高考数学备考推理与证明复习教案

推理与证明【最新考纲透析】1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【核心要点突破】要点考向1：合情推理考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；2．呈现方式金榜经，属中档题。

考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。

在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：① cos2a=22cos a -1;② cos4a=84cos a - 82cos a + 1; ③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182cos a - 1;④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1.可以推测，m – n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．【思路点拨】根据归纳推理可得．【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，m 12801120n p 11∴-+++-=，m n p 162∴++=，又9p 10550,m 2512=⨯===，n 400∴=-，m n p 962∴-+=．【答案】962．要点考向2：演绎推理考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。

考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。

例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设112,,(2)(3)23n n n n N x x ≥∈+-+2012nn a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+， 将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中n T =__________________ .【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键．【思路点拨】观察n T 的奇数项与偶数项的特点．【规范解答】观察n T 表达式的特点可以看出240,0T T ==，……，∴当n 为偶数时，0n T =；3331123T =-，5551123T =-，……，∴当n 为奇数时，1123n n n T =-．【答案】0,11,23n n n n T n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为偶数时当为奇数时．要点考向3：直接证明与间接证明考情聚焦：1．直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。

2．以解答题的形式呈现，属中档题目。

例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20）已知集合)2}(,,2,1},1,0{,),,,({21≥=∈==n n i x x x x X X S i n n 对于12(,,...,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为∑=-=n i ii b a B A d 1),( （Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ； （Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。

本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。

要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．【思路点拨】（I ）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明．【规范解答】（Ⅰ）(01,11,01,00,10)A B -=-----＝（1,0,1,0,1） (,)0111010010d A B =-+-+-+-+-＝3(Ⅱ)设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈因为11,{0,1}a b ∈，所以11{0,1}(1,2,,)a b i n -∈=⋅⋅⋅ 从而1122(,,)n n n A B a b a b a b S -=--⋅⋅⋅-∈由题意知,,{0,1}(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)(,)n i i i d A C B C a b d A B =--=-=∑(Ⅲ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈ (,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h ===记0(0,0,0)n S =⋅⋅⋅∈由（Ⅱ）可知(,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A kd A C d A A C A d C A ld B C d B A C A h =--=-==--=-==--= 所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k,(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l 设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数。

则2h l k t =+-由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数．注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用。

要点考向4：数学归纳法考情聚焦：1．新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势，望能引起足够的重视；2．以解答题的形式呈现，属中档题。

例4：等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值;（11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n n b b b b b b +++>【解析】因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅ .下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······2462n n b b b nb b b n ++++=⋅⋅>.当1n =时,左边=32,右边,因为32>,所以不等式成立.假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······2462k k b b b k b b b k++++=⋅⋅>成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123·· (24)6222k k kk b b b bk k b b b bk k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+2322k k +>===>+所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n=k 到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

（2）在本例证明过程中，①考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k 到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。