第五章_多目标问题的最优化方法
《多目标优化方法》PPT课件
cij
b1, b2 , b3, b4
解: 设变量 xij ,i 1,2,3; j 1表,2,3示,4 由 运Ai往
总吨公里数为
,总d运ij xi费j 为
求解
i1 j1
的B j货物数,于是
,问题ci优j xij化为
i1 j1
34
min
dij * xij
i1 j1
34
min
cij * xij
点 B1, B2 , B。3, 其B4 需要量分别为
b1, b2 , b3, b4
且
3
ai
，4 b已j 知
到
i
j
的A距i 离和B单j 位运价分别为
(km)和 (元di)j ,现要决定如ci何j 调运多少,才能使总的
吨,公里数和总运费都尽量少?
解: 设变量 xij , i 1,2,3; 表j 示1由,2,3,4运往 的货物Ai数,于是总
可以看到：
当P=1时,(VP)就是非线性规划, 称为单目标规划。
对于单目标问题Min f (x,) x1, x2 总D可比较
与 f (x2的) 大小.
f (x1)
对于多目标规划(VP),对于 x1, x2 D， f (x1与) f (都x2 ) 是P 维向量,如何比较两个向量的大小?
多目标优化的非劣解集 Noninferior solution for the model
积为
,它x决1 *定x2重量,而梁的强度取决于截面
形
。
1 6
x1
*
x22
因此,容易列出 梁的数学模型:
min
x1 * x2
max
1 6
*
x1
*
现代设计-多目标优化方法
好坏程度可以用诸功效系数的平均值加 以评定，即令 q q 当 =1时，表示设计方案最好；当 =0时，表示该种方案不可取。 因此，最优设计方案应是
q q max
主要目标法 考虑到多目标优化问题中各个目标的重 要程度不一样，在所有目标函数中选出 一个作为主要设计目标，而把其他目标 作为约束函数处理，构成一个新的单目 标优化问题，并将该单目标问题的最优 解作为多目标问题的相对最优解。
q
s.t.
gu X 0, u 1,2,, m
hv X 0, v 1,2,, p; p n
j 1
项分目标的重要程度及其数量级。 目前，较为实用可行的加权方法有： 1. 容限加权法 j j 为各目标容限 ，取加权因子为 fj
Wj
W j ：加权因子 （大于0） 其值决定于各
T
完全最优解：各个目标函数在可行域内 的同一点都取得极小点。 劣解：至少一个目标函数取得最大值的 点。 有效解：除完全最优解和劣解之外的所 有解。
几种多目标优化方法
线性加权组合法 q 形式：统一的目标函数 F X W j f j X j 1 和以下约束优化问题：
min F X W j f j X , X R n
式中，F（X）= f1 X , f 2 X ,, f q X ， 是q维目标向量。 由于每个目标之间可能是互相矛盾的， 因此对于多目标函数的求解，一般不可 能使每个目标函数同时达到最优。所以 在设计中就需要对不同的目标进行不同 的处理，以求获得对每一个目标都较满 意的折中方案。
主要目标法所构成的单目标优化问题如下：
第五章多目标问题的最优化方法
c) 当fj 取的值越靠近预先确定的适当值时, dj ，否则dj ↓。
功效系数法的关键在于如何确定功效函数,即功效系数的值。 功效系数的确定方法有：直线法、折线法和指数法。
三. 方法评价：
•
可直接按所要求的性能指标来评价函数，非常直观，试算后调 整方便；
min . F x
w j f j x
j 1
s
w j f jx
j s 1
q
o w
j
1
上述问题所得的优化解，显然是使位于分子的各目标函数尽可 能小，使位于分母的各目标函数尽可能大的值的解。
五.
目标函数的规格化：
当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格 化。以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标 函数值规范在 [0,1] 之间。
一.
功效系数法
基本思想：
多目标优化问题中，各个单目标的要求不全相同，有的要求极 小值，有的要求极大值，有的则要求有一个合适的数值。为了在评 价函数中反映这些不同的要求，可引入功效函数。
给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数dj (0≤dj ≤1)表示。 对于一个设计方案 xk , F(xk)，有q个分目标函数值f1(xk), f2(xk),…, fq(xk), ，对应q个功效系数 d1,d2,…,dq 。 以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d ：
f2
最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。
● ●
4
●
6
5
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。 综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
●
多目标优化方法
多目标优化方法在现实生活和工作中，我们常常需要面对多个目标同时进行优化的情况。
比如在生产过程中需要考虑成本和质量的双重优化，或者在个人发展中需要兼顾事业和家庭的平衡。
针对这样的多目标优化问题，我们需要运用一些有效的方法来进行处理。
首先，我们可以考虑使用加权法来进行多目标优化。
加权法是一种简单而直观的方法，它通过为每个目标设定权重，然后将各个目标的值乘以对应的权重，最后将加权后的值相加得到一个综合指标。
这样一来，我们就可以将多个目标转化为单一的综合指标，从而方便进行优化决策。
当然，在使用加权法时，我们需要注意权重的确定要充分考虑到各个目标的重要性，以及权重的确定要充分考虑到各个目标的重要性，以及权重之间的相对关系，避免出现权重设置不合理导致优化结果不准确的情况。
其次，我们可以采用多目标规划方法来进行优化。
多目标规划是一种专门针对多目标优化问题的数学建模方法，它可以帮助我们在考虑多个目标的情况下，找到一组最优的决策方案。
在多目标规划中，我们需要将各个目标之间的相互影响考虑在内，通过建立数学模型来描述各个目标之间的关系，然后利用多目标规划算法来求解最优解。
多目标规划方法可以帮助我们充分考虑各个目标之间的平衡和权衡关系，从而得到更为合理的优化结果。
此外，我们还可以考虑使用进化算法来进行多目标优化。
进化算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，它通过不断地演化和迭代，逐步优化出最优的解决方案。
在多目标优化问题中，我们可以利用进化算法来搜索出一组最优的解决方案，从而实现多个目标的同时优化。
进化算法具有较强的全局搜索能力和较好的鲁棒性，适用于复杂的多目标优化问题。
综上所述，针对多目标优化问题，我们可以运用加权法、多目标规划方法和进化算法等多种方法来进行处理。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点和要求，选择合适的方法进行处理，以达到最佳的优化效果。
希望本文所介绍的方法能为大家在面对多目标优化问题时提供一些帮助和启发。
多目标优化设计方法
多目标优化设计方法多目标优化（Multi-Objective Optimization，MOO）是指在考虑多个冲突目标的情况下，通过寻求一组最优解，并找到它们之间的权衡点来解决问题。
多目标优化设计方法是指为了解决多目标优化问题而采取的具体方法和策略。
本文将介绍几种常见的多目标优化设计方法。
1.加权和方法加权和方法是最简单直观的多目标优化设计方法之一、其基本思想是将多个目标函数进行加权求和，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
具体来说，给定目标函数集合f(x)={f1(x),f2(x),...,fn(x)}和权重向量w={w1,w2,...,wn}，多目标优化问题可以表示为：minimize Σ(wi * fi(x))其中，wi表示各个目标函数的权重，fi(x)表示第i个目标函数的值。
通过调整权重向量w的取值可以改变优化问题的偏好方向，从而得到不同的最优解。
2. Pareto最优解法Pareto最优解法是一种基于Pareto最优原理的多目标优化设计方法。
Pareto最优解指的是在多个目标函数下，不存在一种改进解使得所有目标函数都得到改进。
换句话说，一个解x是Pareto最优解，当且仅当它不被其他解严格支配。
基于Pareto最优原理，可以通过比较各个解之间的支配关系，找到Pareto最优解集合。
3.遗传算法遗传算法是一种模仿自然界中遗传机制的优化算法。
在多目标优化问题中，遗传算法能够通过遗传操作（如选择、交叉和变异）进行，寻找较优的解集合。
遗传算法的基本流程包括：初始化种群、评估种群、选择操作、交叉操作、变异操作和更新种群。
通过不断迭代，遗传算法可以逐渐收敛到Pareto最优解。
4.支持向量机支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习方法。
在多目标优化问题中，SVM可以通过构建一个多目标分类模型，将多个目标函数转化为二进制分类问题。
具体来说，可以将目标函数的取值分为正例和负例，然后使用SVM算法进行分类训练，得到一个最优的分类器。
多目标优化方法及实例解析ppt课件
s.t. (X )G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
maxii
i1
i ( x 1 , x 2 , x n ) g i ( i 1 , 2 , , m )
1(X)
g1
s .t.
( X)
2(X)
G
g2
m(X)
gm
式中： X [x 1 ,x 2 , ,x n ] T为决策变量向量。
缩写形式：
max(Zm Fi(n X)) （1） s.t. (X )G （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
8
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 罚款模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
方法一 效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
多目标优化设计方法PPT39页
7.4 功效系数法
一、功效系数 极小值
多目标优化设 计中，各子目 标的要求不同
极大值 一个合适的数值
每个子目标都用一个功效函数di表示 ——其值为功效系数
功效函数的范围[0,1]
fi(X)的值满意时，di=1 fi(X)的值不满意时，di=0
7.4 功效系数法（续）
1、基本思想
这种方法是对各目标函数的最优值放宽要求， 可以对各目标函数的最优值取给定的宽容值，即 ε1>0， ε2>0,…。这样，在求后一个目标函数的 最优值时，对前一目标函数不严格限制在最优解 内，而是在前一目标函数最优值附近的某一范围 内进行优化，因而避免了计算过程的中断。
若干个最优解组成的集合称为绝对最优解集,用 Da*b 表示。
只有当F(X)的各个子目标fi(X)的最优点都存在，并且 全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。
7.1 概述（续）
2、有效解（非劣解） 设 X* D (D为可行域）， 若不存在 X D ，使
fi ( X ) fi ( X*)(i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
向量形式的目标函数
设计变量应满足的所 有约束条件
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解 设 X* D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X*) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
评价函数：
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 3、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数
多目标优化算法
多目标优化算法多目标优化算法是一类用于解决具有多个目标函数的优化问题的算法。
在实际问题中，往往存在多个相互矛盾的目标，这就需要同时考虑多个目标并找到它们之间的最佳折衷。
多目标优化算法的目标是找到一组解，并使得这组解在各个目标函数上都达到最优或接近最优的状态。
多目标优化问题定义在传统的单目标优化问题中，优化目标是通过一个优化函数来定义的，而在多目标优化问题中，需要考虑多个优化目标。
一般情况下，多目标优化问题可以被定义为以下形式：$$ \\text{Minimize } f_i(\\textbf{x}), \\text{ for } i = 1, 2, ..., M $$其中M是目标函数数量，$f_i(\\textbf{x})$ 表示第i个目标函数，$\\textbf{x}$ 是决策变量向量。
多目标优化算法分类多目标优化算法可以根据其基本工作原理和搜索策略进行分类。
常见的多目标优化算法包括：•Pareto 改进算法•加权和方法•Pareto 前沿算法•基于群体智能的算法Pareto 改进算法Pareto 改进算法是一种基于 Pareto 最优解概念的算法，通过不断改进解的质量来逼近真实 Pareto 前沿。
通常采用种群演化的方式进行搜索，并通过比较解的Pareto 支配关系来选择较优解并进行改进。
加权和方法加权和方法是一种将多个目标函数加权求和转化为单目标优化问题的方法。
通过给每个目标函数赋予不同的权重，并将这些目标函数的值加权求和，转化为单目标问题进行求解。
但是权重的选择通常需要经验或者基于问题的特性进行调整。
Pareto 前沿算法Pareto 前沿算法主要利用 Pareto 支配关系来确定优劣解。
通过维护一个解集合，其中任意两个解互相不支配，从而构建出 Pareto 前沿。
通常采用进化算法或遗传算法进行求解。
基于群体智能的算法基于群体智能的多目标优化算法是利用群体智能算法（如粒子群算法、蚁群算法等）来求解多目标优化问题。
多目标最优化方法
多目标最优化方法解决优化问题时，如果只考虑单一目标最优，称为单目标最优化问题(Single-Objective optimization problem, SOP)，若考虑的最优目标不仅一个，而是多个，我们称为多目标最优化问题(Multi-objective optimization problem, MOP)。
多目标最优化是最优化方法领域中重要的研究方向之一。
多目标最优化问题起源于实际生活中复杂系统的规划设计、模型建立等。
在工程设计、工农业规划、经济规划、金融决策城、市运输、水库管理和能量分配等社会活动中，经常遇多目标最优化问题，可以说多目标优化问题是无处不有、无处不在的.正是由于这种多目标最优化问题的重要性以及普遍性才使得人们要去研究多目标最优化问题的解法。
目前，国内、外许多学者致力于这方面的研究.1.1多目标最优化问题的简史多目标最优化问题的出现，应追溯到1772年，当时Franklin提出了多目标矛盾如何协调解决的问题。
但国际上大都认为多目标最优化问题最早是由法国经济学家V. Pareto于1896年提出的。
当时，他从政治经济学的角度，把不好比较的目标归纳成多日标最优化问题。
1944年，V on.neumann和J. Morgenstern从对策论的角度，提出多个决策者彼此又互相矛盾的多目标决策问题。
1951年，T. C. Koopmans从生产和分配的活动分析中提到了多目标最优化问题，并且第一次提出了Pareto最优解的定义。
同年，H. W. Kuhn和A. W. Tucker从数学归纳的角度，给出了向量极值问题的Pareto最优解，并研究了这种解的充分必要条件。
1953年，Arron等学者对凸集提出了有效解的概念，从此多目标最优化逐渐受到人们的关注。
1963年，L. A. Zadeh从控制论角度提出多目标控制问题。
这期间Charnes, Klinger, Keeney, Geoffrion等人先后都做了有效的工作。
多目标优化方法讲义(PPT64张)
决策空间 可行域
目标空间 可行域
示例2
m i n( F X ) f ( Xf ) ,2 ( X ) 1
T
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x ( ) 2 1 4 4 4 4 4 4 3 E Dx Dx Dx 2 2 61 2 1 2 9.78 10 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2
4
2 1 2
2 2
1
2 1
2 2
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x (4 4 4 4 ) 4 4 2 1 3 E Dx Dx Dx 2 2 1 2 1 2
9.78 106 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2 g2 ( X ) 75.2 x2 0 g3 ( X ) x2 40 0 g4 ( X ) x1 0
(1) (1) (1)
(1)
( 2)
, fm ( X )
(1) (2)
T
F(X
(2)
) f1 ( X
(2)
), f2 ( X
(2)
),
, fm ( X ) , m) X (2)
T
若对于每一个分量，都有 fl ( X (1) ) fl ( X (1) ) (l 1, 2, 则显然，X (1)优于X (2)，记为X (1)
向量不等式的含义为
p p f ( X ) f ( X ) j 1 , 2 , , m , 但 至 少 有 一 个 f ( X ) f ( X ) j j l l
决策空间 非劣解集
多目标优化设计方法PPT39页
间接法
线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、 平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
分层序列法、宽容分层序列法
7.2 统一目标函数法（综合目标法）
一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X)统一到一个新构成的总的目标函数 f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统— 目标函数的单目标问题来求解．
7.1 概述
一、多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法
多目标优化的实例： 物美价廉
7.1 概述（续）
设计车床齿轮变速箱时，要求： 各齿轮体积总和 f1(X ) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和 f2 (X ) 尽可能小 使变速箱结构紧凑。
合理选用材料
使总成本 f3 (X ) 尽可能小。
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
向量形式的目标函数
设计变量应满足的所 有约束条件
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解 设 X* D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X*) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其 优劣；
多目标优化问题得到的可能只是非劣解（有效解）， 而非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最 优解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法（续) 2、解法：
直接法： 直接求出非劣解，然后再选择较好的解
将多目标优化问题转化为单目标优化问题
第五章_多目标问题的最优化方法
j 1,2,, q
2、两项加权因子： 用于一般情况
① 适用于有导数信息的情况：
w j w1 j w2 j 其中：w1 j是本征权，反应分目标 函数的重要程度； w2 j 是校正权，用于调整分 目标函数的数量级， w2 j 1 f j x
2
§5.3 统一目标函数法
② 适用于无导数信息的情况：
s.t. x 1 0 0 x 0
f 2 0 3 f 2 1 1 1 1, 1 2； 2 1， 2 3
X R1
x 0时， f1 0 1, 根据 j f j x j
用误差容限法求： wj
x 1时， f1 1 2 ,
功效系数法
2、功效函数 dj = Φj (fj ) ：描述 dj与 fj 之间的关系。有三种类型：
a) 越大越好：fj ↑ dj ↑， fj ↓ dj ↓；
第五章 多目标问题的最优化方法
§5.1
§5.2 §5.3
引言
协调函数法 统一目标函数法
§5.4
功效系数法
§5.1
一.
引言
多目标问题的数学模型： 设 X =[x1, x2 , …,xn]T min. F (x) X ∈ Rn s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2,…,m hv(x) = 0 v = 1,2,…, p
② 多目标函数的协调超曲面：
gu x 0
hv x f v x f v0 0 f v0 f v x * f j
用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围。 满意曲线：是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，得 出恰当的匹配关系。 选好解：包括 x* 和 f1(x*)，f2(x*)，…，fq(x*)。
多目标优化 理想点
多目标优化理想点
多目标优化是数学、工程和经济学等领域中常见的问题，其目标是在满足一系列约束条件下最大化或最小化多个目标函数。
理想点法是多目标优化的一种方法，其基本思想是先求解每个单目标问题的最优解，然后将所有单目标问题的最优解作为期望值，寻求可行域内距离期望解最近的点作为多目标优化问题的最优解。
理想点法的步骤如下：
1. 确定决策变量和目标函数。
在多目标优化问题中，通常有多个目标需要最小化或最大化，而这些目标通常由决策变量来影响。
2. 求解单目标问题的最优解。
对于每个目标函数，分别求解其最优解。
这可以通过各种优化算法来实现，如梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。
3. 确定期望值。
将所有单目标问题的最优解作为期望值，即所有目标函数的最小值或最大值。
4. 寻找理想点。
在可行域内寻找距离期望解最近的点，该点即为多目标优化问题的最优解。
这一步可以通过各种启发式搜索算法来实现，如模拟退火、遗传算法等。
理想点法是一种简单而实用的多目标优化方法，尤其适用于那些目标函数之间存在冲突的情况。
然而，它也有一些局限性，例如在处理高维问题时可能会遇到维数灾难，此时需要采用其他更复杂的多目标优化方法，如遗传算法、粒子群算法等。
多目标优化方法概论
多目标优化方法概论多目标优化（multi-objective optimization）是指在优化问题中存在多个冲突的目标函数的情况下，如何找到一组最优解，使得这些解在各个目标上都具有最佳性能水平。
多目标优化方法是解决这类问题的重要工具，包括传统的数学规划方法和现代的演化算法方法。
一、传统的多目标优化方法主要包括以下几种：1.加权逼近法：加权逼近法是通过为各个目标函数赋予不同的权重，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
根据不同权重的选择，得到一系列最优解，形成一个近似的最优解集。
2.充分删减法：充分删减法是通过将多目标优化问题不断简化为仅考虑一个目标函数的优化问题来求解的。
通过逐渐删减剩余的目标函数，得到一系列最优解，再从中选择一个最优解集。
3.非支配排序法：非支配排序法是针对多目标优化问题的一个常用方法。
该方法通过将解空间中的各个解点进行非支配排序，得到一系列非支配解集。
根据不同的权重选择和参数设定，可以得到不同的非支配解集。
二、现代的多目标优化方法主要包括以下几种：1.遗传算法：遗传算法是一种通过模拟生物进化过程进行优化的方法。
它通过定义适应度函数、选择、交叉和变异等操作，对个体进行进化，逐渐寻找全局最优解。
对于多目标优化问题，遗传算法可以通过引入非支配排序和拥挤度距离等机制，实现对多个目标函数的优化。
2.粒子群优化算法：粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的集体行为进行优化的方法。
每个粒子代表一个潜在的解，根据个体最优和全局最优的信息进行，逐渐收敛于最优解。
对于多目标优化问题，粒子群优化算法可以通过引入非支配排序和拥挤度距离等机制，实现对多个目标函数的优化。
3.免疫算法：免疫算法是一种模拟免疫系统的工作原理进行优化的方法。
通过定义抗体和抗原的概念，并引入免疫选择、克隆、突变和杂交等操作，对解空间进行和优化。
对于多目标优化问题，免疫算法可以通过引入非支配排序和免疫选择等机制，实现对多个目标函数的优化。
多目标优化问题
多目标优化方法基本概述几个概念优化方法一、多目标优化基本概述现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。
在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。
例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。
多目标优化的数学模型可以表示为：X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m)h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。
二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。
最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。
劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。
非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*).如图：在[0,1]中X*=1为最优解在[0,2]中X*=a为劣解在[1,2]中X*=b为非劣解多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。
三、多目标优化方法多目标优化方法主要有两大类：1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2)间接法如：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。
多目标优化方法范文
多目标优化方法范文多目标优化方法，也称为多目标优化或多目标决策，是指解决多个相互冲突的目标函数或约束条件的优化问题。
在许多实际问题中，往往存在多个决策变量和多个目标函数，这些目标函数之间往往存在冲突，改善一个目标函数的同时可能会影响其他目标函数的性能。
多目标优化方法旨在找到一组解，这组解是非劣解或近似的非劣解集合，满足目标函数之间的相对权衡，达到一个良好的平衡。
在多目标优化中，有许多方法被提出来，以下将介绍几种主要的方法：1.线性加权和加法模型：这是最基本的多目标优化方法，将多个目标函数通过线性组合或加法模型进行综合，给予每个目标函数一个合适的权重，通过调整权重来控制各个目标函数之间的优化关系。
2. Pareto优化和Pareto前沿：Pareto优化方法是通过Pareto支配来定义和求解多目标优化问题的解集。
Pareto前沿是指解集中所有非支配解的集合，即没有其他解能在所有目标函数上优于它们的解。
Pareto前沿是多目标优化问题的一个重要指标，决策者可以从中选择合适的解。
3.约束规划：在多目标优化问题中，往往存在一些约束条件。
约束规划方法通过引入约束函数来满足这些约束条件，使解集在约束条件下达到最优。
4.分解方法：分解方法是在多目标优化问题中将问题分解成多个子问题，通过解决这些子问题来近似求解整个问题。
常见的分解方法包括加权和法、控制变量法等。
5.模糊最优化：模糊最优化方法是将模糊理论应用到多目标优化问题中，通过引入模糊集合来解决问题中存在的不确定性和模糊性。
模糊最优化方法相对于其他方法更加适合求解具有模糊目标和模糊约束的多目标优化问题。
6. 遗传算法：遗传算法是一种基于自然进化原理的优化算法，在多目标优化问题中有着广泛的应用。
遗传算法通过模拟进化过程中的选择、交叉和变异等操作，以迭代的方式解空间，不断进化和改进解集，最终得到 Pareto 前沿。
7.支持向量机：支持向量机是一种基于统计学习理论的分类和回归方法，它可用于多目标优化中。
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)天津大学《最优化方法》复习题（含答案）第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1 )].([arg )(arg m in m axx f x f nnRx Rx -=∈∈ √2 {}{}.:)(min :)(max nnR D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯3 设.:R R D f n →⊆ 若nR x∈*，对于一切nR x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的全局最优解. ⨯4 设.:R RD f n→⊆ 若Dx∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的严格局部最优解. ⨯5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √6 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数RR D f n→⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √10 设RRD f n→⊆:为凸集D 上的可微凸函数，Dx ∈*.则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T⨯ 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n是凸集。
√12 设{}kx 为由求解)(minx f Dx ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{},2,1,0∈∀k ，恒有)()(1kk x f x f ≤+ .13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
1 (LP)的解集是凸的. √2 对于标准型的(LP)，设{}k x 由单纯形算法产生，则对{} ,2,1,0∈k ，有.1+>k T k T x c x c ×3 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √4 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B =的基可行解，与基变量m x x ,,1 对应的规范式中，若存在0<k σ，则线性规划(LP)没有最优解。
多目标最优化问题
§8.1多目标最优化问题的基本原理一、多目标最优化问题的实例例1 梁的设计问题设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低，问应如何设计梁的尺寸？解： 设梁的截面积宽和高分别为和1x 2x 强度最大=惯性矩最大22161x x =成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1x 2xmax 22161x x.st 22121x x += ，10x ≥20x ≥例2 买糖问题已知食品店有,, 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤， 1A 2A 3A2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖的总量不少于6公斤，，两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确1A 2A 定买糖的最佳方案？ 解：设购买,, 三种糖公斤数为，， 1A 2A 3A 1x 2x 3x1A 2A 3A重量1x 2x 3x单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤++ （用钱最省）min 14x 22.8x 32.4x ++（糖的总量最多）max 1x 2x 3x++ (用钱总数的限制).st 14x 22.8x 32.4x 20≤ ++ （用糖总量的要求）1x 2x 3x 6≥ +（糖品种的要求）1x 2x 3≥， ， 1x 2x 3x 0≥是一个线性多目标规划。
二、 多目标最优化的模型12min ()((),(),.....())Tm V F x f x f x f x -= .st ()0g x ≥()0h x ≥多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题三、解的概念1.序的概念12,.....()Tm a a a a =12,.....()Tmb b b b = （1） b a =⇔a iib =1,2....i m = （2） 称小于等于a b ≤⇔a i ib ≤1,2....i m =a b （3） 且，使，则小于向量a b <=⇔a i ib ≤∃1≤j ≤m a j j b ≠a b （4） 称严格小于a <b ⇔a i ib <1,2....i m =a b 绝对最优解：设多目标最优化问题的可行域为，,如果对D *x ∈D x∀,都有,则称为多目标最优化的绝对最优解，称绝对最优D ∈*()()F F x x <*x解的全体为绝对最优解集，记 ，absolute —绝对ab R 有效解：可行域为，,如果不存在,使，则称D *x ∈D x D ∈*()()F F x x <=为有效解，也称pareto 最优解，称有效解的全体为有效解集，记是*x pa R 由1951年T.C.Koopmans 提出的。
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g1 g1 x2 xn g r g r x2 xn r n
o j o j
f j x 0.75 f j f j x f jo
§5.3 统一目标函数法
3、偏差法： 使各目标函数值偏离所定的目标函数理想值的偏差量最小。
p min . d d j j j 1 s .t . gu x 0
s.t. g u x * 0 u 1,2,, m
例：图中的 T、P点。 ② 多目标优化的 K-T 非劣解： x*∈D ，若不存在搜索方向S，能同时满足：
f x *T S 0 其中： f1 x T 1 g x * S 0 f x
§5.2
协调函数法
设计要求 选好解
0.0482 0.3 满足 0.006859 7.5° 18cm3/sec
例：径向动压轴承的优化设计。
轴承间隙 长径比 油膜厚度 油粘度 油膜温升 油流量 油压 功率损失 径向载荷 角速度
c D1 D L 1 D hmin 0.00127 mm 0.25
s.t. x 1 0 0 x 0
f 2 0 3 f 2 1 1 1 1, 1 2； 2 1， 2 3
X R1
x 0时， f1 0 1, 根据 j f j x j
用误差容限法求： wj
x 1时， f1 1 2 ,
功效系数法
2、功效函数 dj = Φj (fj ) ：描述 dj与 fj 之间的关系。有三种类型：
a) 越大越好：fj ↑ dj ↑， fj ↓ dj ↓；
则 x*为K-T非劣解。例，图中的 Q、S点。
§5.1
引言
劣解： 除去非劣解的其它解，即为劣解。 选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。 最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。 三. 多目标函数问题的优化设计过程：
1、先求非劣解；
2、从非劣解中选出选好解。 四. 常用的求选好解的方法： 1、协调曲线法： 2、统一目标函数法：目标规划法、线性加权因子法
dF 1 17 5 8 x 2 令其为零， 得 x* ， f1 x * ， f 2 ( x*) 。 dx 4 16 2
§5.4
一. 基本思想：
功效系数法
给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数dj (0≤dj ≤1)表示。 对于一个设计方案 xk , F(xk)，有q个分目标函数值f1(xk), f2(xk),…, fq(xk), ，对应q个功效系数 d1,d2,…,dq 。 以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d ：
分目标函数： f1 x x 2 1 min. 约束区域：
D x 0 x 1
f 2 x 2 x 3 min.
§5.3 统一目标函数法
解： min. F x w1 f1 x w2 f 2 x w1 x 2 1 w2 (2 x 3)
① 双目标函数的协调曲线
min .
s.t . gu x 0
f x f1 x Wf 2 x u 1,2,, m
当加权因子从0 时，得到的最优点集合。
§5.2
min . s.t . 其中 f j x
协调函数法
j 1,2,, q u 1,2,, m v 1,2,, q 1 v j 为理想的合理值，是f v x *的让步。
其中： F x f 1 x , f 2 x ,, f q x 或写为： min. 表示希望q个评价指标达到最优值 。
●
f2
4
● ● ●
f 1 x , f 2 x ,, f q x
6
T
●
5
1
●
3 2
二.
最优解与选好解、劣解与非劣解：
wj w1 j w2 j
w
q j 1 q
1j
w2 j
(0)
w1 j
f x
fj x
j (0) j 1
1 w2 j 1
f x f
(0) j q (0) j 1 j
j
x *
j
f x f x *
例：有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此 多目标函数的选好解。
第五章 多目标问题的最优化方法
§5.1
§5.2 §5.3
引言
协调函数法 统一目标函数法
§5.4
功效系数法
§5.1
一.
引言
多目标问题的数学模型： 设 X =[x1, x2 , …,xn]T min. F (x) X ∈ Rn s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2,…,m hv(x) = 0 v = 1,2,…, p
d q d1 d 2 d q
当 d max. 时，
求得最理想方案： x* x k，F x *。
二. 功效系数和功效函数：
1、功效系数dj ：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。 若dj =1，表示效果最好，非常满意；
dj =0，表示效果极差，方案不可取。
§5.4
3、功效系数法：
另外，还有分层序列法、词典编辑法、边界目标函数法等
§5.2
一.
协调函数法
基本思想： 在多目标优化设计中，当各分目标函数的
最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以 其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配关 系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的方 向，各分目标值下降，直至获得选好解。 二. 协调曲线与满意曲线： 协调曲线：
0.006859 Pa s
t 150o Q 小 F 足够 Pf 9.26MPa
§5.2
分析：
协调函数法
设计变量为：L/D、c、μ； 分目标函数为：供油量Q、温升△t； 约束条件：见前页。 协调曲线：Q - △t 曲线
包括了所有满足 K-T 条件的非劣解。
性能曲线： 是△t 与其它参数之间的关系曲线，可 看出各项指标之间的匹配关系。 选好解： 从协调曲线和性能曲线中可得出结论：
q 1 2
p 1
j 1,2,, q
u 1,2,, m
o f j x d j dj fj
d j 0 d j o
o 其中 d j 为各目标函数相对于f j 的上偏差； o d 为各目标函数相对于 f j j 的下偏差。
§5.3 统一目标函数法
三. 乘除法: 目标函数中有一些属于费用类，即目标函数值越小越好，有一些 属于效果类，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了能 统一表达，采用了乘除法、线性加权组合法等方法。
§5.3 统一目标函数法
2、标度因子法：
min . s .t . F x wj j d j gu x o dj o 其中：d j f j x f jo
q j 1 q
j 1,2,, q u 1,2,, m 称为目标函数的离差；
w j — 离差值加权因子，只反映各分目标函数 的重要程度，
0
f1
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。 综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
§5.1
引言
非劣解 x* 的定义： ① 多目标优化中，x*是其中一个解，对 于 x∈D ，若下式成立，为 x* 非劣解。 f j x * min f j x j 1,2, f 2 x 4 x 2 1 2 x 3 4 x 2 2 x 7
1 1 1 2 1 1 ； f 2 2 1； 即 w1 2 4； w2 2 1 2 2 2 f1 f 2
设q个分目标函数中有s个属于费用类，q - s 个属于效果类，总目
标函数表达式如下：
min . F x
wj f j x
j s 1
s
wj f j x
S
j 1 q
o wj 1
四.
线性加权组合法：
min. F x w j f j ( x)
j 1 j s 1
其中，理想最合理值 f jo f j x * f j j 1,2,, q
f j x *为分目标函数的最优值 ，f j为分目标函数作出的让 步。
§5.3 统一目标函数法
1、平方加权和法（全局准则法）： 以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权和 趋于最小作为全局准则。
w j 1， 称为本征权。
j 1
j — 标度因子，调整各分目标函数的量级， j
1 ， 称为校正权。 f j x * f jo 1 0.75 0 则 f j x f j
j d j — 表示最终解达到理想解的程度。 jd j
f j x * f f j x f
② 多目标函数的协调超曲面：
gu x 0
hv x f v x f v0 0 f v0 f v x * f j
用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围。 满意曲线：是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，得 出恰当的匹配关系。 选好解：包括 x* 和 f1(x*)，f2(x*)，…，fq(x*)。
j 1,2,, q
2、两项加权因子： 用于一般情况
① 适用于有导数信息的情况：
w j w1 j w2 j 其中：w1 j是本征权，反应分目标 函数的重要程度； w2 j 是校正权，用于调整分 目标函数的数量级， w2 j 1 f j x