几何证明选讲
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
高考数学大讲义第十三章 几何证明选讲 理
第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质对应学生用书P1711．平行线等分线段定理若是一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：通过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项12．在解决相似三角形的判定或应历时易显现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 别离交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，那么BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD 的长为________．解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4. 答案：41．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)假设只能找到一对对应角相等，那么判定相等的角的两夹边是不是对应成比例；(3)假设找不到角相等，就判定三边是不是对应成比例，不然考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判定三角形相似的方式(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观看其特点，找出相等的角或成比例的对应边．[练一练]1．如图，D ，E 别离是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADES 四边形DBCE ＝45. 答案：45 2．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，那么∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD ·AB ，得BC BD ＝ABBC ，且∠B ＝∠B ，因此△ABC ∽△CBD .那么∠ACB ＝∠CDB ＝90°.答案：90°对应学生用书P172考点一 平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD于F ，那么BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，∴BE ∶AD ＝2∶5.∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25. 答案：252.(2021·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC＝3∶5，DE＝6，那么BF＝________.解析：由DE∥BC得DE BC＝AEAC＝35，∵DE＝6，又因为DF ∥AC ， 因此BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25， 即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，那么EF BC ＋FG AD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EFBC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EFBC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.答案：1[备课札记][类题通法]比例线段经常使用平行线产生，利用平行线转移比例是经常使用的证题技术，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二 相似三角形的判定及性质[典例] (2021·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，那么PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，那么PD PE ＝PE PA ，于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，因此PE ＝ 6.[答案] 6 [备课札记]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特点灵活选择判定定理，专门要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．[针对训练](2021·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，那么BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，因此△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AE AC ， 解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：42考点三 射影定理的应用 [典例] 如下图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC. [证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ， ①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ， ②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC， ④ 由②④得：DF AF ＝AEEC .[备课札记]1．在利用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时经常使用的方式．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，假设BD ∶AD ＝1∶9，那么tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，那么AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，那么BC 的长为________ cm. 解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点． 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n >0)，取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .那么BE EC ＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，那么FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n .两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn .答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，假设△AEF 的面积为6 cm 2，那么△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，那么12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，假设S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，那么S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝3. 答案：35．(2021·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，因此∠BCA ＝30°， ∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt△BCE 中，CE ＝BC ·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：21 2[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG别离交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，因此AB∥DC，AD∥BC.因此△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.因此△ABF∽△GDA.从而有AFAG＝BFAD，即AF·AD＝AG·BF.2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D在BC上且CD＝1，假设∠CAD＝∠B，求BD的长．解：作出图形(如图)，依题意，有tan∠CAD＝tan∠B，即12＝21＋BD.故BD＝3.3.已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BP CP . 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .若是AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HFHE ＝AFAB .∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC .∵D 是AC 的中点，∴HDDE ＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC 的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，因此BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，因此S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ，又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ， 因此S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114. 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE交AC 于点F .假设AE AD ＝14，求AF AC的值． 解：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13.∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AFAC ＝17. 7.如下图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)假设△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S△DEFS △ABF ＝(DE AB )2.又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .∴S △DEF S △CEB ＝(DECE )2＝19，S △DEFS △ABF ＝(DE AB )2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ；(2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD .即AD 3＝BC ·CF ·BE .第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：若是一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个极点共圆．推论：若是四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么那个四边形的四个极点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径．推论1：通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点．推论2：通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心．(2)判定定理：通过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在利历时注意结合图形作出判定．2．在利用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易显现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，那么PC 等于________．解析：设PC ＝x ，由割线定理知PA ·PB ＝PC ·PD .即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故PC ＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，若是∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠BAD 等于________．解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°， 因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的经常使用方式(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各类性质都能够取得应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应历时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，因此应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2021·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，假设∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，那么∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，因此∠MPB ＝∠MCP ，因此30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，因此∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2021·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 别离作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，那么AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，因此PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35. 答案：35对应学生用书P174考点一 圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2021·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD与BC 交于点F .假设AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，那么线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，因此AE ∥BC .又AC ∥BD ，因此四边形AEBC 是平行四边形，因此AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，因此CACB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2021·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .假设AB ＝6，ED ＝2，那么BC ＝________.解析：连结OC ，那么OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，那么∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：233.(2021·岳阳模拟)如下图，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，假设∠P＝70°，那么∠ACB ＝________.解析：如下图，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两头作圆周角或弦切角.考点二 圆内接四边形的性质及判定[典例] (2021·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)假设GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也能够证明它们与某必然点距离相等；如两点在一条线段异侧，那么证明它们与线段两头点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如下图，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)假设AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，因此∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，因此∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，因此△DPC ∽△DBA ，因此PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，因此PC AC ＝PD BD .(2)因为AB ＝AC ，因此∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，因此∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，因此∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，因此△APC ∽△ACD ，因此AP AC ＝ACAD，因此AP ·AD ＝AC 2＝16. 考点三 与圆有关的比例线段 [典例] 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．[解] (1)证明：连结DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，因此∠BDE＝∠BCA，又∠DBE ＝∠CBA ，因此△BDE ∽△BCA ，因此BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ，因此BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，因此AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，依照割线定理得，BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，因此(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理要紧用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2021·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 别离交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2.证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GFAG ＝EF 2CE 2.对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2021·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 通过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°取得OD ，那么PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.答案：7 2．(2021·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，那么BC ＝________.解析：连结AC .因为∠ABC ＝90°，因此AC 为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD ＝30°，因此AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝2.答案：2 3．(2021·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，假设AP ＝4，PB ＝2，那么PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，因此P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：224．(2021·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，因此DE 为直径，那么∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，因此BG ＝32.设DE 的中点为O ，连结BO ，那么∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，因此CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能]1．(2021·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，因此BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，因此EF2＝AD·BC.2．(2021·江苏高考)如图，AB和BC别离与圆O相切于点D，C，AC通过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC别离与圆O相切于点D，C，因此∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，因此Rt△ADO∽Rt△ACB.因此BCOD＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．(2021·哈师大模拟)如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M.(1)求证：MD＝ME；(2)设圆O的半径为1，MD＝3，求MA及CE的长．解：(1)证明：连结OD，∵∠CEO＋∠ECO＝90°，∠MDE＋∠EDO＝90°，又∠EDO＝∠ECO，∴∠CEO＝∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)∵MD2＝MA·MB，∴3＝MA·(MA＋2)，∴MA＝1.∵在Rt△MDO中，MO＝2，MD＝3，∴∠MOD＝60°，∴∠COD＝150°，∴∠ECO＝15°，CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2.4．(2021·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 别离交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ； (2)CA CE ＝PE PB . 证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD . 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PEPB .5．如下图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，因此∠ACB ＝90°，因此∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，因此∠GCA ＝∠ABC ，因此∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，因此∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，因此△ACF ∽△AEC ，因此AC AE ＝AF AC ，因此AC 2＝AE ·AF .6．(2021·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 别离为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，因此∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，因此∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.因此∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，因此过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，因此CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。
专题：几何证明选讲
专题：几何证明选讲【知识梳理】1.相似三角形的判定定理：判定定理1.两角对应相等的三角形相似。
判定定理2.三边对应成比例的两个三角形相似。
判定定理3.两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似。
2.相似三角形的性质性质定理1.相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比。
性质定理2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。
3.平行截割定理三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线成比例。
4.射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直线边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。
5.圆周角与弦切角圆的切线判定定理：经过圆的半径的外端切垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直过圆的半径。
推论1.从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等。
推论2.经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这个点向圆所做的两条切线所夹的角。
6.圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
推论1.直径所对的圆周角都是直角推论2.同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论3.等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。
7.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
8.圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线短长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆幂定理：（不用掌握）9.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
10.圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。
【知识梳理】平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
几何证明选讲PPT课件
3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆 O 的切线，切点为 C，点 A、B 在圆 O 上， BC＝1，∠BCD＝30°，则圆 O 的面积为________． 解析 连接 OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝ 60°，又 OB＝OC， 因此△BOC 是等边三角形， OB＝OC＝BC＝1，即圆 O 的半径为 1， 所以圆 O 的面积为 π×12＝π. 答案 π
m
(2)有 EF 使分得的上下两个梯形相似？若有则相似比 n 的值为
多少？
解析（1）法一、由 AE m，设AE=mx,
EB=nx,又 PA
a
EB n
，所以
AB b a
a
PA a PA a(m n)x
mx
(m n)x b a
b a nx
所以
b
PE PB
EF b
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线．
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长 相等 ．
4．弦切角 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切 ，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的 一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角 相等 ，同弧(或等弧)上的弦 切角与圆周角 相等 ．
割线定 理
(1)求PA、PB、PC、
PA·PB=PC·PD
PD、AB、CD
(2)应用相似求AC、
BD
例题
1．如图所示，△ABC 中，∠C＝90°， AB＝10，AC＝6，以 AC 为直径的圆 与斜边交于点 P，则 BP 长为________． 解析 连接 CP.由推论 2 知∠CPA＝90°，即 CP⊥AB，由射影
4-28几何证明选讲(选修4-1)
高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.答案：4 22.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，∴AF ＝233. 答案：2333．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD. 即4x ＋10＝x 4＋x⇒x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3.答案：6 34．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ，∴BD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2. 答案：a 2二、解答题(每小题10分，共70分) 6．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF .证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝AD AB，∴AB 2＝AF ·AD . 8．(2011·辽宁)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA ，所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝GE ·GF .证明：(1)连接CB ，∵∠ACB ＝90°，AG ⊥FG ，又∵∠EAG ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠AEG .∵∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－∠AEG ＝∠CEF ，∴∠ADC ＋∠FDC ＝∠CEF ＋∠FDC ＝180°，∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)由C ，D ，F ，E 四点共圆，知∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴△GCE ∽△GFD ，故GC GF ＝GE GD，即GC ·GD ＝GE ·GF .∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF .10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC .∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB， ∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝23cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.。
几何证明选讲定理大全
6.ΔABC内接于⊙O，AD是⊙O旳直径， CE⊥AD，E为垂足，CE旳延长线交AB
于点F，求证：AC2=AF·AB.
7.已 知BC是 圆O的直 径，AD BC，垂足 为D， BF交AD于E， 且AE BE. (1)求证 ：弧AB 弧AF; (2)如 果sinFBC 3，AB 4 5， 求AD的 长.
直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂
足为D，
求证：AC平分∠BAD
E
O
A
C
D
2.如图，⊙O和⊙O′都经过A、B 两点，AC是⊙O ′旳切线，交 ⊙O于C，AD是⊙O旳切线，交 ⊙O ′于D，
求证：AB2＝BC·BD.
A
O CB
O' D
3.在△ABC中，∠A旳平分线AD交BC 于D，⊙O过点A，且和BC切于D， 和AB、AC分别交于E、F， 求证：EF//BC.
若∠PAD=∠DCB，则ABCD四点共圆；
D
若∠ADB=∠ACB，则ABCD四点共圆；
C O
PA
B
练习
情况唯一吗？
1.⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点旳直线CD与
⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点旳直线EF与
⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE∥DF.
D
E
A
A
D
C
C O1
O2
F
D
E
B
C
A
D
E
16
16 8
CF DE , BF 8
.
3
33
B
几何证明选讲专题 人教课标版精品公开PPT课件
B
解：因为，AOC 100o,
O A
所以BOC180o-100o 80o.
C
所以D 1BOC=180o 40o.
2
2
14
例8(2008广州模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O 于A,MAB25o，则ADC 1 1 5 o ．
思路分析解：连接DB. M A
因为BC为直径,
C F
A
D
O
E B
Ж 解 析连 接 OB， OC， 则 ABAC
102-62 8． 由 切 线 长 定 理 ， 得 EDEB， FDFC， AEF的 周 长 是 ２ ８16．
例 16等 腰 梯 形 ABCD 的 腰 AD 的 长 为 3， e O 为 其 内
切 圆 ， 则 梯 形 ABCD 的 的 中 位 线 的 长 是 （ B ）
6
教学目标（1）
通过选择题和填空题的练习，提高单 位时间内信息的输入和输出量,使主导作用 和主体作用得到充分的发挥,使学生进一 步感受、体会选择题的应试策略和填空题 的解题技巧，逐步培养学生灵活应变的能 力,落实双基.
例 1 (2008广 东 ） 已 知 P A 是 圆 O 的 切 线 ， 切 点 为 A ， P A2, A C 是 圆 O 的 直 径 ， P C 与 圆 O 相 交 于 点 B ， P B1 ,则 圆 O 的 半 径 R （ 3 ）
4—1
几何证明选讲
———专题讲座
1
考试内容与要求
•理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定 理． 掌握以下定理的证明： （1）直角三角形射影定理； （2）圆周角定理； （3）圆的切线判定定理与性质定理； （4）相交弦定理； （5）圆内接四边形的性质定理与判定定理； （6）切割线定理.
高中数学几何证明选讲
高中数学几何证明选讲1.证明两条相交直线的垂直平分线相交于直线的交点处。
证明：设存在直线l1和l2相交于点A，l3是l1和l2的垂直平分线，交于点O。
需要证明AO=AO。
首先，连接点A和O，以及连接点B和O。
由于l3是垂直平分线，所以AO=BO，又由于l1和l2是相交直线，所以∠A=∠B。
根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA。
又因为∠OAB+∠OBA=180°，所以∠OAB和∠OBA是两个互补角，所以∠OAB和∠OBA都是90°，所以AO和BO是直角。
因此，垂直平分线l3与相交直线l1和l2的交点处于直线l1和l2的交点上，即O是直线l1和l2的交点。
2.证明三角形的三条中线交于一个点，并且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
证明：设∆ABC是一个三角形，M、N、P分别是AB、BC、CA的中点，需要证明MN和AP的交点恰好是∆ABC的三条中线的交点，并且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
连接点M与点P，连接点N与点A。
首先，根据线段的中点定理可得MP=NP。
又因为M和N分别是AB和BC的中点，所以MN∥AC。
因此，根据平行线的性质可得∠NMP=∠NAP。
又因为梯形MNPA是一个等腰梯形，所以∠PAN=∠MNP。
因此，∠PAN和∠MNP是两个互补角，所以∠PAN和∠MNP都是90°，所以MN和AP是直角。
又根据线段的中点定理可得MN=2NP。
因此，MN和AP的交点恰好是∆ABC的三条中线的交点，且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
3.证明三角形的内心、外心和垂心共线。
证明：设∆ABC是一个三角形，O为∆ABC的外心，I为∆ABC的内心，H 为∆ABC的垂心，需要证明O、I和H共线。
首先，连接OA、OB、OC。
根据圆的性质可知，OA=OB=OC，所以O到∆ABC的三个顶点的距离相等，也就是说，O到三角形三边的距离相等。
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
添加标题
几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
几何证明选讲(广东文数)
选修4-1 《几何证明选讲》复习讲义一、广东高考考试大纲说明的具体要求：（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理. （2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.二、基础知识梳理：1.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；2. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；222A AD BC =___________,__________,__________ABCRtAD AB AC ==如图，中，为直角，为斜边上的高，则3.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。
圆内接四边形的性质与判定定理_ B_ C_ A4.圆中的比例线段三、常见题型题型一.相似三角形的性质、直角三角形的射影定理等 例1.如图，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ， 则=+ADFGBC EF ．变式练习. 在ABC 中，//DE BC ，DE 将ABC 分成面积相等的两部分，那么:DE BC =__________例2. 如图，在ABC 中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，D A B D B A ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.题型二.与圆角度相关问题例1.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 _ __ .变式练习.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延 长线上， BD=OB ，CD 与⊙O 切于C ，那么 ∠CAB==________.例2.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 ____变式练习. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为________题型三.切割线定理例1.如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD,AB 是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则AB= __。
几何证明选讲定理大全
与圆周角定理有什么关系？
若∠ADB＋∠ABC＝180°，则ABCD四点共圆； 若∠PAD=∠DCB，则ABCD四点共圆； 若∠ADB=∠ACB，则ABCD四点共圆；
P
A C D O B
练习
情况唯一吗？
1.⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与 ⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与 ⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE∥DF.
BC EF AC DF
合比
?
AB BC AC DE EF DF
BC AC EF DF
AB DE AC DF
C 1、如图：EF∥AB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（ ）
4 cm 3
E
F B
２、已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC，那么下列结论不成立的 A 是( ) B
解析 ∵E 是 AB 的中点， ∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB. 又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形． ∴CB∥DE， ∠DEM＝∠BFM， ∴ ∴△EDM∽△FBM. ∠EDM＝∠FBM， DM DE ∴ ＝ .∵F 是 BC 的中点， BM BF 1 ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝ DB＝3. 3
E
B
选修4-1相关定理
弦切角的性质
弦切角
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、
E
另一边和圆相切的角叫做弦切角. 要点： 顶点在圆上 一边和圆相交 A 一边和圆相切
E A O B C D E 极限状态
O D
C
B
A(D)
O
B
C
∠EAB＝∠BCD
∠EAB＝∠BCA
欧几里得-人教B版选修4-1几何证明选讲教案
欧几里得-人教B版选修4-1 几何证明选讲教案一、教学目标1.掌握欧几里得几何的基本概念和基本原理；2.掌握几何证明的基本思路和方法；3.培养学生的几何直觉和证明能力；4.提高学生的逻辑思维能力和数学素养。
二、教学重点1.欧几里得几何的基本概念和基本原理；2.几何证明的基本思路和方法；3.学生的几何直觉和证明能力。
三、教学难点1.学生对欧几里得几何的严谨性和抽象性的理解；2.学生对几何证明的思路和方法的掌握；3.学生对几何证明的实践能力和数学素养的提高。
四、教学方法1.讲授法；2.示范法；3.探究法；4.合作学习法。
五、教学内容和进度安排第一课时教学内容：1.欧几里得几何的基本概念和基本原理；2.直线、线段、角的定义和性质；3.同位角、对顶角等基本角的概念和性质。
#### 教学进度安排：4.讲授欧几里得几何的基本概念和基本原理30分钟；5.示范直线、线段、角的定义和性质20分钟；6.探究同位角、对顶角等基本角的概念和性质30分钟；7.合作学习掌握欧几里得几何基本概念和基本原理30分钟。
第二课时教学内容：1.图形的分类和性质；2.等式的性质和运用；3.几何定理的创新运用。
#### 教学进度安排：4.讲授图形的分类和性质30分钟；5.示范等式的性质和运用20分钟；6.探究几何定理的创新运用30分钟；7.合作学习熟练掌握几何定理的创新运用30分钟。
第三课时教学内容：1.相似三角形的定义和性质；2.对数函数的性质和运用；3.几何证明的方法和技巧。
#### 教学进度安排：4.讲授相似三角形的定义和性质30分钟；5.示范对数函数的性质和运用20分钟；6.探究几何证明的方法和技巧30分钟；7.合作学习掌握几何证明的方法和技巧30分钟。
第四课时教学内容：1.平行四边形和梯形的性质；2.变参函数的性质和运用；3.模拟竞赛证明的练习。
#### 教学进度安排：4.讲授平行四边形和梯形的性质30分钟；5.示范变参函数的性质和运用20分钟；6.探究模拟竞赛证明的练习30分钟；7.合作学习练习模拟竞赛证明30分钟。
几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）
⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。
推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。
判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。
判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。
简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。
几何证明选讲
选讲内容本章知识结构图几何证明选讲平行线等分线段定理推论引理推论1推论2平行线分线段成比例定理相似三角形预备定理判定定理2判定定理1判定定理3直角三角形相似判定定理射影定理坐标系与参数方程切割线定理相交弦定理割线定理切线定义圆的切线的判定定理与性质定理坐标系圆周角定理参数方程柱坐标系球坐标系平面直角坐标系直角坐标系极坐标系直线和圆的参数方程圆锥曲线的参数方程平面上的坐标系弦切角的性质定理切线长定理圆内接四边形性质定四点共圆判定定理推论1推论2空间中的坐标系直线和圆常见曲线摆线和圆的渐开线椭圆的参数方程双曲线的参数方程抛物线的参数方程曲线的极坐标方程不等式第一节 几何证明选讲考纲解读1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义、通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.命题趋势探究主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理以及圆内接四边形的性质.知识点精讲一、平行截割定理1.平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组平行线相交的）直线上截得的相等也相等.(2) 推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰.不等式证明不等式的基本方法 柯西不等式、排序不等式不等式和绝对值不等式不等式不等式的基本性质 基本不等式 绝对值不等式的解法三个正数的算数 -几何平均不等式绝对不等式绝对值三角不等式 比较法综合法与分析反证法与放缩法数学归纳法2. 平行截割定理及其推论（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线段成比例．二、相似三角形1.相似三角形的判定（1）判定定理：①两角对应相等的两个三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例，两三角形相似.（2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.(3)直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.2.相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3.直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.三、圆的切线1.切线的性质及判定（1）切线的性质定理：原的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等.四、相交弦定理圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.五、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．六、圆内接四边形1. 圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.2. 圆内接四边形的判定定理:(1) 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆.(2)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆.题型归纳及思路提示题型192 相似三角形思路提示运用相似三角形的判定定理与性质，注意表示线段字母的对应，常考题型是“A”型或“8”型相似.例16.1如图16-1所示，已知,,DE AB EF BC ∥∥求证：DEF ABC ∆∆∽ 解析：证法一：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以,ODE OAB OEF OBC ∆∆∆∆∽∽. 所以,.DE OE EF OE AB OB BC OB ==所以DE EFAB BC=①. 又DEF ∠与ABC ∠同向，由等角定理知DEF ABC ∠=∠②由①②得DEF ABC ∆∆∽.图16-1OFEDCBA证法二：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以,,OD OE OF OE OD OFDA EB FC EB DA FC==∴=， 所以DF AC ∥.即,,DE AB EF BC DF AC ∥∥∥. 所以,,ODE OAB OEF OBC ODF OAC ∆∆∆∆∆∆∽∽∽. 故DE OE EF OF DF AB OB BC OC AC====，即DE EF DF AB BC AC ==. 所以DEF ABC ∆∆∽.变式1如图16-2所示，在ABC ∆中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若BE 和CD 相交于O ，AO 和DE 相交于F ，AO 的延长线交BC 与G.证明：（1）BG DFGC FE=；（2）BG GC =变式2如图16-3所示，已知AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.若,22A C PD DA ∠=∠==，则PE=__________________P图16-3EDCBA变式3 如图16-4所示，已知PA ，PB 是O e 的两条切线，PCD 是O e 的一条割线， E 是AB 与PD 的交点. 证明：（1）AC PA AD PD=；（2）AC AD CB DB =；（3）AC ADCB DB =. P图16-4OEDCBA例16.2如图16-5所示,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和CD 交于点P ，若11,23PB PC PA PD ==，则BCAD 的值为__________________. 图16-2OFEDGCBA解析：因为四边形ABCD 是圆O 的内接四边形.所以PBC PDA ∠=∠.又BPC DPA ∠=∠，所以PBC PDC ∆∆∽，所以.BC PC PBAD PA PD== 2111()236BC PC PB AD PA PD =⨯=⨯=.故6.6BC AD = 变式1.如图16-6所示，O e 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若,4,BD AE AB ⊥=2,3BC AD ==，则DE =____________ CE =____________.变式2 如图16-7所示，过O e 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A 、B 两点，且7,PB C =是圆上一点使得5,,BC BAC APB =∠=∠则AB =________________。
几何证明选讲定理大全
几何证明选讲定理大全几何证明是数学中的一项重要内容，它通过推理和逻辑推导来证明几何定理的正确性。
下面是一些常见的几何定理的证明：1.直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和定理（勾股定理）：设直角三角形的两直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，根据勾股定理可得：c²=a²+b²。
证明如下：画出一个以a和b为直角边的正方形，将其分成两个小正方形和两个矩形。
则大正方形的面积等于a²+b²，而两个小正方形和两个矩形的面积之和等于c²。
因此，c²=a²+b²。
2.等腰三角形底角的平分线也是高的平分线：设ABC为等腰三角形，AB=AC，且BD为底角ABC的平分线，BE为高的平分线。
证明如下：连接AE和BD。
由于BE是高的平分线，所以角BED=90°。
又由于BD 是角ABC的平分线，所以角ABE=角EBC。
因此，三角形ABE和BEC是全等的。
根据全等三边对应定理，可得AE=BE。
因此，BD也是高的平分线。
3.任意角的正弦定理：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，角A的对边长度为a，角B的对边长度为b，角C的对边长度为c。
根据正弦定理可得：sinA/a = sinB/b = sinC/c。
证明如下：假设有一个单位圆O，并在圆上取一点D，作OD ⊥ AB。
则AD = b·sinA，BD = b·cosA，OC = b。
连接DC，OC。
根据正弦的定义，可得sinA = AD/OD = AD/OC = b·sinA/b = BD/b。
同理，可得sinB = AD/a，sinC = BD/c。
因此，sinA/a = sinB/b = sinC/c。
4.正方形的对角线相等定理：设ABCD为正方形，对角线AC和BD相交于点O。
证明如下：连接AO和DO。
根据正方形的定义，AB=BC=CD=DA。
10-1几何证明选讲
专题10 第1讲 几何证明选讲一、填空题1．(2011·广东理，15)如右图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.[答案]35[解析] 由圆的切线性质可知∠PAB ＝∠ACB ， 又∠APB ＝∠BAC ，所以△P AB ∽△ACB ， 所以AB BC ＝PB AB ，而BC ＝5，PB ＝7，∴AB 5＝7AB， ∴AB 2＝35，AB ＝35.2．(2011·湖南理，11)如右图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．[答案]233[解析] 如图，连结AE ，OA ，OE ，∠AOB ＝60°，OA ＝2，∴AD ＝ 3. 又∵△AFE ∽△DFB ，∴AF FD ＝AEBD，AE ＝2，BD ＝1，∴AF3－AF ＝2，∴AF ＝233.3．(2011·陕西理，15)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.[答案] 4 2[解析] ∠B ＝∠D ，∠DCA ＝∠BEA ＝90°. ∴△DAC ∽△BAE ，∴AB AD ＝AE AC .∴AE ＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.4．(2010·北京理，12)如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝______；CE ＝________.[答案] 5 27[解析] 首先由割线定理不难知道AB ·AC ＝AD ·AE ， 于是AE ＝8，DE ＝5，又BD ⊥AE ，故BE 为直径， 因此∠C ＝90°，由勾股定理可知 CE 2＝AE 2－AC 2＝28， 故CE ＝27.5．如图：PA 与圆O 相切于点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知∠BPA ＝30°，PA ＝23，PC ＝1，则圆O 的半径等于________．[答案] 7[解析] 由已知可得，PA 2＝PC ·PB ，从而可得PB ＝12，连结OA 并反向延长，交圆于点E ，交BC 于D ，且∠BPA ＝30°，在直角三角形APD 中可以求得PD ＝4，DA ＝2，故CD ＝3，DB ＝8，记圆的半径为R ，由于ED ·DA ＝CD ·DB ，因此，(2R －2)×2＝3×8，解得R ＝7.6．(2011·广东东莞)如下图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3.则BD 的长为________．[答案] 4[解析] 由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB ·(DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.7．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到AC 的距离OD ＝________.[答案] 3[解析] 由已知得∠CBA ＝90°，因为BC ＝43，∠BAC ＝30，所以AB ＝BC tan30°＝4333＝12，故AO ＝6，由于∠ODA ＝90°，所以OD ＝3.8．如图，已知在△ABC 中，CD⊥AB 于D ，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝________.[答案] 90°[解析] 在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD ·AB ，得BC BD ＝ABBC ，且∠B ＝∠B ，所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 二、解答题9．(2011·江苏，21)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB AC 为定值．[证明] 连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D ，连结BD ，SE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上．故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.所以BD ∥CE ， 于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2. 所以AB AC 为定值．10．(2011·新课标理，22)如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径． [解析] (1)证明：如图，连接DE ，在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AE AB .又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB .因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)解：m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.如图，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂直，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.11．(2011·辽宁理，22)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD∥AB;(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．[解析](1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连结AF，BG，则△EF A≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠F AB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．12．如图，AE、AF分别为△ABC的内、外角平分线，O为EF的中点．求证：OB OC＝AB2 AC2.[分析]OB OC等于△ABO与△ACO的面积之比(高相等)，自然想到证明△ABO∽△CAO.[证明]∵AE，AF为△ABC的内、外角平分线，∴AE⊥AF，又∵O为EF的中点，∴∠OEA＝∠OAE.∵∠OAE＝∠CAE＋∠OAC，∠OEA＝∠B＋∠BAE，而∠BAE＝∠CAE，∴∠OAC＝∠B.∵∠AOB为公共角，∴△OAC∽△OBA.S△OAC＝AB2 AC2.∴S△OBA又∵△OAB与△OCA有一个公共边OA.S△OAC＝OB OC，∴OB OC＝AB2 AC2.∴S△OBA[评析]利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似，然后由面积比等于相似比的平方这一性质来解题．所以并非见到内外角平分线，就用角平分线定理．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几何证明选讲
一、选择题
1. (优质试题·天津高考文科·T7)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D,交BC 于点E,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF;②FB 2
=FD ·FA;③AE ·CE=BE ·DE;④AF ·BD=AB ·BF.
则所有正确结论的序号是 ( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②④
【解析】选 D.因为
,B A F D B F B A F D A C ∠=∠∠=∠,DAC DBC ∠=∠，所以,C B D D B F ∠=∠即BD 平分CBF ∠,故①正确；BAF DBF ∠=∠，知,B A F D B F ∆∆∼所以,AB BD AF BD AB BF AF BF =⋅=⋅即,2,AF BF BF AF DF BF DF
==⋅,故②,④正确 二、填空题
2. （优质试题·湖北高考理科·Ｔ15）（选修4-1：几何证明选讲）
如图，P 为⊙O 外一点，过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB .
【解析】由切割线定理得
4)31(12=+⨯=⋅=QD QC QA ，所以2=QA ，
4==PA PB . 答案：4
【误区警示】解答本题时容易出现的问题是错误使用切割线定理。
3. （优质试题·湖南高考理科·Ｔ12）12．如图3，已知,AB BC 是O 的两条弦，
,,AO BC AB BC ⊥==则圆O 的半径等于
【解题提示】做出过AO 的直径，利用射影定理求解。
【解析】如图延长AO ，做出直径AD ，连接BD ，则AB 垂直于BD ，设BC ，AD 交于E ， 因为
,,AO BC AB BC ⊥
=所以AE=1，由射影定理得AD AE AB ⋅=2，2
3,23==r r . 答案：2
3=r 4.(优质试题·广东高考文科·T15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且EB=2AE,AC 与DE 交于点F,则CDF AEF ∆∆的周长的周长= .
【解析】显然△CDF ∽△AEF,则
CDF AEF ∆∆的周长的周长=CD AE =AE EB AE
+=3. 答案:3
5.(优质试题·广东高考理科)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB
上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则
CDF
AEF
∆
∆
的面积
的面积
= .
【解析】显然△CDF∽△AEF,则
CDF
AEF
∆
∆
的面积
的面积
=
2
2
CD
AE
=
2
2
AE EB
AE
+
（）
=9.
答案:9
【误区警示】不会用平行四边形得出相似三角形或误用相似比,利用图形的几何性质及面积比等于相似比的平方求解.
6.(优质试题·陕西高考文科·T15)（文理共用）B.(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF= .
【解题指南】根据条件利用割线定理推得线段长度间关系,结合已知证得相似,从而得解.
【解析】由已知利用割线定理得:AE·AB=AF·AC,又AC=2AE,
得AB=2AF,
所以==且∠A=∠A得S△AEF∽S△ACB且相似比为1∶2,又BC=6,所以EF=3.
答案:3
三、解答题
7.（优质试题·辽宁高考文科·Ｔ22）与（优质试题·辽宁高考理科·Ｔ22）相同
（优质试题·辽宁高考文科·Ｔ22）如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.
（Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED.
【解析】（Ⅰ）证明：因为PG PD =，所以PDG PGD ∠=∠.
由于PD 为切线，所以PDA DBA ∠=∠，又由于EGA PGD ∠=∠，PDG PDA ∠=∠ 所以EGA DBA ∠=∠.所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠,
从而BDA PFA ∠=∠,由于AF EP ⊥,所以90PFA ∠=,于是90BDA ∠=，故AB 为圆的直径； （Ⅱ）证明：连接BC,DC.由于AB 为圆的直径，所以90BDA ACB ∠=∠=.在,Rt BDA Rt ACB 中，,AB BA AC BD ==,从而Rt BDA ≌Rt ACB .于是有
DAB CBA ∠=∠;又因为DCB DAB ∠=∠,所以DCB CBA ∠=∠，故DC ∥AB . 由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角，则ED 为直径，所以AB=ED.
8. (优质试题·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T22)(优质试题·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,P 是☉O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线PBC 与☉O 相交于点B,C,PC=2PA,D 为PC 的中点,AD 的延长线交☉O 于点E.证明:
(1)BE=EC.
(2)AD·DE=2PB2.
【解题提示】利用圆及三角形的平面几何性质求解.
【解析】（1）连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而BE EC
.因此BE＝EC.
（2）由切割线定理得2
PA=PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC，
所以AD·DE＝2
2PB.。