对数函数导学案 (2)

对数函数及其性质（1）（教学设计）对数函数及其性质（1）的含量①②③④⑤⑥，则，则.若若，则函数的图象关于好玩的计算尺与背后的对数故事(1)转发评论2009-08-18 20:44此书第一卷第三部分“分析”中首先就给出了对数的历史和演化过程。

其中提到了对数表。

由此我忽然想起一个对数表衍生出的工具：计算尺。

2006年第6期的《环球科学》中曾有一篇文章《300年辉煌：计算尺传奇》，正是通过这篇文章，我第一次知道了还有这么神奇的工具。

在计算器发明前，能作为计算的辅助工具的，并不只有算盘。

而且计算尺使得工程人员和科学家能以非常快的速度计算乘、除、开方、正余弦、双曲三角函数等，其很多功能是算盘所不具备的。

计算尺的原理决定了它强大的功能，以及与算盘有着本质上的不同。

计算尺的诞生可以追溯到对数的第一次应用。

1614年，苏格兰数学、物理学家约翰·纳皮尔在他的《对数原理》一书中收录了其制作的世界第一份对数表。

但直到他逝世后的1619年，计算此对数表的方法才被公开。

与此同时，瑞士人约布斯特·比尔吉独立的发明了与纳皮尔类似的方法，也计算出对数表，并于1620年出版。

1620年，为了方便的使用对数表，英国数学家埃德蒙·甘特把对数以一种特别的位置关系刻在了尺子上；大约1622年的时候，英国圣公会牧师威廉·奥特雷德把两根木制对数标尺并排放在一起，创造出了世界上第一把计算尺。

有了奥特雷德的发明，人们就可以告别对数表，只须拉拉计算尺，对一下两个因数的位置，便可得到乘法的结果。

这一发明使得计算“抛开了数字”。

此后300年间，针对不同的专业需求，人们给计算尺添加了不同的功能，极大提高了计算效率。

《环球科学》中提到的可在网站上下载的“自制计算尺”的图样已失效，不过好在杂志上也印刷了一份，复印后按照说明剪裁一下，一个小巧的计算尺就到手了。

试验过它的各种用法后，我不禁惊叹于计算尺精巧的设计和对原理巧妙的利用。

可以想见这种工具在计算器前时代起着如何重要的作用。

如果有人对计算尺感兴趣，可以在baidu或google上搜一下上面的那篇文章，还可找到部分内容。

其中有计算尺的使用示例和详细介绍，我就不再多说了。

下面记录一些更有意义的历史过程：对数相关内容的推导。

首先是对数表的计算：<1>设底b为接近1的一个小数，比如1.0001，即，这样底b的逐次整数幂相互很靠近。

<2>基于上述的考虑（“b的逐次整数幂”），设y的值每次增加1，即数y以1等差递增，；而对应的x增加。

再由，可得，于是。

<3>只要能确定一组初始的x和y值，此后通过不停地对上一个x加，对上一个y加1，计算下去即可得到一张大致的对数表（注意此处得到的x值序列并非等差数列）。

比如：基于指数函数的知识，可设x = 1时，y = 0。

然后，，由此也可看到，随着x和y的增大，也即是逐渐变小的，而不变，所以逐渐变大。

<4>为进一步提高计算出的对数表的精度，可回溯至第2步，取，则，于是。

此后通过不停地对上一个x加，对上一个y加0.1，计算下去即可得到一张精度更高的对数表。

如需要，可取更小的小数。

在计算对数表时，底的选取并不是一个重要的因素。

所以可以换一种方法来思考对数的求值问题。

<1>由上面时的情况，。

然后重新定义y，此后的y变为之前的y乘以，x改写为。

同时新的，并有，。

<2>由之前内容可知，欲求对应的对数的值，可将x由1开始每次增加直至最终的值，同时y由0开始并每次增加一个相应的，当x的值到达时，y的值即为所要求的值，。

<3>引入另一平面直角坐标系，横轴为轴，纵轴为轴。

在平面上画一条双曲线，然后求由、、（此处代表一个定值）、围成的曲边梯形的面积。

此处使用积分的思路，不过，这里以等面积来划分小矩形，每个小矩形的面积都为。

因为每个小矩形的、值不同，所以的值也不固定，即，划分的小矩形不等宽。

最终求出的曲边梯形的面积为。

<4>可以看到，<2>和<3>得出的式子实际是相同的。

所以求的对数的问题就转化为求由、、、围成的曲边梯形的面积上来了。

设，当时，由1加到的相加次数趋于无穷大。

此时曲边梯形面积可表示为。

所以时此对数函数也可表示成积分的形式。

确定的底<1>由上面，所以。

将其改写为，并让，此时。

这与上面设，并将改写为实际是一回事，此时对数函数可用另一坐标系下的双曲线下的面积来表示。

<2>也改写为，同时令。

即，。

设，就有。

结合上一步，当以e为底时，可写为，即。

e就是自然常数。

∙标签：计算尺、对数∙分类：数学与自然科学2009-08-18 20:44 来自我的搜狐在博客中查看编辑删除阅读(90) 转发评论对数是由英国人纳皮尔（Napier，1550～1617）创立的，而对数（Logarithm）一词也是他所创造的。

这个词是由一个希腊语（打不出，转成拉丁文logos，意思是表示思想的文字或符号，也可说成“计算”或“比率”）及另一个希腊语（数，抱歉，我不知道拉丁文怎么写）结合而成的。

纳皮尔在表示对数时套用logarithm 整个词，并未作简化。

至1624年，开普勒才把词简化为“Log”，奥特雷得在1647年也用简化过了的“Log”。

1632年，卡瓦列里成了首个采用符号log的人。

1821年，柯分用“l”及“L”分别表示自然对数和任意大于1的底的对数。

1893年，皮亚诺用“logx”及“Logx”分别表示以e为底的对数和以10为底的对数。

同年，斯特林厄姆用“blog”、“ln”及“logk．”分别表示以b为底的对数、自然对数和以复数模k为底的对数。

1902年，施托尔茨等人以“alog.b”表示以a为底的b的对数，此后经过逐渐改进演变，就成了现代数学上的表示形式。

对数于十七世纪中叶由穆尼格引入中国。

十七世纪初，薛凤祚的《历学会通》有“比例数表”（1653年，也称“比例对数表”），称真数为“原数”，称对数为“比例数”。

《数理精蕴》中则称作对数比例：“对数比例乃西士若往·纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表”。

此后在我国便都约定俗成，称作对数了。

对数的故事你在对数新课里讲过对数发明的故事吗？1614年，英国数学家纳皮尔（J. Napier, 1550～1617）出版《奇妙的对数表》一书。

在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了。

这不仅浪费时间，而且容易出错。

因此，我开始考虑怎样消除这些障碍。

经过长期的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则……”对数发明后，人们（特别是天文学家）的计算量大大减少。

200年后，法国著名数学家拉普拉斯（P. -S. Laplace, 1749～1827）评价说，由于对数的发现，“天文学家的寿命增加了一倍。

”韦达纳皮尔1614年，英国数学家、伦敦格雷沙姆（Gresham）学院首任几何学教授布里格斯（H. Briggs, 1561～1630）阅读了纳皮尔的《奇妙的对数表》。

此前，布里格斯正从事天文学研究，繁重的天文计算正是他试图克服的困难。

因此，纳皮尔的对数著作深深地吸引了他。

在翌年3月10日写给朋友詹姆斯·乌歇尔（James Ussher）的信中，布里格斯这样写道：“Markinston的纳皮尔爵士出版了一部著作，包含了他新发明的奇妙对数。

我希望今夏与他见面，因为我从未见到过一本能让我如此快乐，令我如此惊奇的书。

”布里格斯从伦敦到爱丁堡去见纳皮尔是1615年夏天的事。

那时，从伦敦到爱丁堡，乘坐马车至少需要4天，不象今天，坐火车只需4小时。

当时的旅途也比我们想象得要困难得多：布里格斯没能在约定时间赶到爱丁堡。

一天，纳皮尔在自己家中与朋友马尔（John Marr）谈起布里格斯：“哦！约翰，”纳皮尔说，“布里格斯今天不会来了。

”话音刚落，有人敲门。

马尔急忙下楼开门，使他高兴的是，来人正是布里格斯。

他把客人带到爵士的房间里。

纳皮尔与布里格斯互相仰慕地打量了几乎一刻钟，双方不发一言。

最后，布里格斯开了口：“我的爵士先生，这次远道而来，是专程拜望您的，并想向您了解您一开始是如何想到对数这一精彩的天文学辅助工具的。

在您作出这一发现之前，没有其他人发现过，而现在人们知道它是如此容易。

”爱丁堡会面后，纳皮尔和布里格斯共同商定以10为对数的底，且以0作为1的对数。

1617年，布里格斯出版了前1000个正整数的14位常用对数表。

1624年，又出版从1到20,000以及从90,000到100,000的14位常用对数表。

……纳皮尔对数（尼加拉瓜，1971）原来对数如此有用，对数的发明原来如此激动人心！在历史的解说中，对数早已不再是枯燥无味的概念。

少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，则国胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。