2019届高考数学大一轮复习第十一章概率高考专题突破六高考中的概率与统计问题学案文北师大版

高考专题突破六 高考中的概率与统计问题

【考点自测】

1．在可行域内任取一点，其规则如算法框图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是(

)

A.π8

B.π4

C.π6

D.π2 答案 B

解析 由题意知，可行域为正方形，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为

P ＝14π⎝

⎛⎭⎪⎫22222·22

＝π4.

2．(2017·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：

对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A ．a ＝45，c ＝15

B ．a ＝40，c ＝20

C ．a ＝35，c ＝25

D ．a ＝30，c ＝30

答案 A

解析 根据2×2列联表与独立性检验可知，当a a ＋10与c

c ＋30

相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，

a a ＋10与c

c ＋30

相差越大，故选A. 3．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a

答案 A 解析

x 1＋x 2＋…＋x 10

10

＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.

故选A.

4．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的10

11，则这个班男生

的人数为________． 答案 33

解析 根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中的概率是相同的， 根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x

63

，“选出的标兵是男生”的概率是

x

63，故63－x 63＝1011×x 63

，解得x ＝33，故这个班男生的人数为33. 5．某单位为了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程为y ＝bx ＋a 中的b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度． 答案 68

解析 根据题意知x ＝18＋13＋10＋(－1)4＝10，y ＝24＋34＋38＋64

4

＝40，因为回归直线

过样本点的中心，

所以a ＝40－(－2)×10＝60，所以当x ＝－4时，y ＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约

为68度.

题型一 古典概型与几何概型

例1 (1)(2017·榆林二模)若函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

e x

，0≤x <1，

ln x ＋e ，1≤x ≤e， 在区间[0，e]上随机取一

个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1

e B ．1－1e

C.e

1＋e

D.11＋e

答案 B

解析 当0≤x <1时，f (x )

e

，故选B.

(2)(2017·太原一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A.1

3 B.23 C.12 D.34

答案 C

解析 记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个、第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为1

2

.故选C.

思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．

跟踪训练1 (1)(2017·商丘二模)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2

x ＋1，若a 是从1,2,3中任

取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )

A.79

B.13

C.59

D.23 答案 D

解析 f ′(x )＝x 2

＋2ax ＋b 2

，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2

－4b 2

>0，即a 2

>b 2

.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．

满足a 2

>b 2

的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率为69＝23

.

(2)(2017·青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π

6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞

镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．

答案

2－3

2

解析 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2

＝4－23， 又大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－3

2

.

题型二 概率与统计的综合应用

例2 (2017·西安质检)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．

(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？

(2)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．

解 (1)A 班样本数据的平均值为1

5(9＋11＋14＋20＋31)＝17，

由此估计A 班学生每周平均上网时间为17小时；

B 班样本数据的平均值为