用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析
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方程不可解 方程可解 G C F E
D
vG = vB + vGB ＝ vC + vGC = vG 大小 ? √ ? ? √ ? 方向 ? √ √ √ √ ?
● 重合点应选已知参数较多的点(一般为铰链点) 。 重合点应选已知参数较多的点(一般为铰链点) 选C点为重合点 点为重合点 v C 3 = v C 4 + v C 3C 4 ? ? 大小 ? 方向 ? √ √
p
vC = v A + vCA
√ ? √ ⊥CA
? ?
方程不可解
vC = v B + vCB
大小 方向 ? ? √ ? √ ⊥CB
方程不可解 C 方程可解 A B a
联立方程 vC = v A + vCA = v B + vCB ? √ ? √ ? 大小 ? √ ⊥CA √ ⊥CB 方向 由图解法得到 C点的绝对速度 vC=µv pc，方向 点的绝对速度 ，方向p→c C点相对于 点的速度 vCA=µvac，方向 点相对于A点的速度 点相对于 ， a→c C点相对于 点的速度 vCB=µvbc，方向 点相对于B点的速度 点相对于 ， b→c
b′ ′ b″ ″ c′ ′
c″ ″ a′ ′ c′′′ ′′′
角加速度 α = atBA/LBA= µab″b′/µl AB，逆时针方向 ″ ′/ ， aBA = (a ) + (a ) = LAB α +ω = µaa′b′
t 2 BA n 2 BA 2 4 t n aCA = (aCA)2 + (aCA)2 = LCA α 2 +ω4 = µaa′c′ t n aCB = (aCB)2 + (aCB)2 = LCB α 2 +ω4 = µab′c′
●
●
●
速度多边形( 速度多边形(Velocity polygon)的性质 ) 联接p点和任一点的向量代表该点在 联接 点和任一点的向量代表该点在 机构图中同名点的绝对速度， 机构图中同名点的绝对速度 ， 指向 C 为p→该点。 →该点。 A 联接任意两点的向量代表该两点 ω 机构图中同名点的相对速度， 在 机构图中同名点的相对速度 ， 指向与速度的下标相反。 指向与速度的下标相反 。 如 bc代 代 a 表 vCB 而不是vBC 。 常用相对速度 而不是 来求构件的角速度。 来求构件的角速度。 ∆abc∽∆ABC，称∆abc为∆ABC的速 ∽ ， 为 的速 c 度影像( ) 度影像(Velocity image)，两者相似 b 且字母顺序一致， 且字母顺序一致 ， 前者沿 ω方向转 过90º。 速度极点 极点p代表机构中所有速度为 速度极点 代表机构中所有速度为 零的点的影像。 零的点的影像。
b3 p
b2
ω3=µv pb3/LBC，顺时针方向
加速度关系a ① 加速度关系
A
r B3B2
aB3 = a
大小 方向 ak
n B3
+a
t B3
= aB2 + a
+a
k B3B2
1 2 B
ω1
? ω23LBC ? ω21LAB ? 2vB3B2ω3 ? B→C ⊥CB B→A // //BC √ 转过90 沿ω3转过 °
t 1 方程不可解
A
2B 3 C t
选 B点为重合点， 并将构件 扩 点为重合点， 点为重合点 并将构件4扩 大至包含B点 大至包含 点 v B4 = v B3 + v B4B3 大小 ? 方向 √ √ √ ? √
b′ ′ e′ ′ b″ ″ c′ ′ c″ ″ a′ ′ c′′′ ′′′ A
C E B p′ ′
⑶ 两构件上重合点之间的运动关系
转动副 移动副
vB1 = vB2
重合点 2
B
aB1 = aB2
C
vB2 ≠ vB3
A 1 2 重合点 B 3
aB2 ≠ aB3
ω
1 A
ω
D
C
① 速度关系 大小 方向
牵连运动
相对运动 1 2
A B 3
v B3 = vB2 + v B3B2
? ω21LAB ? ⊥CB ⊥AB // //BC
ω1 ω3
C
由图解法得到 B3点的绝对速度 vB3=µv pb3，方 向p→b3 B3 点 相 对 于 B2 点 的 速 度 vB3B2=µv pb3，方向 2→ b3 方向b
加速度多边形( 加速度多边形(Acceleration polygon)的性质 ) ● 联接 ′点和任一点的向量代表该点在 联接p′ C 机构图中同名点的绝对加速度， 机构图中同名点的绝对加速度 ， 指 向为p′ 该点。 向为 ′→该点。 A ● 联接任意两点的向量代表该两点在 机构图中同名点的相对加速度， 机构图中同名点的相对加速度 ， 指 向与加速 度的下标相反 向与加速度的下标相反 。 如 a′b′ 代 ′ ′ 而不是a 表 aBA 而不是 AB 。 常用相对切向加 速度来求构件的角加速度。 速度来求构件的角加速度。 ● ∆a′b′c′∽∆ABC ， 称 ∆ a′b′c′ 为 ′ ′ ′ ′ ′ ′ b′ ′ 加速 度 ∆ ABC 的 加 速度 (Acceleration c″ ″ image) 影 像 ， 两 者 相 似 且 字 ) a′ ′ b″ ″ 母顺序一致。 母顺序一致。 ● 加速度 极点p′代表机构中所有 加速度极点 ′ 极点 加速度为零的点的影像。 加速度为零的点的影像。
α3 3 ω33
C b3Fra Baidu bibliotek
的方向为v B3B2的方向为 B3B2
由图解法得到 aB3 =µa p′b′3， arB3B2=µak′b′3， B→C ′ ′ ′ ′
p
ak B3B2
α3=atB3/LBC = µab″3b′3/LBC，顺时针 ″ ′
方向 当两构件用移动副联接时， 结论 当两构件用移动副联接时， 重合点的加速度不相等。 重合点的加速度不相等。
牵连运动为 转动， 转动，有ak
1 3
平面连杆机构运动分析的相对运动图解法举例1 平面连杆机构运动分析的相对运动图解法举例
用相对运动图解法进行机构运动分析的一些关键问题 ● 以作平面运动的构件为突破口，基点和重合点都应选取该 以作平面运动的构件为突破口， 使无法求解。 构件上的铰链点。使无法求解。 例如 H vE = vF + vEF vC = vB + vCB ? √ ? 大小： ? ? 大小： ? B √ √ √ 方向： ? √ 方向： ? 如选取铰链点作为基点时， 如选取铰链点作为基点时 ， 所 ω 列方程仍不能求解， 列方程仍不能求解 ， 则此时应联立 A 方程求解。 方程可解 方程求解。
C vA A B vB
选 速 度 比 例 尺 µ v(m/s/mm) ， // ) a 在任意点p作图 作图， 在任意点 作图，使vA= µv pa 由图解法得到 B点的绝对速度 vB=µv pb，方向 点的绝对速度 ，方向p→b B点相对于 点的速度 vBA=µvab，方 点相对于A点的速度 ， 点相对于 向a→b b 大小 方向
⑴ 矢量方程图解法 矢量方程
D = A+ B+C
每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据已知条件的 每一个矢量具有大小和方向两个参数， 不同，上述方程有以下四种情况 不同，
D = A+ B +C 大小 ? √ √ √ 方向 ? √ √ √
B
D = A+ B +C 大小 √ ? ? √ 方向 √ √ √ √
2. 平面连杆机构速度分析和加速度分析的相对运动图解 法 理论基础 点的绝对运动是牵连运动与相对运动的合成 步骤 ● 选择适当的作图比例尺,绘制机构位置图 选择适当的作图比例尺, ● 列出机构中运动参数待求点与运动参数已知点之间的运 动分析矢量方程式 矢量方程式( 动分析矢量方程式(Vector equation) ) ● 根据矢量方程式作矢量多边形(Vector polygon) 根据矢量方程式作矢量多边形 矢量多边形( ) ● 从封闭的矢量多边形中求出待求运动参数的大小或方向
C
aB
A n aA a BA
B
p′ ′
b′ ′ b″ ″ a′ ′
n t aC = a A + aCA + aCA
大小 ? √ ω2LCA ? 方向 ? √ C→A ⊥CA n t aC = aB + aCB + aCB 大小 ? √ 方向 ? √
方程不可解 A 方程不可解 方程可解
n a CA
C
c′ ′ c′′′ ′′′
B p′ ′
加速度影像的用途 对于同一构件， 对于同一构件，由两点的加 速度可求任意点的加速度。 速度可求任意点的加速度。 中间点E的加速度 举例 求BC中间点 的加速度 中间点 b′c′上中间点 ′为E点的影像 ′ ′ 中间点e′ 点 联接p′e′ ， 就代表 点的绝对 联接 ′ ′ 就代表E点的绝对 加速度a 加速度 E。
C A α B p′ ′
′/L ′/L ′/L 因此 a′b′/ AB = b′c′/ CB =a′c′/ CA ′ ′/ ′ ′/ ′ ′/ 于是 ∆a′b′c∆∽∆ABC ′ ′ ∆
b′ ′ 加速度多边形 b″ ″ c′ ′ c″ ″ a′ ′ c′′′ ′′′ 加速度极点 加速度零点) (加速度零点)
2 1 B 牵连运动 为平动， 无 ak 1 2 B 3 牵连运动 为平动， 无 ak
3
1
2 3
牵连运动为 k 转动， B 转动，有a
2
B B
3
1
牵连运动为 转动， 转动，有ak
牵连运动为 k 转动， 3 转动，有a 2
1
B 2 1 3
牵连运动为 转动， 转动，有ak
B
2 1 3 B
牵连运动为 转动， 转动，有ak B 2
b′2 ′ p′ ′ b″3 ″ k′ ′ b2
b′3 ′
哥氏加速度的存在及其方向的判断 用移动副联接的两构件若具有公共角速度， 用移动副联接的两构件若具有公共角速度 ， 并有相对 移动时， 移动时， 此两构件上瞬时重合点的绝对加速度之间的关系 式中有哥氏加速度a 式中有哥氏加速度 k。 判断下列几种情况取B点为重合点时有无哥氏加速度 判断下列几种情况取 点为重合点时有无哥氏加速度ak。 点为重合点时有无哥氏加速度
c b
p
角速度 ω=vBA/LBA=µv ab/µl AB，顺时针方向 / ， 同理 ω=µv ca/µl CA / ω=µv cb/µlCB / 因此 ab/AB=bc/BC=ca/CA / / / 于是 ∆abc∽∆ABC
速度多边形 c b 速度极点 速度零点) (速度零点) C A
ω
a
B
p
●
B
p
速度影像的用途 对于同一构件， 对于同一构件，由两点的速 度可求任意点的速度。 度可求任意点的速度。 中间点E的速度 举例 求BC中间点 的速度 中间点 bc上中间点e为E点的影像 上中间点 为 点 联接pe 就代表E点的绝对速度 点的绝对速度v 联接 ，就代表 点的绝对速度 E。
e b A
C E B a
n aCB
ω2LCB ?
C→B ⊥CB
B
n t n t 联立方程 aC = a A + aCA + aCA = a B + aCB + aCB √ √ ? 大小 ? √ √ ? 方向 ? √ √ √ √ √ √
p′ ′
由图解法得到 aC= µa p′c′，方向 ′→c′ ′ ′ 方向p′ ′ atCA= µa c′′′ ′，方向 ′′′→c′ ′′′c′ 方向c′′′ ′ ′′′→ ′′′ atCB= µa c″c′，方向 ″→c′ ″ ′ 方向c″ ′
B
A
D
C
A
D
C
D = A+ B +C
大小 √ √ √ √ 方向 √ √ ? ?
D = A+ B +C
大小 √ ? √ √ 方向 √ √ ? √
B
B
C
A
D
A D
C
⑵ 同一构件上两点之间的运动关系 ① 速度关系 相对运动 牵连运动
v B = v A + v BA
大小 方向 ? √ √ √ ? ⊥BA
c
p
② 加速度关系 点加速度a 点加速度 设已知角速度ω，A点加速度 A和B 点加速度a 的方向。 点加速度 B的方向。 A、B两点间加速度关系式 、 两点间加速度关系式 n t a B = a A + a BA + a BA 大小 ? √ ω2LAB ? 方向 √ √ B→A ⊥BA 选加速度比例尺µa (m/s2/mm) ， 在 任 意 点 p′ 作 图 ， / ) ′ 使aA=µa p′a′，anBA=µaa′b″ ′ ′ ′ ″ 由图解法得到 aB=µa p′b′， 方向 ′→b′ 方向p′ ′ ′ ′ atBA=µa b″b′，方向 ″→b′ ″ ′ 方向b″ ′ aBA=µa a′b′， 方向 ′→b′ ′ ′ 方向a′ ′
D
vG = vB + vGB ＝ vC + vGC = vG 大小 ? √ ? ? √ ? 方向 ? √ √ √ √ ?
● 重合点应选已知参数较多的点(一般为铰链点) 。 重合点应选已知参数较多的点(一般为铰链点) 选C点为重合点 点为重合点 v C 3 = v C 4 + v C 3C 4 ? ? 大小 ? 方向 ? √ √
p
vC = v A + vCA
√ ? √ ⊥CA
? ?
方程不可解
vC = v B + vCB
大小 方向 ? ? √ ? √ ⊥CB
方程不可解 C 方程可解 A B a
联立方程 vC = v A + vCA = v B + vCB ? √ ? √ ? 大小 ? √ ⊥CA √ ⊥CB 方向 由图解法得到 C点的绝对速度 vC=µv pc，方向 点的绝对速度 ，方向p→c C点相对于 点的速度 vCA=µvac，方向 点相对于A点的速度 点相对于 ， a→c C点相对于 点的速度 vCB=µvbc，方向 点相对于B点的速度 点相对于 ， b→c
b′ ′ b″ ″ c′ ′
c″ ″ a′ ′ c′′′ ′′′
角加速度 α = atBA/LBA= µab″b′/µl AB，逆时针方向 ″ ′/ ， aBA = (a ) + (a ) = LAB α +ω = µaa′b′
t 2 BA n 2 BA 2 4 t n aCA = (aCA)2 + (aCA)2 = LCA α 2 +ω4 = µaa′c′ t n aCB = (aCB)2 + (aCB)2 = LCB α 2 +ω4 = µab′c′
●
●
●
速度多边形( 速度多边形(Velocity polygon)的性质 ) 联接p点和任一点的向量代表该点在 联接 点和任一点的向量代表该点在 机构图中同名点的绝对速度， 机构图中同名点的绝对速度 ， 指向 C 为p→该点。 →该点。 A 联接任意两点的向量代表该两点 ω 机构图中同名点的相对速度， 在 机构图中同名点的相对速度 ， 指向与速度的下标相反。 指向与速度的下标相反 。 如 bc代 代 a 表 vCB 而不是vBC 。 常用相对速度 而不是 来求构件的角速度。 来求构件的角速度。 ∆abc∽∆ABC，称∆abc为∆ABC的速 ∽ ， 为 的速 c 度影像( ) 度影像(Velocity image)，两者相似 b 且字母顺序一致， 且字母顺序一致 ， 前者沿 ω方向转 过90º。 速度极点 极点p代表机构中所有速度为 速度极点 代表机构中所有速度为 零的点的影像。 零的点的影像。
b3 p
b2
ω3=µv pb3/LBC，顺时针方向
加速度关系a ① 加速度关系
A
r B3B2
aB3 = a
大小 方向 ak
n B3
+a
t B3
= aB2 + a
+a
k B3B2
1 2 B
ω1
? ω23LBC ? ω21LAB ? 2vB3B2ω3 ? B→C ⊥CB B→A // //BC √ 转过90 沿ω3转过 °
t 1 方程不可解
A
2B 3 C t
选 B点为重合点， 并将构件 扩 点为重合点， 点为重合点 并将构件4扩 大至包含B点 大至包含 点 v B4 = v B3 + v B4B3 大小 ? 方向 √ √ √ ? √
b′ ′ e′ ′ b″ ″ c′ ′ c″ ″ a′ ′ c′′′ ′′′ A
C E B p′ ′
⑶ 两构件上重合点之间的运动关系
转动副 移动副
vB1 = vB2
重合点 2
B
aB1 = aB2
C
vB2 ≠ vB3
A 1 2 重合点 B 3
aB2 ≠ aB3
ω
1 A
ω
D
C
① 速度关系 大小 方向
牵连运动
相对运动 1 2
A B 3
v B3 = vB2 + v B3B2
? ω21LAB ? ⊥CB ⊥AB // //BC
ω1 ω3
C
由图解法得到 B3点的绝对速度 vB3=µv pb3，方 向p→b3 B3 点 相 对 于 B2 点 的 速 度 vB3B2=µv pb3，方向 2→ b3 方向b
加速度多边形( 加速度多边形(Acceleration polygon)的性质 ) ● 联接 ′点和任一点的向量代表该点在 联接p′ C 机构图中同名点的绝对加速度， 机构图中同名点的绝对加速度 ， 指 向为p′ 该点。 向为 ′→该点。 A ● 联接任意两点的向量代表该两点在 机构图中同名点的相对加速度， 机构图中同名点的相对加速度 ， 指 向与加速 度的下标相反 向与加速度的下标相反 。 如 a′b′ 代 ′ ′ 而不是a 表 aBA 而不是 AB 。 常用相对切向加 速度来求构件的角加速度。 速度来求构件的角加速度。 ● ∆a′b′c′∽∆ABC ， 称 ∆ a′b′c′ 为 ′ ′ ′ ′ ′ ′ b′ ′ 加速 度 ∆ ABC 的 加 速度 (Acceleration c″ ″ image) 影 像 ， 两 者 相 似 且 字 ) a′ ′ b″ ″ 母顺序一致。 母顺序一致。 ● 加速度 极点p′代表机构中所有 加速度极点 ′ 极点 加速度为零的点的影像。 加速度为零的点的影像。
α3 3 ω33
C b3Fra Baidu bibliotek
的方向为v B3B2的方向为 B3B2
由图解法得到 aB3 =µa p′b′3， arB3B2=µak′b′3， B→C ′ ′ ′ ′
p
ak B3B2
α3=atB3/LBC = µab″3b′3/LBC，顺时针 ″ ′
方向 当两构件用移动副联接时， 结论 当两构件用移动副联接时， 重合点的加速度不相等。 重合点的加速度不相等。
牵连运动为 转动， 转动，有ak
1 3
平面连杆机构运动分析的相对运动图解法举例1 平面连杆机构运动分析的相对运动图解法举例
用相对运动图解法进行机构运动分析的一些关键问题 ● 以作平面运动的构件为突破口，基点和重合点都应选取该 以作平面运动的构件为突破口， 使无法求解。 构件上的铰链点。使无法求解。 例如 H vE = vF + vEF vC = vB + vCB ? √ ? 大小： ? ? 大小： ? B √ √ √ 方向： ? √ 方向： ? 如选取铰链点作为基点时， 如选取铰链点作为基点时 ， 所 ω 列方程仍不能求解， 列方程仍不能求解 ， 则此时应联立 A 方程求解。 方程可解 方程求解。
C vA A B vB
选 速 度 比 例 尺 µ v(m/s/mm) ， // ) a 在任意点p作图 作图， 在任意点 作图，使vA= µv pa 由图解法得到 B点的绝对速度 vB=µv pb，方向 点的绝对速度 ，方向p→b B点相对于 点的速度 vBA=µvab，方 点相对于A点的速度 ， 点相对于 向a→b b 大小 方向
⑴ 矢量方程图解法 矢量方程
D = A+ B+C
每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据已知条件的 每一个矢量具有大小和方向两个参数， 不同，上述方程有以下四种情况 不同，
D = A+ B +C 大小 ? √ √ √ 方向 ? √ √ √
B
D = A+ B +C 大小 √ ? ? √ 方向 √ √ √ √
2. 平面连杆机构速度分析和加速度分析的相对运动图解 法 理论基础 点的绝对运动是牵连运动与相对运动的合成 步骤 ● 选择适当的作图比例尺,绘制机构位置图 选择适当的作图比例尺, ● 列出机构中运动参数待求点与运动参数已知点之间的运 动分析矢量方程式 矢量方程式( 动分析矢量方程式(Vector equation) ) ● 根据矢量方程式作矢量多边形(Vector polygon) 根据矢量方程式作矢量多边形 矢量多边形( ) ● 从封闭的矢量多边形中求出待求运动参数的大小或方向
C
aB
A n aA a BA
B
p′ ′
b′ ′ b″ ″ a′ ′
n t aC = a A + aCA + aCA
大小 ? √ ω2LCA ? 方向 ? √ C→A ⊥CA n t aC = aB + aCB + aCB 大小 ? √ 方向 ? √
方程不可解 A 方程不可解 方程可解
n a CA
C
c′ ′ c′′′ ′′′
B p′ ′
加速度影像的用途 对于同一构件， 对于同一构件，由两点的加 速度可求任意点的加速度。 速度可求任意点的加速度。 中间点E的加速度 举例 求BC中间点 的加速度 中间点 b′c′上中间点 ′为E点的影像 ′ ′ 中间点e′ 点 联接p′e′ ， 就代表 点的绝对 联接 ′ ′ 就代表E点的绝对 加速度a 加速度 E。
C A α B p′ ′
′/L ′/L ′/L 因此 a′b′/ AB = b′c′/ CB =a′c′/ CA ′ ′/ ′ ′/ ′ ′/ 于是 ∆a′b′c∆∽∆ABC ′ ′ ∆
b′ ′ 加速度多边形 b″ ″ c′ ′ c″ ″ a′ ′ c′′′ ′′′ 加速度极点 加速度零点) (加速度零点)
2 1 B 牵连运动 为平动， 无 ak 1 2 B 3 牵连运动 为平动， 无 ak
3
1
2 3
牵连运动为 k 转动， B 转动，有a
2
B B
3
1
牵连运动为 转动， 转动，有ak
牵连运动为 k 转动， 3 转动，有a 2
1
B 2 1 3
牵连运动为 转动， 转动，有ak
B
2 1 3 B
牵连运动为 转动， 转动，有ak B 2
b′2 ′ p′ ′ b″3 ″ k′ ′ b2
b′3 ′
哥氏加速度的存在及其方向的判断 用移动副联接的两构件若具有公共角速度， 用移动副联接的两构件若具有公共角速度 ， 并有相对 移动时， 移动时， 此两构件上瞬时重合点的绝对加速度之间的关系 式中有哥氏加速度a 式中有哥氏加速度 k。 判断下列几种情况取B点为重合点时有无哥氏加速度 判断下列几种情况取 点为重合点时有无哥氏加速度ak。 点为重合点时有无哥氏加速度
c b
p
角速度 ω=vBA/LBA=µv ab/µl AB，顺时针方向 / ， 同理 ω=µv ca/µl CA / ω=µv cb/µlCB / 因此 ab/AB=bc/BC=ca/CA / / / 于是 ∆abc∽∆ABC
速度多边形 c b 速度极点 速度零点) (速度零点) C A
ω
a
B
p
●
B
p
速度影像的用途 对于同一构件， 对于同一构件，由两点的速 度可求任意点的速度。 度可求任意点的速度。 中间点E的速度 举例 求BC中间点 的速度 中间点 bc上中间点e为E点的影像 上中间点 为 点 联接pe 就代表E点的绝对速度 点的绝对速度v 联接 ，就代表 点的绝对速度 E。
e b A
C E B a
n aCB
ω2LCB ?
C→B ⊥CB
B
n t n t 联立方程 aC = a A + aCA + aCA = a B + aCB + aCB √ √ ? 大小 ? √ √ ? 方向 ? √ √ √ √ √ √
p′ ′
由图解法得到 aC= µa p′c′，方向 ′→c′ ′ ′ 方向p′ ′ atCA= µa c′′′ ′，方向 ′′′→c′ ′′′c′ 方向c′′′ ′ ′′′→ ′′′ atCB= µa c″c′，方向 ″→c′ ″ ′ 方向c″ ′
B
A
D
C
A
D
C
D = A+ B +C
大小 √ √ √ √ 方向 √ √ ? ?
D = A+ B +C
大小 √ ? √ √ 方向 √ √ ? √
B
B
C
A
D
A D
C
⑵ 同一构件上两点之间的运动关系 ① 速度关系 相对运动 牵连运动
v B = v A + v BA
大小 方向 ? √ √ √ ? ⊥BA
c
p
② 加速度关系 点加速度a 点加速度 设已知角速度ω，A点加速度 A和B 点加速度a 的方向。 点加速度 B的方向。 A、B两点间加速度关系式 、 两点间加速度关系式 n t a B = a A + a BA + a BA 大小 ? √ ω2LAB ? 方向 √ √ B→A ⊥BA 选加速度比例尺µa (m/s2/mm) ， 在 任 意 点 p′ 作 图 ， / ) ′ 使aA=µa p′a′，anBA=µaa′b″ ′ ′ ′ ″ 由图解法得到 aB=µa p′b′， 方向 ′→b′ 方向p′ ′ ′ ′ atBA=µa b″b′，方向 ″→b′ ″ ′ 方向b″ ′ aBA=µa a′b′， 方向 ′→b′ ′ ′ 方向a′ ′