线段之和最短问题

线段之和最短问题

一． 常见数学模型：

1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

l

A

3. 如图，直线和的异侧两点A 、B ，分别在直线、上求作一点P 、Q 两点， 使AP+PQ+QB 最小。

4. 如图，直线的同侧两点A 、B ，分别在直线上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a ， 使AP+PQ+QB 最小。

l 2

l 1

l

A

B

a

l 1

A

5.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 使△PAB 的周长最小。

6.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的 周长最小。

N

M

P

为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”

5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小

6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小

N

M

A

M

N

P

Q

N

M

A

为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”

练习题

1．在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n =______时，AC + BC 的值最小．

2．如图，护城河在CC ’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A 处往B 处，经过两座桥：DD ’，

EE ’，设护城河是东西——南北方向的，A ，B 在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD ’，EE ’的位置，使由A 地经过两座桥梁后到B 地的路程最短？最短路程是多少？

3．如图∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 10，Q 、P 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．

A P y

x

B

A 1

234–1–2–3–4–1

–2–3–4

1

2

34O

B

A

4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

A

E

C B 5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、

EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值

6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

7．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路x 同侧，

50km AB A ，、B 到直线x 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路y 与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B 到直线y 的距离为30km ，请你在x 旁和y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

A'A

B B y

x

B

A

O

8．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．

9．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

10．如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为 3 + 1 时，求正方形的边长. 30°

A C M D

B A E N B A M

参考答案 1．在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n =______时，AC + BC 的值最小． 点C （1，n ），说明点C 在直线x=1上，所以作点A 关于

直线x=1的对称点A'，连接A'B ，交直线x=1于点C ，则

AC+BC 的值最小

设直线A'B 的解析式为y=kx+b ，则 -2=-k+b 2=4k+b

解得：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x-(6/5)

当x = 1时，y = -(2/5)

故当n = -(2/5)时，AC+BC 的值最小

2．如图，护城河在CC ’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A 处往B 处，经过两座桥：DD ’，

EE ’，设护城河是东西——南北方向的，A ，B 在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD ’，EE ’的位置，使由A 地经过两座桥梁后到B 地的路程最短？

最短路程

是多少？

如图，作BB ’⊥a ，AA ’ ⊥b ，且BB ’ = 4，AA ’ = 4，连接A ’B ’，交河岸于点E ’，D ’，分别过点E ’、D ’架设桥梁DD ’，EE ’，则ADD ’E ’EB 是最短路线。

因为四边形ADD ’A ’、四边形BEE ’B ’都是平行四边形，所以BE = B ’E ’，AD = A ’D ’，因为A ’，B ’之间线段最短，所以ADD ’E ’EB 是最短路线，又BF = 64，AF = 84，所以B ’F = 60，A ’F = 80，在直角三角形A ’B ’F 中，由勾股定理得，A ’B ’ = 100，最短路线为108米

x

1

2

3

4

–1

–2–3

–4

1234

–1–2–3–4A'B

A O b

a

D

E

E'

D'

A

B

b

a

F

D

E

E'

D'

B'

A'

B

A

Q

P 1A

P