3.4环的同态与同构

0,
x R
则 f 是R到R' 的一个同态，且同态像为 f(R)={0'}， 这个同态称为零同态，它是任何两个环之间都存在 的一个同态。
例4．通过同构映射，可以把一个环“嵌入”到另
一个环中去.
设M2(R) 到M3(R)的一个同构映射为
a b 0 a b : c d 0 c d 0 0 0
( x I ) ( y I ) ( x y) I ( x I )( y I ) xy I
例1．Z是整数环，n是大于零的正整数, nZ是Z的 理想，则
Z / nZ {k nZ k 0,1, , n 1} {0,1, , n 1} Z /(n)
Z (i) / N {0,1, i,1 i} （ 事实上,对 a+bi∈ Z（i），
其中 0 r 1 2,0 r 2 2
a bi (2a1 r1) (2b1 r2 )i 2(a1 b1)i (r1 r2i) r1 r2i
r1 r2i
不难验证, σ是一个同态，且有σ(M2(R) M2(R)。 通常称σ把M2(R)同构嵌入到M3(R)中。 故在同构意义下，M3(R)是M2(R)的扩环。
Def：设
f : R R
是环的同态，则R' 的零元0' 的原象 f -1 (0') 称为 f -1的同态核
K Ker f f 1 (0) {x x R, f ( x) 0}
故 f 是 R=Z 到 R' = Z/(n) 的同态映射，亦为满射。
例2．设R是任一个环， I是R的一个理想，命
: R R / I, a
a
(a R, a R / I )
则是R到商环R/I的满同态，这个同态映射 叫R到R/I的自然同态。 例3．设R和R'是两个环，定义
f : R R, x
即整数环Z对理想nZ的商环,就是模n 同余类环Z/(n).
例2．高斯整数环
Z (i) {a bi a, b Z , i ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ}
是有单位元1的交换环，I=<1+i>是Z(i)的理想， 求Z(i)/ I的所有元素。 解：由于Z(i)是有单位元的交换环，故
x yi Z (i), I ( x yi)(1 i) ( x y) ( x y)i
例1．设 R= Z，R' = Z/(n)，命
f :a a, (R R)
则 1°f 是Z到Z/(n)的满射 2°f (a1 a2 ) a1 a2 a1 a2 f (a1 ) f (a2 ) 3° f (a1a2 ) a1a2 a1 a2 f (a1 ) f (a2 )
注意到x+y, x-y只能同时为奇或同时为偶,故对任 意高斯整数 a+bi，只要a，b的奇偶性相同，则方程 组 x-y=a, x+y=b 恒有整数解。即a+bi∈I。因此，I由 一切高斯整数a+bi组成，其中a，b奇偶性相同。
由此可见，对任意a+bi∈ Z(i), 只要a，b的奇偶性相 同，恒有a+bi ≡ 0(I)；若a，b奇偶性不同，则a+bi ≡ 1(I), 即 ,也即A/I只含两个元。 Z (i) / I {0,1} 类似可得，若 N {2(a bi) a, b Z} ，则
Def：设（R,+，· ），（R',+，· ）是两个环，若存在 一个R到R'的映射f，满足 a,b∈R,都有 f (a+b) = f (a)+f (b), f (ab) = f (a) · f (b), 则称 f 是环R到环R'的同态映射，简称同态～ 。
R
f
R′
注1．有定义可知，环的同态映射 f 是保持加法和乘 法两种运算的映射。 注2． f 单射—— f 是单同态 f 满射—— f 是满同态 f 双射—— f 是同构，记作R R' 注3． f 是单同态—— R f(R), 称f 将R同构嵌入 到R'中 注4．当R' =R，即f：R→R时—— 自同态，自同构， 自同构群 Aut R={f∣f：R R}.
Th2：（环的第一同构定理）
设R是环, S是R的子环，I是R的理想，则
(S I ) / I S /(S
I)
Th3：（环的第二同构定理，商环同构定理） 设f是环R到环R'的满同态，I是R的理想，Ker f I，
则
R / I R / f ( I )
( ( R / K ) /( I / K ))
同态核 Ker f 是R的一个理想，且有: f 单同态 Ker f ＝{0}
3.4.3 同态基本定理 (Basic Theorem of Homomorphism)
在群论中，有群的同态基本定理和同构定理等 一系列定理，它们都可以相应地推广到环与域上， 这里只作叙述，不做证明，读者可仿照群的相应定 理证明. Th1：（环的同态基本定理）设 f 是环R到环R'的 满同态～ ， K=Ker f，则 (1) R/ K R'; (2) 设是R 到R/ K 的自然同态，则存在R/ K到 R'的同构σ ，使得 f=σ· （或σ = f · -1） （注：令σ ：a+K → f (a), ：a → a+K 即可）
满足上述条件的 只有4个：0，1，i,1+i，即
Z (i) / N {0,1, i,1 i}
3.4.2 环的同态与同构 (Homomorphism and Isomorphism of Ring)
在群论中我们讨论过群的同态与同构，本节我们把 它推广到环和域上，讨论环的同态与同构。环的同 态与同构的概念与理论与群的同态与同构十分类似， 因此，我们在学习这部分内容时，要注意把它们彼 此联系起来，并留意它们的不同之处。
§3.4 环的同态与同构
(3.4 Homomorphism and Isomorphism of Ring)
3.4.1 商环（Quotient Ring）
Def：设R是环, I是R的理想，R关于I的商集R/I对于 模I的加法和乘法做成的环，称为R关于理想I的 商环，或称R模I的同余类环。 其中加法和乘法为， x, y ∈R,