF＝1求出a2，再表示出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAG=∠GAD＝∠ADO＝45°，∠AOB=90°，

由折叠的性质可得：∠ADG＝1

2

∠ADO＝22.5°，

∴∠AGD＝180°－∠GAD－∠ADG＝112.5°，

故①错误；

由折叠的性质可得：AE＝EF，∠AEG＝∠FEG，

在△AEG和△FEG中，

AE FE

AEG FEG

EG EG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AEG≌△FEG（SAS），

∴AG＝FG，

∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，

∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；

∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，∴∠AGE＝∠AED，

∴AE＝AG，

又∵AE＝FE，AG＝FG，

∴AE＝EF＝GF＝AG，

∴四边形AEFG是菱形，故③正确；

设OF＝a，

∵△AEG≌△FEG，

∴∠EFG＝∠EAG=45°，

又∵∠EFO＝90°，

∴∠GFO＝45°，

∴在Rt△OFG中，GF，

∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，

∴在Rt△EBF中，BF＝EF＝GF a，即BF OF，故④正确；∵S△OGF＝1，

∴1

2

OF2＝1，即

1

2

a2＝1，

则a2＝2，

∵BF＝EF a，且∠BFE＝90°，

∴BE＝2a，

又∵AE＝EF，

∴AB＝AE+BE+2a＝)a，

则正方形ABCD的面积是)2a2＝(6+＝12+

故⑤正确；

故选：B．

【点睛】

本题考查了四边形的综合，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形、菱形的判定与性质等知识是解题的关键.

8．C

解析：C

【分析】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；

④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【详解】

解：

①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH，

∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；

②∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；

③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

即42+x2=（8-x）2，

解得x=3，

点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；

过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8-3）-3=2，

由勾股定理得，

22

+=5

42

MF ME

+22

综上所述，结论正确的有①③④共3个，

故选C．

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．

9．C

解析：C

【分析】

连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH＝1，AF2237

AH FH ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP＝RQ，则点R与点M +=

重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果．

【详解】

解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：

则四边形ABEH是矩形，

∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，

∵四边形CEFG是矩形，

∴FG∥CE，EF＝CG＝2，

∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，

在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF

＝2222

6137

+

=+=

AH FH，

在△RFP和△RCQ中，

RFP RCQ PF CQ

RPF RQC ∠=

?

?

=

?

?∠=

?

，

∴△RFP≌△RCQ（ASA），∴RP＝RQ，

∴点R与点M重合，

∵点N是AC的中点，

∴MN是△CAF的中位线，

∴MN＝1137

37

222

=?=

AF，

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．

10．C

解析：C

【分析】

过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得

2

2

DP EC

=，即可得到答案．

【详解】

证明：过P作PG⊥AB于点G，

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，

∴GP=EP，

在△GPB中，∠GBP=45°，

∴∠GPB=45°，

∴GB=GP，

同理，得PE=BE，

∵AB=BC=GF，

∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，

∴AG=PF，

∴△AGP≌△FPE，

∴AP=EF；故①正确；

延长AP到EF上于一点H，

∴∠PAG=∠PFH，

∵∠APG=∠FPH，

∴∠PHF=∠PGA=90°，

即AP⊥EF；故③正确；

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

又∵∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，

∴

2DP EC

，故④错误．

∴正确的选项是①③；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．

二、填空题

11．200m

【分析】

如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】

如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M

由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形 ∵∠A ＝∠B ＝60°

∴18060E A B ∠=-∠-∠= ∴△ABC 是等边三角形

∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH ∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m 故答案为：200m ． 【点睛】

本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．

12．4:9

【分析】

设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=1

2BC=32

m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题． 【详解】

根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ， ∴2m=MC ，22PM MC +， ∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ， ∵四边形HMPN 是正方形， ∴GF ⊥BC ∵∠ACB ＝45?，

∴△FGC 是等腰直角三角形， ∴FG=CF=1

2BC=32

m ， ∴S 1＝

12DN×DP=12m 2，S 2＝1

2FG×CF=98

m 2， ∴12:S S =

12m 2: 98

m 2

=4:9， 故答案为4：9．