第五章_多目标问题的最优化方法

f q x1 f1 x2 f q x2 f1 g1 x xn 1 g x g r f q xn x1 qn
g1 g1 x2 xn g r g r x2 xn r n
s.t. g u x * 0 u 1,2,, m
例：图中的 T、P点。 ② 多目标优化的 K-T 非劣解： x*∈D ，若不存在搜索方向S，能同时满足：
f x *T S 0 其中： f1 x T 1 g x * S 0 f x


dF 1 17 5 8 x 2 令其为零， 得 x* ， f1 x * ， f 2 ( x*) 。 dx 4 16 2
§5.4
一. 基本思想：
功效系数法
给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数dj (0≤dj ≤1)表示。 对于一个设计方案 xk , F(xk)，有q个分目标函数值f1(xk), f2(xk),…, fq(xk), ，对应q个功效系数 d1,d2,…,dq 。 以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d ：
功效系数法
2、功效函数 dj = Φj (fj ) ：描述 dj与 fj 之间的关系。有三种类型：
a) 越大越好：fj ↑ dj ↑， fj ↓ dj ↓；
o j o j
f j x 0.75 f j f j x f jo
§5.3 统一目标函数法
3、偏差法： 使各目标函数值偏离所定的目标函数理想值的偏差量最小。
p min . d d j j j 1 s .t . gu x 0
s.t. x 1 0 0 x 0
f 2 0 3 f 2 1 1 1 1, 1 2； 2 1， 2 3
X R1
x 0时， f1 0 1, 根据 j f j x j
用误差容限法求： wj
x 1时， f1 1 2 ,
f1
F x 4 f1 x f 2 x 4 x 2 1 2 x 3 4 x 2 2 x 7
1 1 1 2 1 1 ； f 2 2 1； 即 w1 2 4； w2 2 1 2 2 2 f1 f 2
其中： F x f 1 x , f 2 x ,, f q x 或写为： min. 表示希望q个评价指标达到最优值 。
●
f2
4
● ● ●

f 1 x , f 2 x ,, f q x

6
T
●
5
1
●
3 2
二.
最优解与选好解、劣解与非劣解：
0.006859 Pa s
t 150o Q 小 F 足够 Pf 9.26MPa

§5.2
分析：
协调函数法
设计变量为：L/D、c、μ； 分目标函数为：供油量Q、温升△t； 约束条件：见前页。 协调曲线：Q - △t 曲线
包括了所有满足 K-T 条件的非劣解。
性能曲线： 是△t 与其它参数之间的关系曲线，可 看出各项指标之间的匹配关系。 选好解： 从协调曲线和性能曲线中可得出结论：
§5.3 统一目标函数法
2、标度因子法：
min . s .t . F x wj j d j gu x o dj o 其中：d j f j x f jo
q j 1 q
j 1,2,, q u 1,2,, m 称为目标函数的离差；
w j — 离差值加权因子，只反映各分目标函数 的重要程度，

q
wj f j ( x)
§5.3 统一目标函数法
五. 目标函数规格化法： 当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。 以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数 值规范在 [0,1] 之间。
例： 若能估计出上、下界， j f j x j 取规格化函数 其中 t f j' x j sin t j 2 f j x j tj 2 j j
wj w1 j w2 j
w
q j 1 q
1j
w2 j
(0)
w1 j
f x
fj x
j (0) j 1
1 w2 j 1
f x f
(0) j q (0) j 1 j
j
x *
j
来自百度文库
f x f x *
例：有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此 多目标函数的选好解。
分目标函数： f1 x x 2 1 min. 约束区域：
D x 0 x 1
f 2 x 2 x 3 min.
§5.3 统一目标函数法
解： min. F x w1 f1 x w2 f 2 x w1 x 2 1 w2 (2 x 3)
其中，理想最合理值 f jo f j x * f j j 1,2,, q
f j x *为分目标函数的最优值 ，f j为分目标函数作出的让 步。
§5.3 统一目标函数法
1、平方加权和法（全局准则法）： 以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权和 趋于最小作为全局准则。
q 1 2
p 1
j 1,2,, q
u 1,2,, m
o f j x d j dj fj
d j 0 d j o
o 其中 d j 为各目标函数相对于f j 的上偏差； o d 为各目标函数相对于 f j j 的下偏差。
§5.3 统一目标函数法
三. 乘除法: 目标函数中有一些属于费用类，即目标函数值越小越好，有一些 属于效果类，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了能 统一表达，采用了乘除法、线性加权组合法等方法。
§5.2
协调函数法
设计要求 选好解
0.0482 0.3 满足 0.006859 7.5° 18cm3/sec
例：径向动压轴承的优化设计。
轴承间隙 长径比 油膜厚度 油粘度 油膜温升 油流量 油压 功率损失 径向载荷 角速度
c D1 D L 1 D hmin 0.00127 mm 0.25
设q个分目标函数中有s个属于费用类，q - s 个属于效果类，总目
标函数表达式如下：
min . F x
wj f j x
j s 1
s
wj f j x
S
j 1 q
o wj 1
四.
线性加权组合法：
min. F x w j f j ( x)
j 1 j s 1
3、功效系数法：
另外，还有分层序列法、词典编辑法、边界目标函数法等
§5.2
一.
协调函数法
基本思想： 在多目标优化设计中，当各分目标函数的
最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以 其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配关 系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的方 向，各分目标值下降，直至获得选好解。 二. 协调曲线与满意曲线： 协调曲线：
① 双目标函数的协调曲线
min .
s.t . gu x 0
f x f1 x Wf 2 x u 1,2,, m
当加权因子从0 时，得到的最优点集合。
§5.2
min . s.t . 其中 f j x
协调函数法
j 1,2,, q u 1,2,, m v 1,2,, q 1 v j 为理想的合理值，是f v x *的让步。
f j x f min . F x W j o j 1 f j s .t . gu x 0 u 1,2,, m
q o j
P
j 1,2,, q
其中：wj 为加权因子，0≤ wj ≤1，取决于各分目标函数的数量
级和重要程度。一般 P 取 2。
则 x*为K-T非劣解。例，图中的 Q、S点。
§5.1
引言
劣解： 除去非劣解的其它解，即为劣解。 选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。 最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。 三. 多目标函数问题的优化设计过程：
1、先求非劣解；
2、从非劣解中选出选好解。 四. 常用的求选好解的方法： 1、协调曲线法： 2、统一目标函数法：目标规划法、线性加权因子法

j 1,2,, q
2、两项加权因子： 用于一般情况
① 适用于有导数信息的情况：
w j w1 j w2 j 其中：w1 j是本征权，反应分目标 函数的重要程度； w2 j 是校正权，用于调整分 目标函数的数量级， w2 j 1 f j x
2
§5.3 统一目标函数法
② 适用于无导数信息的情况：
② 多目标函数的协调超曲面：
gu x 0
hv x f v x f v0 0 f v0 f v x * f j
用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围。 满意曲线：是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，得 出恰当的匹配关系。 选好解：包括 x* 和 f1(x*)，f2(x*)，…，fq(x*)。
d q d1 d 2 d q
当 d max. 时，
求得最理想方案： x* x k，F x *。
二. 功效系数和功效函数：
1、功效系数dj ：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。 若dj =1，表示效果最好，非常满意；
dj =0，表示效果极差，方案不可取。
§5.4
第五章 多目标问题的最优化方法
§5.1
§5.2 §5.3
引言
协调函数法 统一目标函数法
§5.4
功效系数法
§5.1
一.
引言
多目标问题的数学模型： 设 X =[x1, x2 , …,xn]T min. F (x) X ∈ Rn s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2,…,m hv(x) = 0 v = 1,2,…, p
q j 1
总目标函数： min . F x w j f j' x
§5.3 统一目标函数法
六. 线性加权法：
1、容限值法：
目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。
估计上、下界： j f j x j j j 2
若不易估计，可令 j 0， j f j x 0 ； 令容限值 f j 则加权因子 w j 1 f j 2
0
f1
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。 综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
§5.1
引言
非劣解 x* 的定义： ① 多目标优化中，x*是其中一个解，对 于 x∈D ，若下式成立，为 x* 非劣解。 f j x * min f j x j 1,2,, q
w j 1， 称为本征权。
j 1
j — 标度因子，调整各分目标函数的量级， j
1 ， 称为校正权。 f j x * f jo 1 0.75 0 则 f j x f j
j d j — 表示最终解达到理想解的程度。 jd j
f j x * f f j x f
S 点为较好方案。
§5.3 统一目标函数法（评价函数法）
一. 基本思想： 按事先约定的某种关系，建立一个新的目标函数，将多目标问 题转化为单目标问题求解。按构筑新目标函数的方法不同，有以 下不同方法。 二. 目标规划法：（理想点法） 先给每个分目标函数设定一个理想的最合理值，再设法使各分 目标尽可能达到最合理值。