2021年 九年级中考数学分类专题训练：圆周角定理综合运用(五)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

2021年中考数学分类专题训练：

圆周角定理综合运用（五）

1．如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于E，F，连接DE，DF．

（1）求证：∠EAF+∠EDF＝180°；

（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于G，连接DG．设∠EDG＝∠α，∠APB＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论．[在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答]

2．如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D 是BC的中点．

（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；

（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点．（直接写出结论）

3．如图：在⊙O 中，经过⊙O 内一点P 有一条弦AB ，且AP ＝4，PB ＝3，过P 点另有一动弦

CD ，连接AC ，DB ．设CP ＝x ，PD ＝y ．

（1）求证：△ACP ∽△DBP ． （2）写出y 关于x 的函数解析式． （3）若CD ＝8时，求S △ACP ：S △DBP 的值．

4．如图，在锐角△ABC 中，BA ＝BC ，点O 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），以O 为圆心，OA 为半径的圆交边AC 于点M ，过点M 作⊙O 的切线MN 交BC 于点N ． （1）当OA ＝OB 时，求证：MN ⊥BC ；

（2）分别判断OA ＜OB 、OA ＞OB 时，上述结论是否成立，请选择一种情况，说明理由．

5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使DC ＝CB ，延长DA 与⊙O 的另一个交点为E ，连接AC 、CE ． （1）求证：∠B ＝∠D ； （2）若AB ＝

，BC ﹣AC ＝2，求CE 的长．

6．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径．∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D．DE ⊥AB于点E，且交AC于点P．连结AD，

求证：

（1）∠DAC＝∠DBA；

（2）P是线段AF的中点．

7．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；

（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．

8．如图，△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，点M为劣弧BC上任意一点，且∠AMC＝60°．（1）若BC＝6，求△ABC的面积；

（2）若点D为AM上一点，且BD＝DM，判断线段MA、MB、MC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

9．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状：；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

10．小明遇到这样一个问题：

如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE＝∠ACB．小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径作半⊙O，则点F、E在⊙O上，∠BFE+∠BCE＝180°，所以∠AFE＝∠ACB．

请回答：若∠ABC＝40°，则∠AEF的度数是．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠BDF＝∠CDE．

参考答案1．（1）证明：在圆内接四边形AEDF中，

AD为直径，

∴∠AED＝∠AFD＝90°

又∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF＝360°

∴∠EAF+∠EDF＝360°﹣（∠AED+∠AFD）＝180°（4分）

（2）解：∠α＝2∠β，理由如下：

如图，

在△ABD与△APD中，

AD⊥BP，且BD＝DP，AD＝AD

∴△ABD≌△APD（SAS）

∴∠B＝∠APD＝∠β（2分）

在△ABP中∠EAG+∠B+∠APD＝180°，

则∠EAG+2∠β＝180°

由（1）知∠EAG+∠EDG＝180°，

则∠EAG+∠α＝180°

即∠α＝2∠β．（4分）

2．解：（1）AB＝AC．

证法一：

连接AD，则AD⊥BC．

∵AD为公共边，BD＝DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD．

∴AB＝AC．

证法二：

连接AD，则AD⊥BC．

又BD＝DC，∴AD是线段BD的中垂线．

∴AB＝AC．

（2）△ABC为正三角形，或AB＝BC，或AC＝BC，或∠A＝∠B，或∠A＝∠C．

3．证明：（1）∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，

∴△ACP∽△DBP；（3分）

（2）由（1）可得：CP•PD＝AP•PB，即xy＝12；

∴y＝（3分）

（3）由题意得；（2分）

由②得y＝8﹣x，代入①得x（8﹣x）＝12

得x

1＝2，x

2

＝6（2分）

∴CP＝2，PD＝6或CP＝6，PD＝2（2分）

S

△ACP ：S

△DBP

＝CP2：BP2＝22：32＝4：9或S

△ACP

：S

△DBP

＝CP2：BP2＝62：32＝4：1．（2分）

4．（1）证明：如图①，连接OM，则OM⊥MN；

∵在△OAM中，OA＝OM，

∴∠A＝∠OMA；

∵在△BAC中，BA＝BC，

∴∠A＝∠C，

∴∠OMA＝∠C，

∴OM∥BC，

∴MN⊥BC；