10-1动力分析作业题解析
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10-14 某结构自由振动经过十个周期之后，振幅降为原 来的10%。试求结构的阻尼比 和在简谐作用下共振时 的动力系数。 解：
yk 10 1 10T e yk 10 1 10T ln 10 2 T 1 1 ln ln 10 10 0.0366 10T 2 10
2 2 62.3s 1 T 0.1008
10-3 试求图示体系的自振频率。
m h I1 =
8
EI l
解：图示体系有一水平自由度，当杆顶作用一单位 水平时的弯矩图如下图所示，则柔度系数
1
I1 =
8
h
1 1 2 h 2l h l h EI 2 3 3EI 2 1 T m 3EI 2 2 mh l mh l 3EI 1
i
h
5.88 10 N cm。
F pcosθt p(t)=F
W I=
8
h=6m
E I1
E I1
解：体系刚度
12i1 24i1 24 5.88 105 k 2 2 2 39.2kN/cm 2 4 h h 6 10
最大静位移 荷载的频率
FP 0.25 yst 0.0064cm k 39.2 2 n 2 3.14 550 57.6s 1 60 60
10-13 图示结构中柱的质量集中在刚性横梁上， m=5t， EI=72000kN m2，突加荷载为10kN。试求柱顶最大位移以 及发生的时间，并画弯矩图。 解： 结构刚度：
m FP(t) 6m 2EI EI
12 EI 6 EI 30 EI EI k 2 3 3 3 6 6 6 最大静位移： 3 P 10 6 yst 10 3 m 1mm k 30 EI
对突加荷载： y(t ) yst 1 cos t
ymax 2mm 3.14 0.07 s 发生时间： t t 44.7
则中柱顶的最大弯矩为：
M max kymax
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6 EI 10 63 2 ymax 24kN m l 30 EI
第十章
位 移 法
10-1 试求图示梁的自振周期和圆频率。设梁端有重物 W=1.23kN；梁重不计， E 21104 Mpa , I =78cm4 。
W EI l=1m
l3 解：悬臂梁的柔度系数为 3EI W Wl 3 T 2 2 g 3EIg
1.23 2 3 21104 101 78 104 9.8 0.1008s
10-8 试求图示梁的最大竖向位移和梁端弯矩幅值。已 知 W 10kN,Fp 2.5kN,E=2 105 MPa, I 1130cm4 ,
57.6s 1 , l 150cm。
F psinθt p(t)=F A EI l W
解：体系柔度系数
l3 3EI
g 3EIg 3 2 104 1130 980 1 44.73 s W W l3 10 1503
W c
0.49 0.0054cm/kN 解：体系静位移 yst FP 则 90.698
W T 2 g
所以结构重量
2
1.4 980 2 2 T W g / 9010kN 0.0054 2
又
yk 1 0.392 T e yk 0.49
FP g 0.25 980 43.75s 1 W yst 20 0.0064
自振频率
动力系数
1 1.364 2 2 57.6 1 2 1 43.752
1
所以最大水平位移
ymax yst 1.364 0.0064 0.0087cm M max FP 6 1.364 0.25 6 2.05kN m
4 5
最大静位移
2.5 1503 yst FP 0.1244cm 4 3 2 10 1130 最大竖向位移： 1 0.1244 ymax yst 0.182cm 2 2 57.6 1 2 1 44.372
max
M Amax FP W l 1.463 2.5 10 150=20.49kN m
ymax 0.182 =-1.463 yst 0.1244
10-10 图示结构在柱顶有电动机，试求电动机转动时 的最大水平位移和桩端弯矩的幅值。已知电动机和结 构的自重集中于柱顶， W 20kN, 电动机水平离心力的 Fp 250N ，电动机转速 幅值 n 550r / min ，柱的线 刚度 EI1 8
则
0.392 T ln 0.49
0.392 0.392 ln ln 0.49 0.49 0.0355 T 2
所以
yk 6 A6 6T e yk 0.49
所以
A6 0.49 e0.035562 0.1285cm
10-20
试求图示双跨梁的自振频率。已知
又
所以
当 时，即发生共振
则
2 2 2 yP 1 2 4 2 2 yst 1 2
4
1 2
13.66
10-15 通过图式结构做自由振动实验。用油压千斤顶 使横梁产生侧向位移，当梁侧移0.49cm时，需加侧向力 90.698kN。在此初位移状态下放松横梁，经过一个周期 （T=1.40s）后,横梁最大位移仅为0.392cm。试求： （a）结构的自重W（假设重量集中于横梁上）。 （b）阻尼比。 （c）振动6周期后的位移振幅。
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10-14 某结构自由振动经过十个周期之后，振幅降为原 来的10%。试求结构的阻尼比 和在简谐作用下共振时 的动力系数。 解：
yk 10 1 10T e yk 10 1 10T ln 10 2 T 1 1 ln ln 10 10 0.0366 10T 2 10
2 2 62.3s 1 T 0.1008
10-3 试求图示体系的自振频率。
m h I1 =
8
EI l
解：图示体系有一水平自由度，当杆顶作用一单位 水平时的弯矩图如下图所示，则柔度系数
1
I1 =
8
h
1 1 2 h 2l h l h EI 2 3 3EI 2 1 T m 3EI 2 2 mh l mh l 3EI 1
i
h
5.88 10 N cm。
F pcosθt p(t)=F
W I=
8
h=6m
E I1
E I1
解：体系刚度
12i1 24i1 24 5.88 105 k 2 2 2 39.2kN/cm 2 4 h h 6 10
最大静位移 荷载的频率
FP 0.25 yst 0.0064cm k 39.2 2 n 2 3.14 550 57.6s 1 60 60
10-13 图示结构中柱的质量集中在刚性横梁上， m=5t， EI=72000kN m2，突加荷载为10kN。试求柱顶最大位移以 及发生的时间，并画弯矩图。 解： 结构刚度：
m FP(t) 6m 2EI EI
12 EI 6 EI 30 EI EI k 2 3 3 3 6 6 6 最大静位移： 3 P 10 6 yst 10 3 m 1mm k 30 EI
对突加荷载： y(t ) yst 1 cos t
ymax 2mm 3.14 0.07 s 发生时间： t t 44.7
则中柱顶的最大弯矩为：
M max kymax
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6 EI 10 63 2 ymax 24kN m l 30 EI
第十章
位 移 法
10-1 试求图示梁的自振周期和圆频率。设梁端有重物 W=1.23kN；梁重不计， E 21104 Mpa , I =78cm4 。
W EI l=1m
l3 解：悬臂梁的柔度系数为 3EI W Wl 3 T 2 2 g 3EIg
1.23 2 3 21104 101 78 104 9.8 0.1008s
10-8 试求图示梁的最大竖向位移和梁端弯矩幅值。已 知 W 10kN,Fp 2.5kN,E=2 105 MPa, I 1130cm4 ,
57.6s 1 , l 150cm。
F psinθt p(t)=F A EI l W
解：体系柔度系数
l3 3EI
g 3EIg 3 2 104 1130 980 1 44.73 s W W l3 10 1503
W c
0.49 0.0054cm/kN 解：体系静位移 yst FP 则 90.698
W T 2 g
所以结构重量
2
1.4 980 2 2 T W g / 9010kN 0.0054 2
又
yk 1 0.392 T e yk 0.49
FP g 0.25 980 43.75s 1 W yst 20 0.0064
自振频率
动力系数
1 1.364 2 2 57.6 1 2 1 43.752
1
所以最大水平位移
ymax yst 1.364 0.0064 0.0087cm M max FP 6 1.364 0.25 6 2.05kN m
4 5
最大静位移
2.5 1503 yst FP 0.1244cm 4 3 2 10 1130 最大竖向位移： 1 0.1244 ymax yst 0.182cm 2 2 57.6 1 2 1 44.372
max
M Amax FP W l 1.463 2.5 10 150=20.49kN m
ymax 0.182 =-1.463 yst 0.1244
10-10 图示结构在柱顶有电动机，试求电动机转动时 的最大水平位移和桩端弯矩的幅值。已知电动机和结 构的自重集中于柱顶， W 20kN, 电动机水平离心力的 Fp 250N ，电动机转速 幅值 n 550r / min ，柱的线 刚度 EI1 8
则
0.392 T ln 0.49
0.392 0.392 ln ln 0.49 0.49 0.0355 T 2
所以
yk 6 A6 6T e yk 0.49
所以
A6 0.49 e0.035562 0.1285cm
10-20
试求图示双跨梁的自振频率。已知
又
所以
当 时，即发生共振
则
2 2 2 yP 1 2 4 2 2 yst 1 2
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10-15 通过图式结构做自由振动实验。用油压千斤顶 使横梁产生侧向位移，当梁侧移0.49cm时，需加侧向力 90.698kN。在此初位移状态下放松横梁，经过一个周期 （T=1.40s）后,横梁最大位移仅为0.392cm。试求： （a）结构的自重W（假设重量集中于横梁上）。 （b）阻尼比。 （c）振动6周期后的位移振幅。