3(运动方程的建立)

外荷载为：
p (t ) + W
k∆ st = W
(a )
(b )
( c)
应用D’Alembert原理：
f I + f D + f s = p (t ) + W
+ cu + k (u + ∆ st ) = p(t ) + W mu
+ cu + ku = p(t ) mu
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考虑重力影响时，运动方程与无重力影响时的运动方 程完全相同。 当需要考虑重力影响时，结构的总反应(位移/内力)为
可见运动方程高度非线性。
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微幅振荡时，q1、q2很小，忽略高阶小量，方程可化为：
2 1 + m2l1l2 q 2 + (m1 + m2 ) gl1q1 = 0 (m1 + m2 )l1 q 2 2 + m2 gl2 q2 = 0 m2l1l2 q1 + m2l2 q
+ u g ) 惯性力： f I = m(u
阻尼力：f D = cu
问题：
如果方程基本变量采用 绝对位移，则： （1）方程结果如何？ （2) 存在什么问题？
弹性恢复力：f S = ku 外荷载：0 应用D’Alembert原理：
fI + fD + fS = 0
+ u g ) + cu + ku = m(u 0
f S 1 k11 f k S 2 = 21 f SN kN1 k12 k22 kN 2 k1 j k2 j k Nj fS = ku k1N u1 k2 N u2 k NN u N
运动方程：外力情况
fI + fD + fS = p (t )
+ cu + ku = p ( t ) mu
1 f D1 c11 c12 c1 j c1N u f c c c c 22 2j 2 N u2 D 2 = 21 N c c c c f Nj NN DN N1 N 2 u f D = cu
（例子见后）
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第2章 运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
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地基运动问题： 结构的动力反应不是由直接作用到结构 上的动力引起的，而是由于结构基础的运动引起的。
u t=u g+u u
ug
ug—地基位移，是已知的； u —相对位移，反映结构变形； ut = u+ ug—绝对位移。
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总体平衡：
+ cu + ku = p ( t ) mu
理想化两自由度体系：
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线性结构系统一般化的直接平衡方法
自由度的选取
施加外荷载
弹性力：
f Si= ki1u1 + ki 2 u2 + + kij u j + + kiN u N
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惯性力：
1 + mi 2 u 2 + + mij u j + + miN u N f Ii = mi1u
结构动力学
教师：王君杰 助教：宋彦臣
同济大学土木工程学院桥梁工程系 2014年秋
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第2章 运动方程的建立
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内容概要
重力的影响 地基运动的影响 多自由度体系运动方程的建立—直接平衡法 多自由度体系的Lagrange运动方程 普遍运动方程的推导 多自由度体系问题的自由度缩减
假设非保守力，即阻尼力和外力都为零，则Q1=Q2=0， 将T和V代入Lagrange方程得复合摆的运动方程：
2 1 + m2l1l2 q 2 cos(q2 − q1 ) − m2l1l2 q 2 2 sin( q2 − q1 ) + (m1 + m2 ) gl1 sin q1 = 0 (m1 + m2 )l1 q 2 2 m l q m l l q cos( q q ) m l l q + − + 212 1 2 1 2 1 2 1 sin( q2 − q1 ) + m2 gl2 sin q2 = 0 22 2
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直角坐标x、y 和 广义坐标q1、q2 的关系 及其 速度之间的关系如下：
x1 = l1 sin q1 , y1 = l1 cos q1 , 1 = l1q 1 cos q1 x 1 = −l1q 1 sin q1 y 2 = l1q 1 cos q1 + l2 q 2 cos q2 x 2 = −l1q 1 sin q1 − l2 q 2 sin q2 y
V j= c j ∆ j
阻尼力
1 + c2 ( u 1 − u 2 ) f D1 = c1u
f D1 fD2
2Hale Waihona Puke Baidu− u 1 ) fD2 = c2 ( u
1 u c1 + c2 −c2 = or f D cu −c 2 c2 2 u
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x2 = l1 sin q1 + l2 sin q2 , y 2 = l1 cos q1 + l2 cos q2 ,
x1 = l1 sin q1 , y1 = l1 cos q1 ,
1 = l1q 1 cos q1 x 1 = −l1q 1 sin q1 y 2 = l1q 1 cos q1 + l2 q 2 cos q2 x 2 = −l1q 1 sin q1 − l2 q 2 sin q2 y
m1 0
u
1 0 u f D1 f S1 p1 ( t ) + + = 2 m2 u fD2 fS 2 p2 ( t )
m1 u1 = m 0 u2 0 fD = m2 f D1 = fS fD2 f S1 = p fS 2 p1 p2
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弹性恢复力：
∆ j = u j − u j −1
b a f= f + f S1 S1 S1
V j= k j ∆ j
∆1 = u1 ∆ 2 = u2 − u1
12 EI c kj = ∑ 3 h columns
= f S 2 k2 ( u2 − u1 )
f S1 fS 2 k1 + k2 −k2 u1 or f S ku = k2 u2 −k2
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第2章 运动方程的建立
2.3 重力的影响
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k
c
k
c Δst
c fs( t ) fD( t)
m ( W) W
0 fI ( t) W P( t) u (t) W P (t) (d )
(a )
(b )
( c)
静平衡位置：受动力作用以前结构所处的实际位置。 Δst—重力W=mg作用下体系的静位移
x2 = l1 sin q1 + l2 sin q2 , y 2 = l1 cos q1 + l2 cos q2 ,
体系的动能T：
1 1 2 2 1 + y 1 ) + m 2 ( x 2 2 + y 22 ) T = m1 ( x 2 2
1 1 2 2 1 + m2 [l12 q 12 + l2 2 q 2 2 + 2l1l2 q 1q 2 cos(q2 − q1 )] T = m1l1 q 2 2 设q1=q2= 0时是0势能位置，则势能(位能)V：
W P (t) (d )
(a )
(b )
( c)
ug
以上结合单自由度结构体系给出了不同影响因素下结构 运动方程的建立方法，虽然例题极为简单，但包含了最 基本的概念和原理。以后会涉及到更复杂的结构体系， 例如结构构造复杂、自由度多，包含连续分布的质量， 地震多方向(多维)和多点(在结构不同的支承处的地面 运动不一致)输入等等，但灵活应用本章介绍的方法都 可以得到解决。
阻尼力：
1 + ci 2 u 2 + + cij u j + + ciN u N f Di = ci1u
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矩阵形式：
1 f I 1 m11 m12 m1 j m1N u f m m m m 22 2j 2 N u2 I 2 = 21 N m m m m N2 Nj NN f IN N1 u f I = mu
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第2章 运动方程的建立
2.5.2 Lagrange方程法
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例 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量 分别为 m1 和 m2 ，忽略杆的分布质量，建立体系无阻尼 自由运动方程，并讨论。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。
为方便计算体系的动 能，也给出了直角坐 标系，在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。
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如果重力的影响没有 预先被平衡 (或发生了变化)，则 在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影 响问题。 例如P-Δ效应。 最简单的例子是倒立摆，当倒立摆产生水平振动后， 摆的重力引起的附加弯矩是一个新的量，它并没有预 先被平衡(且随摆角变化)，将对体系的动力反应产生 影响，这种影响必然反映到结构的运动方程中。
V = m1 g (l1 − y1 ) + m2 g (l1 + l 2 − y 2 ) = (m1 + m2 ) gl1 (1 − cos q1 ) + m2 gl2 (1 − cos q2 )
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取Lagrange方程中的i=1, 2，得到，
d ∂T ∂T ∂V ( )− + = Q1 1 ∂q1 ∂q1 dt ∂q d ∂T ∂T ∂V ( )− + = Q2 2 dt ∂q ∂q2 ∂q2
∆ st = W / k
动位移记为u(t)
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惯性力、阻尼力和 弹性恢复力分别为：
k
c
k
c Δst
c
∆ st = W / k
fs( t ) fD( t) 0 fI ( t)
m ( W) W
f I = mu
W P( t)
u (t)
W P (t) (d )
f D = cu f s = k (u + ∆ st )
这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆的 运动方程才成为线性的。 当m2=0时，得到单摆的运动方程:
1 + m1 gl1 sin q1 = m1l12 q 0
+ m1 gl1q1 = 0 ml q
总反应(效应)=静力解 + 动力解
即可以应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相 加即得到结构的总体反应。
并不是对任何结构动、静力反应问题都可以这样处理， 因为在以上推导中，假设弹簧的刚度k为常数，即结构 是线弹性的，因此只有对线弹性结构才可以使用叠加 原理，将静力、动力问题分开考虑。 对于运动非线性问题，叠加原理不成立。
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第2章 运动方程的建立
2.5 多自由度体系 运动方程的建立
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第2章 运动方程的建立
2.5.1 直接平衡法
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以两层结构为例：
根据牛顿运动第二定律：
j or m j u j + pj − = f Sj − f Dj m j u = f Dj + f Sj p j ( t )
eff—effective
+ cu + ku = Peff (t ) 相对运动方程 mu
g Peff (t ) = − mu
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重力 和 地基运动 的影响
k
c
k
c Δst
c fs( t ) fD( t)
u t=u g+u u
0 fI ( t)
m ( W) W
W P( t)
u (t)