简谐波波方程

知在 x 0

4
处的质元的振动表达式为
y（x0，t）=Acos t 。
试：（1）写出波函数； （2）在同一张坐标图中画出t =T
和t = 5T/4 时的波形图
y
u
解： （1） 0
x0
x x
y( x, t)

A cos[ (t

x


4
)]
u
Acos[ (t x ) 2 ]
（2） T、、 、u ; （3）t=0时，0.5m处的质点比原点落后相位;
（4）t = 0.1s 时平衡位置在 0.3m 处质点的振动速度.
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y
u
0 12 345
t0
x（0.1m）
t 0.05 s
（2） T、、 、u
解 ( 2 ) 0 .4 m
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例题：一平面简谐波沿X轴负向传播, A. y 2cos( t x )
波速u=10m/s, x=0处质点的振动曲线
如图,则波函数为( B )
A=2 T=4
y/m 2
2 20 2 B. y 2cos( t x )
2 20 2

C. y 2sin( t x )
速度为
t 0.1 x 0.3
v 10 Asin 0.5 10A
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例题：质点在弹性媒质中作简谐振动，振幅0.2cm，周期4πs, 取该质点过x0=0.1cm处开始向x轴正向运动的瞬时为t=0，已 知该质点振动激起的横波在y轴正向传播，其波长为2cm，求 波动方程。
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波向x轴负向传播
处于原点的波源作简谐振动
y 0 A c o s t 0
yu
P
o
x
x
波向x 负向传
O点的振动 落后P点
P点t时刻的状态=O 点t+t时刻的状态
t x u
波函数
简谐波沿x负向传播，振动由 x点传到O处，x处质点的振 动超前与O点， O点处质点比x处质点晚振动t=x/u，即O 点质点的振动相位比x处质点落后t.
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2 2 , uT , k 2
T
u
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波函数的意义 x为定值时，x=x1时得到平衡位置在x1处的质点的振动 方程
y~t曲线为x1处质点的振动曲线。 t为定值时，t=t1时得到t1时刻的各不同平衡位置的质点 距各自平衡位置的位移
3、周期T: 波传播一个波长的时间.亦即振源振动的周期
4、频率: 周期的倒数为频率 =1/T
5、波数k: 在2π长度内所包含的完整波的个数 波速、波长、周期、频率、波数之间的关系
u , k 2
T
u
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6、波函数：介质中各点位移随时间 和空间坐标变化规律的数学表达式
u x 0.1 2 ms 1 t 0.05
T 0.4 0.2s u2
2 10
T
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（3）t=0时0.5m处的质点比原点落后相位
法1:由图直接得到 y
A(0,0)
u
A ( 5 ,0 )
01 2 3 4 5
y x,t
平移与衡时位由一间置于个的在质波关原点是系点的振为的振动质动状点即态振可的动知传位道播其，它所质以y(点只t,的要0振知) 动道波f线上t
平衡位置在x 处的质点 t 时刻 相对自己平衡位置的位移
yu
u i
yx,t f t x
u
o
Βιβλιοθήκη Baidu
x
x
i(tkx0 )
实部 y Acos[t kx 0 ]
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波速（相速）
波函数
yx, t

A cos[ (t

x u
)
0
]
平衡位置在x
处的质点,
t 时刻的相位


(t

x u
)

0

x

ut

(
0
)u
一定 d x u 波速 dt
y(0,
5T
)

4 A
4
4

y( , 5T ) 0
y

44
t=T u
t =5T/4
x
0

4
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例题
y
已知：平面简谐波波形图(在一个周期内)
u
t0
0 12 345
x（0.1m）
t 0.05 s
求：（1）用箭头标明 t = 0.05s 时平衡位置在0.1、 0.15、0.2、0.35m 处质点的速度方向 ;
分析：
取该质点所在处为原点，t=0时， 质点位移为０.1cm，
由旋转矢量图知初相为 -π/3
质点的振动方程为：
波动方程为：
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y 例题：圆频率为沿x轴正向
传播的简谐波，在t=1时刻的 A
波形如图。则t=1时刻，x轴上
各点振动的速度v与坐标的关
系为（vC ）
A
0 A
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2、已知x0处质点的振动方程
yu
yb A cos t 0
b
o x0
波向x 正向传
b点的振动 超前P点
P点t时刻的状态=b 点t-t时刻的状态
波函数
P x
x
t x x0 u
平衡位置在x1、x2处的两个质点之间的相位差可以用 =t计算。
A ( 0 ,0 )
y 1、求0点的初相
u

2
t0 x
0

2
y
y 2、求简谐振动初相
A(0)
0

2

2 t
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正确区分波形图和振动曲线
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例题：平面简谐波沿x轴负向传播， t=1s时的波形如图所示，波速 u=2m/s，求该波的波函数。
y/m
u
4
t=1
解： λ=4m, A=4m,T=(λ/u)=2s,ω=πs-1 0 2 4 x/m
-4
t=1时，x=0处质点的位移y=0，向y轴正向运动， t=1时的 相位为3π／2 或-π/2，初相位为φ＝－3π／2 或π/2
故其振动方程为：
波函数为：
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例题：平面简谐波以波速u 沿x 轴正向传播，波长为 。已
2
2
法2：由二者的相位差得到
x（0.1m）
2.5
(x2 x1) 10 0.5
u
2
2.5
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（4）t = 0.1s 时平衡位置在 0.3m 处质点的振动速度 原点处质点的振动方程
平衡位置在x处的质点的振动方程为：
该相位随时间的移动速度
可见,简谐波的传播速度u就是振动相位的 传播速度,故称相速度
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问1、机械波从一种媒质进入另一种媒质时，波长、波的 周期和频率、波速这些量，哪些要改变，哪些不变？
波动的周期、频率与波源的振动周期、频率相同，与媒 质无关。因此这二者都不会改变。波速与传播媒质的性 质有关，故两种媒质中波速不同。波长由=uT决定，因 此波长要改变。
u 24u
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（2）
y( x, t ) Acos[ (t x ) ]
u2
Acos[2 ( t x ) ] T 2
y(0,T ) 0
y(x,T ) Acos(2 2x ) 2
y( ,T ) A
y(x, 5T ) Acos( 2x 3 )
中各质点均做同频率、同振幅的简谐振动，这样的波
为简谐波。
复杂波 = 简谐波
1、处于原点的波源作简谐振动
y u y x,t
y 0 A c o s t 0
P
o
x
x
波向x正 O点的振动 向传播 超前P点
P点t时刻的状态=O 点t-t时刻的状态
t x u
波函数
简谐波沿x正向传播，振动由O点传到x处，x处质点的振动落 后与O点， x处质点比O点处质点晚振动t=x/u，即x处质点的 振动相位比O点落后t.
u=10m/s ω=π/2
2 20 2
0 -2
1 2 3 4 t/s D. y 2sin( t x )
2 20 2
X=0处质点 的振动方程
y A2coss((t t) )
22
2
X处质点的振动方程即波函数为
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例题 y
§1 简谐波
§2 波动方程与波速 §3 波的能量 §4 惠更斯原理 反射与折射 §5 波的叠加 波的干涉和驻波 §6 声波与声强级 §7 多普勒效应 §8 波的色散及非线性波简介
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5.1 简谐波
一、基本概念 波 —— 振动状态的传播
波源----做机械振动的物体 机械波产生的条件
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横波 质点的振动方向与波传播方向互相垂直
纵波 质点的振动方向与波传播方向互相平行
对机械波而言
横波 y u
横波

纵波 y // u
纵波
固体 固、气、液
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二、几何描述
1、波线：表示波传播方向的直线或曲线称波线. 2、波面：媒质中振动相位相同的点组成的面称波面, 也称同相面.最前方的波面称波前 3、平面波：波面为平面的波 4、球面波：波面为球面的波
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例题已知 ：波函数 =0.02cos(10t+6 y) （SI）
求：（1）T、、u、传播方向； （2）波谷经过原点的时刻；
（3）t=6s时各波峰的位置。
解：（1）比较沿x 正方向传播的平面简谐波标准式
( x, t )

Acos[2 ( t
T

x
弹性介质----传播机械振动的介质 媒质
弹性介质——以弹性力相联系的一群质点 。其中一个质 点在外力作用下振动，引起其他质点也相继振动.
波源 注意：波动只是振动状态的传播，介质中各 质点并不随波前进，各质点只以周期性变化 的速度在各自的平衡位置附近振动。
振动状态的传播速度u为波速，与介质的性质有 关。要区别波速与振动速度的不同。
u i
yx,t f t x
u
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已知平衡位置在原点的质点的振动方程即可 写出波方程（波函数）
沿Y方向振动、沿X轴方向传播的波动方程
y(x, t) f (t x) u
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四、简谐波的波函数
如果波动传播的是简谐振动，并且波所到之处，介质
波速u只与媒质的性质有关；而T、只与波源有关，与媒 质无关。
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处于原点的波源作简谐振动 波函数
y 0 A c o s t 0
如果已知x0处质点的振动方程（即已知振源在x0 处）， 则x处质点的振动方程即简谐波函数： 简谐波函数
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v
A
0
A
x
1
2
0
A
(A)
v
v
A
A
0
A
1
2x
0
A
(C)
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u
t 1 x
12
x
1
2
(B)
2
1
x
(D)
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y
u
A
t 1
0
A
x
1
2
设简谐波的波函数为 t=1时各质点的位移和速度为
t=1时坐标原点处的质点，y=0, v>0
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y~x曲线为t1时刻的波形图。 若x和t都在变化，则表示各质点在不同时刻的振动。
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yx, t

A cos[ (t

x) u
0 ]
平衡位置在x处的质点t时刻的
振动速度
振动加速度
d2 y dt2 (x,t)
dy (x,t) dt
y Ae 简谐波函数的复数形式
问2、如何理解波速和振动速度。
波速是波源的振动在媒质中的传播速度，即振动状态或 振动相位在媒质中的传播速度。它仅仅取决于传播媒质 的性质，可由u=/T 计算。它不是媒质质元的运动速度。
振动速度才是媒质质元的运动速度。它可以由媒质质元 相对于自己平衡位置的位移对时间求一阶导数而求得。
2014/4/11
2014/4/11
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波前 波线
波阵面（等相面）
平面波
均匀、各向同性媒质 中波线与波阵面垂直
波阵面 波前
O
波线 球面波
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三、描述波的物理量
1、波速(相速)u: 振动状态(即相位)在空间传播的速 度.它与波动的特性无关,仅取决于传播媒质的性质.
2、波长： 同一波线上两相邻的相位差为2π的质点间 的距离.相当于波源做一个完整振动，波前进的距离。