4.2圆轴扭转时的内力计算
第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转后横截面保持平面
第一个结论
圆轴扭转时，横截 面保持平面，平面上 各点只能在平面内转 动
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，A端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，B端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
最终结论
圆轴扭转时，横 截面 保持平面，并且 只能发生刚性转动。
圆轴扭转后横截面保持平面
变形协调方程
圆轴扭转时的变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度 上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪 应变各不相同，半径越小者剪应变越小。
其中P为功率，单位为千瓦（kW）； n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P[马力]
Me
7024 n[r / min]
[N m]
若P为功率，单位为马力 （1马力=735.5 N•m/s ）
n为轴的转速，单位为转/分（r/min）
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
max
M x,max Wp
[ ]
[ ]为许用剪应力；是指圆轴所有横截面
上最大剪应力中的最大者，
钢 [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ] 铸铁 [ ] (0.8 ~ 1)[ ]
例题1
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直 径之比 = 0.5。二轴长度相同。
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
材料力学 第4章_扭转
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
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§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
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工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
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4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
第九章 扭转
一、扭转变形
杆件两端作用两个大小相等、 方向相反，且作用平面垂直于杆 件轴线的力偶，致使杆件的任意 两个横截面都发生绕轴线的相对 转动，这样的变形形式称为扭
转变形。
1、外力特点
杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直 的力偶作用。
2、变形特点：
纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕 轴线发生转动。
P m 9549 n
Nm
kW
r / min
三、扭矩和扭矩图
截面法： T m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩
扭矩正负的规定：按右手螺旋法则 扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化 情况图。 ⊕
圆轴扭转时的内力及内力图
1、圆轴扭转时的内力----扭矩
以扭转变形为主的杆------------轴 扭转时的内力称为矩
B 477.5N· m Tn
C 955N· m
A
D
NA 1592N m n N M B M C 9550 B 477.5 N m n ND M D 9550 637N m n M A 9550
作扭矩图 637N· m
Tnmax=955N· m
扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0 T 内力偶 平衡
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶
T M0
M0
M0 T
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶 平衡
T 取右边部分
扭矩
M0
T M0 T
扭矩
T 和T 是同一截面上的内力，应当有 相同的大小和正负。 平衡
材料力学 扭转(2)
1
M d n1 dx 1 GIp
2
M d n2 dx 2 GI p
M n1 d 因 M n1 M n 2 故 max 1 GI p dx max
max
180 N m 180 0.43 ( ) / m [ ] (80109 Pa)(3.0 105 10-12 m 4 ) π
§4-5 扭转扭转时的变形和刚度条件
一、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转变形（相对扭转角）
d M n dx GI P Mn d dx GI P d M n dx GI P
扭转变形与内力计算式
Mn Mn
Mn L dx GI P
rad m ——单位长度的扭转角
扭转角单位：弧度（rad） GIP——抗扭刚度。
2.绘扭矩图
7640 N m
3.直径d1的选取 按强度条件
d1
A M e1
( )
M e2
d 2 M e3
C
max
3
16M n 3 d1
3
B
4580 N m
16M n d1 π[ ]
16 7640 π 70 106
82.2 103 m 82.2mm
n
3）等直圆杆受分布扭矩 t 作用，t 的单位为 N m m。
从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为：
M n x dx AB 截面相对扭转角为： l d l GI p
M n x dx d GI p
4）变截面圆杆，A、B 两端直径 分别为 d1、d2 。
解： 1.外力
P M e1 9549 1 n
土木工程力学教案——弯曲内力及扭转时的内力
一、用叠加法画弯矩图(一)、叠加原理由于在小变形条件下，梁的内力、支座反力，应力和变形等参数均与荷载呈线性关系，每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响。
所以，梁在n个荷载共同作用时所引起的某一参数（内力、支座反力、应力和变形等），等于梁在各个荷载单独作用时所引起同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理（图9-20）。
=M图图9-20 叠加原理(二)、叠加法画矩图根据叠加原理来绘制梁的内力图的方法称为叠加法。
由于剪力图一般比较简单，因此不用叠加法绘制。
下面只讨论用叠加法作梁的弯矩图。
其方法为，先分别作出梁在每一个荷载单独作用下的弯矩图，然后将各弯矩图中同一截面上的弯矩代数相加，即可得到梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。
为了便于应用叠加法绘内力图，在表9-1中给出了梁在在简单荷截作用下的剪力图和弯矩图，可供查用。
【例9-9】试用叠加法画出图9-21所示简支梁的弯矩图。
【解】（1）先将梁上荷载分为集中力偶m和均布荷载q两组。
（2）分别画出m和q单独作用时的弯矩图M1和M2（图9-21b、(a)M图(b)M1图(c)M2图图9-21 例9-9图c），然后将这两个弯矩图相叠加。
叠加时，是将相应截面的纵坐标代数相加。
叠加方法如图9-21a 所示。
先作出直线形的弯矩图M 1（即ab 直线，可用虚线画出），再以ab 为基准线作出曲线形的弯矩图M 2 。
这样，将两个弯矩图相应纵坐标代数相加后，就得到m 和q 共同作用下的最后弯矩图M （图9-21a ）。
其控制截面为A 、B 、C 。
即A 截面弯矩为 ：m m M -=+-=0A ，B 截面弯矩为 ：000B =+=M跨中C 截面弯矩为：282C mql M -= 叠加时宜先画直线形的弯矩图，再叠加上曲线形或折线形的弯矩图。
由上例可知，用叠加法作弯矩图，一般不能直接求出最大弯矩的精确值，若需要确定最大弯矩的精确值，应找出剪力Q =0的截面位置，求出该截面的弯矩，即得到最大弯矩的精确值。
圆轴扭转时的内力
扭转变形的定义 横截面绕轴线做 相对旋转的变形， 称为扭转 本课程主要研究 圆截面轴
1 外力偶矩的计算
式中，Me为外力偶矩 （N· mm） P 为功率（kW）； n为转速 （r／min）。
2 圆轴扭转时的 内力——扭矩 截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负 （右手螺旋法则）：
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m
(2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩 （内力）如图a)、b)、c);均有∑Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m
(3)画出扭矩图如 d)
以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离 开截面，扭矩为正，反之为负。
注不计摩擦，轴输出的阻力矩为 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3 将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭 矩。
解：
3 扭矩图
扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂 直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩 随截面位置变化的曲线。
例 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、 C、D输出功率分别为PB=PC=11kW， PD=14kW，轴的转速n=300r/min. 试画出传动轴的扭矩图
第4章 材料力学基础
4 π π D I p (D4 d 4 ) (1 4 ) 32 32
（4-32）
3 Ip π π D Wt ( D4 d 4 ) (1 4 ) （4-33） r 16D 16
4.4 梁的弯曲
4.4.1 梁的弯曲内力
图4-12 剪切
4.2.2 挤压与挤压应力
图4-13 剪切与挤压
图4-14 挤压应力的分布
4.2.3 剪切与挤压的强度
1．剪切强度计算
由于受剪构件的变形及受力比较复 杂，剪切面上的应力分布规律很难用理 论方法确定，因而工程上一般采用实用 计算方法来计算受剪构件的应力。
在这种计算方法中，假设应力在剪 切面内是均匀分布的。 若以A表示销钉横截面面积，则应 力为 FQ （4-19）
图4-11 应力集中现象
4.2 剪切和挤压
4.2.1 剪切与剪应力
在工程实际中，经常遇到剪切和挤压 的问题。 剪切变形的主要受力特点是构件受到 与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、 作用线相距很近的一对外力的作用，如图 4-12（a）所示。
构件的变形主要表现为沿着与外力 作用线平行的剪切面（ m-n面）发生相 对错动，如图4-12（b）所示。
第4章 材料力学基础
4.1
轴向拉伸与压缩
4.2
剪切和挤压
4.3
圆轴扭转
4.4
梁的弯曲
4.5
组合变形的强度计算
【学习目标】 1．掌握受拉压杆件的强度及变形量的计 算方法 2．理解剪切与挤压的特点和实用计算 3．理解受扭转杆件的应力特点
4．理解受纯弯曲梁的内力及应力特点， 掌握弯矩图的作法 5．理解组合变形的类型及特点，了解强 度理论的涵义及应用特点
§4.2 力矩 转动惯量 转动定律
Fi
3. Mz、J、皆对同一轴而言。
fi
n
ri Fi ri fi ( miri2)
i
i
i 1
o ri
f
i
mi
Fi
n
ri Fi J i1
Mz J ( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 27 / 18 .
1. Mz J 反映了力矩 Mz与角加速度 间的瞬时关系。
P. 29 / 18 .
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。
解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 Mz J 可
知，细杆作匀变速转动：
m, l
而 J 1 ml 2 3
0 t
0 t0 0
0
t0
M阻 J
ml 2 3t 0
i 1
二、转动惯量
n
J miri2 i 1
mi
m3
ri
r3
r2
r1 m1
m2
1 2
(
n i1
mi ri2
) 2
Ek
1( 2
n i1
mi ri2
) 2
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 9 / 18 .
n
可知： 一定时， miri2越大，刚体转动动能亦越大。
i 1
n
ri Fi J i1
Mz J
Fi fi
o ri
F ma
f
i
mi
Fi
( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
材料力学课件 第四章扭转
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
圆轴扭转应力计算公式
圆轴扭转应力计算公式在我们的力学世界里，圆轴扭转应力计算公式可是个相当重要的家伙！这就好比是打开机械工程大门的一把神秘钥匙。
想象一下，你手里拿着一根长长的圆轴，就像那种汽车传动轴，当它开始扭转转动的时候，内部就会产生应力。
而我们要搞清楚这应力到底有多大，就得依靠圆轴扭转应力计算公式。
这个公式是：τ = Tρ / Ip 。
其中，τ 表示的是扭转切应力，T 是扭矩，ρ 是所求应力的点到圆心的距离，Ip 则是极惯性矩。
先来说说扭矩 T 。
假设你正在拧一个巨大的螺丝，你使的那个劲儿就是扭矩。
扭矩越大，圆轴扭转时产生的应力也就越大。
比如说，在工厂里的大型机器中，那些传递巨大动力的轴，就得承受巨大的扭矩，所以对它们的材料和设计要求就特别高。
再看ρ ，也就是点到圆心的距离。
这就像是在圆轴这个大舞台上，离圆心越远的地方，应力就越大。
就好比在旋转木马的外圈，你感受到的离心力是不是比在内圈大多了？极惯性矩 Ip 呢，它反映了圆轴横截面抵抗扭转的能力。
横截面形状和尺寸不同，极惯性矩也就不同。
比如说，一根实心的圆轴和一根空心的圆轴，在相同的扭矩作用下，空心的可能因为极惯性矩小，而更容易产生较大的应力。
我记得有一次去工厂参观，看到工人们在检修一台大型的旋转设备。
工程师拿着图纸，嘴里不停地念叨着圆轴扭转应力的计算数值，然后指挥着工人更换某个部件。
我凑过去一看，原来那个部件所在的圆轴位置，由于长期承受较大的扭矩和应力，已经出现了细微的裂纹。
如果不及时更换，可能会导致整个设备出现故障，影响生产进度。
在实际的工程应用中，圆轴扭转应力计算公式可帮了大忙。
从汽车的传动轴，到飞机发动机的轴，再到大型船舶的螺旋桨轴，都得依靠这个公式来确保它们在工作时能够安全可靠地运转。
所以啊，别小看这个公式，它虽然看起来有点复杂，但却是机械工程领域中不可或缺的重要工具。
我们通过它，能够更好地设计和制造各种机械部件，让我们的生活变得更加便捷和高效。
总之，圆轴扭转应力计算公式就像是一位默默守护着机械世界的卫士，时刻保障着各种旋转设备的正常运行。
圆轴扭转时的应力计算公式
圆轴扭转时的应力计算公式在我们学习力学的过程中，圆轴扭转时的应力计算公式可是个相当重要的家伙。
咱们今天就来好好唠唠它！先来说说啥是圆轴扭转。
想象一下，你手里拿着一根棍子，然后像拧麻花一样去转动它，这时候棍子内部就会产生应力。
圆轴扭转就是类似这样的情况啦。
那圆轴扭转时的应力计算公式到底是啥呢？它就是：τ = Tρ / Ip 。
这里的τ 表示的是扭转切应力，T 是扭矩，ρ 是所求应力的点到圆心的距离，Ip 则是极惯性矩。
咱们来仔细瞅瞅这个公式。
扭矩 T 就好比是你拧棍子的那个力气，力气越大，应力也就越大。
而ρ 呢，距离圆心越远，应力也就越大，就像离圆心远的地方更“吃力”。
极惯性矩 Ip 则反映了圆轴抵抗扭转的能力，它越大，应力就相对越小。
我记得之前在给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？”我就给他举了个例子。
咱们把圆轴想象成是由好多好多层薄圆环组成的。
当圆轴扭转时，每一层薄圆环都会发生相对的滑动，就像是在互相“拉扯”。
通过对这种“拉扯”的分析和计算，咱们就得出了这个公式。
在实际应用中，这个公式可太有用了。
比如说在机械设计里，要设计一根传动轴，就得先算出它在工作时扭转产生的应力，看看是不是在材料能承受的范围内。
要是应力太大，轴就可能会断掉，那可就出大问题啦！再比如，在一些工程结构中，像桥梁的支撑柱，如果受到扭转力的作用，也得用这个公式来算算应力，保证结构的安全稳定。
咱们在解题的时候，一定要搞清楚每个参数的含义和单位，千万别马虎。
有一次考试，就有同学因为把单位搞错了，结果整个答案都错了，那叫一个可惜哟！总之，圆轴扭转时的应力计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真理解，多做几道题练练手，就一定能掌握它，让它成为我们解决问题的有力工具。
怎么样，同学们，这回对圆轴扭转时的应力计算公式是不是更清楚啦？加油，相信大家都能学好这部分知识！。
圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学
•
度条件为
max
Mn Wp
maxG MnIp •180
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精品课件！
精品课件！
• （五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤
•
1）求出轴上外力偶矩；
•
2）计算扭矩和作出扭矩图；
•
3）分析危险截面；
•
4）列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。
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• 二 剪应力计算：
• 1 几何关系： • • 2 物理关系：
P G
• • 3 静力关系：
Mnl d
G Ip
Mn d GIp d
• 扭转剪应力公式：
p
M n Ip
max
Mn Wp
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•三
• •
截面极惯性矩 ；抗扭截面模量
ax
•
故求得直径为
4010
D3
16Mnmax3
1
6
628.467
0 .03 m 332 .2 3 mm
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• （4）由刚度条件，得
maxM G nm pIax180G M nm D a4x 18 G n m 2a•x 18038 2 0 216 80 . 46 7 21 180
m ax0 .5 WM Pn 0 .6
0 .8 1 .0
• 2 强度计算的三个方面：
•
a 强度校核
•
b 截面选择
•
c 许可荷载确定
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• 例1 如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5
• KN.m,直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。
2023大学_工程力学简明教程(景荣春著)课后习题答案下载
2023工程力学简明教程（景荣春著）课后习题答案下载工程力学简明教程（景荣春著）课后答案下载工程力学简明教程图书详细信息：印次：1-1装帧：平装印刷日期：-12-17工程力学简明教程（景荣春著）：图书信息点击此处下载工程力学简明教程（景荣春著）课后答案工程力学简明教程（景荣春著）：目录第1篇静力学第1章静力学公理和物体的受力分析51.1 静力学基本概念51.2 静力学公理61.3 约束和约束反力91.4 物体的受力分析13__小结18思考题19习题20第2章平面力系222.1 平面汇交力系222.1.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法22 2.1.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法25 2.2 力对点之矩282.3 平面力偶系292.4 平面任意力系352.4.1 力线平移定理352.4.2 平面任意力系的简化362.4.3 平面任意力系的平衡392.5 物体系统的平衡432.6 平面简单桁架的内力计算452.7 考虑摩擦的平衡问题482.7.1 滑动摩擦492.7.2 摩擦角与自锁现象512.7.3 考虑滑动摩擦的物体平衡问题52 __小结55思考题56习题58习题答案63第3章空间力系663.1 空间汇交力系663.2 力对点的矩和力对轴的矩693.3 空间力偶系723.4 空间任意力系743.5 重心78__小结83思考题84习题85习题答案87第2篇材料力学第4章材料力学的基本概念914.1 材料力学的任务914.2 变形固体的基本假设924.3 内力截面法和应力的概念934.4 位移与应变的概念964.5 杆件变形的基本形式97__小结100思考题101习题101习题答案103第5章拉伸、压缩与剪切1045.1 轴力及轴力图1055.2 轴向拉伸、压缩时的应力1075.2.1 轴向拉伸、压缩时横截面上的正应力107 5.2.2 轴向拉伸、压缩时斜截面上的应力110 5.3 轴向拉伸、压缩时材料的力学性能1125.3.1 轴向拉伸时材料的力学性能1125.3.2 轴向压缩时材料的力学性能1165.4 轴向拉伸、压缩时的强度计算1175.5 轴向拉伸、压缩时的变形1215.6 拉伸、压缩超静定问题1245.7 应力集中的概念1285.8 连接件的实用强度计算1295.8.1 剪切实用强度计算1305.8.2 挤压实用强度计算132__小结135思考题137习题138习题答案144第6章扭转1466.1 外力偶矩的计算扭矩及扭矩图147 6.2 薄壁圆筒的扭转1506.2.1 薄壁圆筒扭转时的切应力1506.2.2 切应力互等定理1526.2.3 剪切胡克定律1526.3 圆轴扭转时的应力和强度计算153 6.3.1 圆轴扭转时横截面上的切应力153 6.3.2 圆轴扭转时强度计算1566.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算159 6.4.1 圆轴扭转时的变形1596.4.2 圆轴扭转时的刚度计算1596.5 圆轴扭转时的超静定问题162__小结163思考题165习题165习题答案167第7章弯曲1697.1 平面弯曲梁的.计算简图1717.2 梁的剪力与弯矩剪力图与弯矩图1727.2.1 剪力与弯矩1727.2.2 剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图1767.2.3 剪力、弯矩和分布荷载集度间的微分关系181 7.2.4 按叠加原理作梁的弯矩图1877.2.5 平面刚架和曲杆的内力图1897.3 梁的正应力和强度计算1917.3.1 梁的正应力1917.3.2 梁的正应力强度条件1967.4 梁的切应力和强度计算2007.4.1 梁的切应力2007.4.2 梁的切应力强度计算2047.5 提高梁弯曲强度的措施2077.6 梁的变形和刚度计算2117.6.1 挠曲线近似微分方程2117.6.2 用积分法求梁的挠度和转角2137.6.3 用叠加法求梁的挠度和转角2197.6.4 梁的刚度计算和提高梁弯曲刚度的措施223 7.7 简单超静定梁224__小结227思考题229习题229习题答案238第8章应力状态和强度理论2408.1 应力状态的概念2408.2 二向应力状态2428.2.1 二向应力状态的解析法2428.2.2 二向应力状态的图解法2488.3 三向应力状态2528.4 广义胡克定律2548.5 强度理论及其应用2568.5.1 材料的破坏形式2568.5.2 常用的强度理论及其应用257__小结261思考题262习题263习题答案265第9章组合变形的强度计算2679.1 拉伸(压缩)与弯曲的组合2689.2 扭转与弯曲的组合2729.3 两相互垂直平面内的弯曲275__小结279思考题280习题281习题答案285第10章压杆稳定28610.1 压杆稳定的概念28610.2 细长压杆的临界力28810.2.1 两端铰支细长压杆的临界力28810.2.2 其他支座条件下细长压杆的临界力28910.3 压杆的临界应力及临界应力总图291 10.3.1 细长压杆的临界应力29110.3.2 临界应力总图29210.4 压杆的稳定计算29510.5 提高压杆稳定性的措施298__小结298思考题299习题300习题答案302附录A 截面的几何性质303A.1 形心与静矩303A.2 惯性矩和惯性积305A.3 平行移轴公式307A.4 主轴与主惯性矩的概念309思考题311习题311习题答案312附录B 梁在简单荷载作用下的变形314附录C 型钢表317表C-1 热轧等边角钢(GB 9787-1988)317 表C-2 热轧不等边角钢(GB 9788-1988)323 表C-3 热轧槽钢(GB 707-1988)328表C-4 热轧工字钢(GB 706-1988)331。
4.2圆轴扭转时的内力计算
受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内， 作用 了一对大小相等，方向相反的外力偶矩； 变形特点：杆件任意两横截面都发生了绕杆件 扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。 轴线的相对转动。 这种形式的变形称为扭转变形。
研究对象：轴(以扭转变形为主的杆件）
二、圆轴扭转的内力:扭矩和扭矩图
1.外力偶矩的计算：
M
A
１
２
MC
T
１ （+）
M
２
B
（-）
M
C
例：主动轮A的输入功率P =36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为
A
PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试求传动轴指定截面的扭矩，并做 出扭矩图。
解：1)由外力偶矩的计算公式求个轮的力偶矩：
M A = 9550 PA /n =9550x36/300 =1146 N.m
扭矩和扭矩图一圆轴扭转的概念学习内容工程中发构件一圆轴扭转的概念工程中发生扭转变形的构件对称扳手拧紧镙帽工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件传动轴汽车传动轴工程中承受扭转变形的构件工程中发生扭转变形的构件受力特点
4.2 圆轴扭转时的内力计算 学习目标：学会计算扭矩
4.2圆轴扭转
学习内容
M B =M C = 9550 PB /n = 350 N.m
M D = 9550 PD /n = 446 N.m
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩。
T1 + M B = 0 T1 = -M B =-350N.m M B + M C + T 2 =0 T2 =-M B -M C =-700N.m M D -T3 = 0 T3 = M D = 446N.m
《建筑力学》教学大纲
《建筑力学》教学大纲一、课程的性质与任务《建筑力学》是建筑学、土木工程等相关专业的一门重要的专业基础课程。
它主要研究建筑结构和构件在各种外力作用下的内力、应力、应变、位移等力学性能，为后续的专业课程如《结构力学》、《混凝土结构》、《钢结构》等提供必要的力学基础。
本课程的主要任务是使学生掌握建筑力学的基本概念、基本理论和基本方法，能够对简单的建筑结构和构件进行力学分析和计算，培养学生的力学思维能力和解决实际工程问题的能力。
二、课程的基本要求1、掌握静力学的基本概念和基本原理，能够对物体进行受力分析，画出受力图，并计算力系的合力和平衡条件。
2、掌握材料力学的基本概念和基本理论，能够分析拉伸、压缩、剪切、扭转和弯曲等基本变形下杆件的内力、应力和应变，掌握强度、刚度和稳定性的计算方法。
3、掌握结构力学的基本概念和基本方法，能够分析静定结构和超静定结构的内力和位移，掌握力法、位移法等基本计算方法。
4、具备一定的实验能力，能够通过实验验证和巩固所学的力学理论，掌握实验数据的处理和分析方法。
5、能够运用所学的力学知识解决实际工程中的简单力学问题，具有初步的工程设计和分析能力。
三、课程内容（一）静力学1、静力学基本概念（1）力、力系、刚体的概念。
（2）力的三要素：大小、方向、作用点。
（3）力的表示方法：力的矢量表示、力的图示。
2、静力学公理（1）二力平衡公理。
（2）加减平衡力系公理。
（3）力的平行四边形法则。
（4）作用与反作用定律。
3、约束与约束力（1）常见的约束类型：柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束、固定端约束等。
（2）约束力的分析和计算。
4、物体的受力分析和受力图（1）受力分析的方法和步骤。
（2）画出单个物体和物体系统的受力图。
5、平面力系的合成与平衡（1）平面汇交力系的合成与平衡。
（2）平面力偶系的合成与平衡。
（3）平面一般力系的简化与平衡。
（二）材料力学1、材料力学的基本概念（1）变形固体的基本假设。
4.2 圆轴扭转时的应力计算
圆轴扭转时的应力计算一、圆轴横截面上的应力变形几何关系物理关系静力学关系研究应变规律找出应力分布规律求出应力计算公式1. 变形几何关系•各圆周线绕轴线相对旋转了一个角度，但大小、形状和相邻两周线之间的距离保持不变。
•各纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度γ。
•截面上的半径线转过一个角度。
•圆轴扭转时横截面保持为平面，形状和大小均不变；•相邻两截面间距离保持不变。
圆轴扭转的平面假设'd BB x γ='d BB R ϕ=d d R x ϕγ=d d xρϕγρ=2. 物理关系剪切胡克定律距离圆心ρ处代入变形几何关系得到：=τγG=τγρρG=ϕργρx dd=τρϕρxGdd有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）3. 静力关系由得 代入 得到 式（2） d A ρτd d G x ρϕτρ=ρA ⎰T =d d d A G Tx A ϕρρ=⎰式（1）2d d d A A G T x ρϕ=⎰2P d A A I ρ=⎰P d d G T xI ϕ=P d d I T x G ϕ=d d G x ρϕτρ=PI T ρρτ=令 抗扭截面系数 P I T ρρτ=max PP R I I T RT τ==P P I W R =max PW T τ=实心轴 2P d A I A ρ=⎰/2202πd D ρρρ=⎰41π32D =P P /W I R =31π16D =d 2πd A ρρ=空心轴令则2PdAI Aρ=⎰/22/22πdDdρρρ=⎰4411ππ3232D d=-P P/(/2)W I D=441π[1(/)]32D d D=-341π[1]16Dα=-44P1π[1]32I Dα=-/d Dα=d2πdAρρ=图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩M =3kN·m 。
试求：1. 轴横截面上的最大切应力；2. 轴横截面上半径r =15mm 以内部分承受的扭矩所占全部 横截面上扭矩的百分比；3. 去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
扭转的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
为了保证受扭圆轴安全可靠地工作，必须使圆轴的最大工作剪应力max τ不超过材料的扭转许用切应力[]τ。
因此，圆轴的强度条件为
max []ττ≤
对于等直圆轴，其强度条件为
max []P T W τ≤ (1-1 ) 上式中max T 是扭矩图上绝对值最大的扭矩，最大切应力max τ发生在max T
所在截面的圆周边上。
对于阶梯形变截面圆轴，因为W ρ不是常量，max τ不一定发生在max T
的截面上。
这就要综合考
虑扭矩T 和抗扭截面系数W ρ两者的变化情况来确定max τ。
在静荷载作用下，扭转许用切应力[]τ与许用拉应力[]t σ之间有如下关系： 对塑性材料[]τ=（0.5～0.6[]t σ
对脆性材料[]τ= (0.8～1.0)[]t σ
应用式（1-1）可解决圆轴扭转时的三类强度问题：
（1）强度校核。
已知材料的许用切应力[]τ、截面尺寸、以及所受荷载，直接应用式（1-1）检查构件是否满足强度要求。
（2）选择截面。
已知圆轴所受的荷载及所用材料，可按式（1-1）计算W ρ后，再进一步确定截面直径。
此时式（1-1）改写为
max
[]T W ρτ≥ （1-1a ）
（3）确定许可荷载 。
已知构件的材料和尺寸，按强度条件计算出构件所能承担的扭矩max T ，再根据扭矩与外力偶的关系，计算出圆轴所能承担的最大外力偶。
此时式（1-1）改写为
max []T W ρτ≤ (1-1b)。
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传动轴
汽车传动轴
工程中发生扭转变形的构件
2.扭转变形的特点：
受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内， 作用 了一对大小相等，方向相反的外力偶矩； 变形特点：杆件任意两横截面都发生了绕杆件 扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。 轴线的相对转动。 这种形式的变形称为扭转变形。
研究对象：轴(以扭转变形为主的杆件）
T1
T3
T2
3)画扭矩图：
T
446N.m x 350N.m 700N.m
对于同一根轴来说，若把主动轮A安置在轴的一端，例如放在右端，则该轴的扭 矩图
??
M
A
M
B
M
C
M
D
T
x 350N.m 700N.m 1146N.m
传动轴上主动轮和从动轮的安放位置 不同，轴所承受的最大扭矩(内力)也就不同。 显然，这种布局是不合理的。
M B =M C = 9550 PB /n = 350 N.m
M D = 9550 PD /n = 446 N.m
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩。
T1 + M B = 0 T1 = -M B =-350N.m M B + M C + T 2 =0 T2 =-M B -M C =-700N.m M D -T3 = 0 T3 = M D = 446N.m
二、圆轴扭转的内力:扭矩和扭矩图
1.外力偶矩的计算：
工程上常给出传动 轴的转速及其所传递 的功率，而作用于轴 上的外力偶矩并不直 接给出，外力偶矩的 计算公式为：
M=9550
P(kW) (N.m) n(r/min)
2、扭矩和扭矩图：
（1）扭矩：扭转时的内力称为扭矩，用T表示。截面上的扭矩与作用在轴上 的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。
I
（2）扭矩图：
M
A
１
２
MC
由静力平衡：
１
用截面法求内力：
M
２
B
MA MB MC 0
M
A
１
T1 T1
1
MC
１
1
B
M
B
T1 M
A
M
MC
用平行于轴线的 x 坐标表示横截面的位置， 用垂直于 x 轴的坐标T表示横截面扭矩的大小，描 画出截面扭矩随截面位置变化的曲线，称为扭矩 图。
扭矩图：
截面法求扭矩
M
m
M
T M
0
M
m
T
T
T M
M
※截面上的扭矩为该截面左边（或右边）所
有外力偶矩的代数和)
mI
I T
m T
扭 矩 符 号 规 定 ：
I mI T
T
I I T
m
I
T
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相 同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若 扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩 为正，反之为负。
M
A
１
２
MC
T
１ （+）
M
２
B
（-）
M
C
例：主动轮A的输入功率P =36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为
A
PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试求传动轴指定截面的扭矩，并做 出扭矩图。
解：1)由外力偶矩的计算公式求个轮的力偶矩：
M A = 9550 PA /n =9550x36/300 =1146 N.m
4.2 圆轴扭转时的内力计算 学习目标：学会计算扭矩
4.2圆轴扭转
学习内容
一、圆轴扭转的概念
二、扭转内力:扭矩和扭矩图
一、圆轴扭转的概念
１、 工程 中发 生扭 转变 形的 构件
工程中发生扭转变形的构件
攻 丝
工程中承受扭转变形的构件
对称扳手拧紧镙帽
工程中承 受扭转变 形