相似矩阵与矩阵对角化

动），相应地，可逆矩阵P也不唯一．
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推论2 n 阶矩阵 A与对角阵相似的充要条件是 A的 每个k重特征值恰好对应有k个线性无关的特征向量 (即矩阵 E – A的秩为n – k ）.
三、矩阵对角化的步骤
将矩阵对角化的步骤为：
(1) 计算n阶矩阵A的特征多项式 E A ;
(2) 求出特征方程 E A 0的全部根,它们就是矩阵 A的全部特征值；
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例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
(1)
A
2 2
2 4
4 2
Biblioteka Baidu
2 1 2
(2)
A
5 1
3 0
3 2
解
1 2 2
(1) E A 2 +2 4
2 4 +2
22 7 0
14
得 1 2 2,3 7
当1 2 2时,齐次线性方程组为 2E A X
将 P 按列分快为 P X1 , X2 ,L , Xn .
7
由P 1 AP , 得 AP P
1
即
A X1, X2 ,L
,
Xn
X1 ,
X2 ,L
,
Xn
2
O
n
1 X1 ,2 X2 ,L ,n Xn
所以 A X1 , X2 ,L , Xn AX1 , AX2 ,L , AXn
（2）对称性：若A ∽ B. B ∽ A. （3）传递性：若A ∽ B. AB ∽C. 则A ∽ C.
相似矩阵还具有如下性质： (1) 相似矩阵有相同的行列式; (2) 相似矩阵有相同的行列式; (3) 相似矩阵有相同的可逆性, 当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似；
3
(4) 相似矩阵的幂仍相似．即若A ∽ B，则Ak ∽ Bk （k为任意非负整数) ；
6
二. 矩与对角矩阵相似的条件
1. 矩阵A与对角矩阵相似的条件 对n阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵P,使得
P 1 AP 为对角阵,就称为把方阵A对角化.
定理4.5 n 阶矩阵 A与对角阵相似（可对角化）的 充要条件是矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量.
证 假设存在可逆阵P, 使P1 AP 为对角阵,
若A与B均可逆，因为A ∽ B，故存在可逆矩阵P，
使得
B P1 AP
则有
B1 P 1 A1( P 1 )1 P 1 A1P
(4) 当 k = 0时，A0 = B0 = E，所以 A0 ∽ B 0 ．由
数学归纳方法知，
当k为正整数时，若 B P 1 AP,则
Bk (P1AP)k (P1AP)(P1AP)L (P1AP)(P1AP) P1A(PP1)A(PP1)L (PP1)A(PP1)AP P1 Ak P
(5) 相似矩阵有相同的特征值.
证 (1) 如果A ∽ B，则存在可逆矩阵P, 有 B P1AP
则
B P1AP P1 A P P 1 A P A
(2) 如果A ∽ B，则存在可逆矩阵P，有 B P1AP 即 A B
所以，R (A ) = R(B ).
4
(3) 因为R (A ) = R(B )，因此矩阵A与B同时可逆 或不可逆．
1 X1 , X2 ,L , Xn
于是有 AXi i Xi i 1, 2,L , n .
8
又由于P可逆,所以X1 , X2 ,L , Xn线性无关.
可见i是A的特征值,而P的列向量Xi 就是 A的 对应于特征值i的特征向量, A有n个线性无关的
特征向量.
反之,由于A恰好有n个特征值, 并可对应地求得n个 线性无关特征向量, 这n个线性无关特征向量即可构 成矩阵P, 使得 AP P
11
(3) 设 1，1，L ,s 是A的全部不同的特征值．对于每 一个 i (i 1, 2,L , s)设其为ki 重特征值,求矩阵(iE – A)
的秩ri 如果：
a．存在一个i有，n- ri ＜ ki, 则A不相似对角阵；
ｂ．对任意的i有， n- ri ＝ ＜ki, 则A相似对角阵;
(4) 解齐次线性方程组
对A进行运算 P－1 AP 称为对A进行相似变换,
可逆矩阵P 称为把矩阵A变成矩阵B的相似变换矩阵.
例如A
2 1
1 0
,
B
1 0
1 1
,
P
1 1
1
2
P
1 AP
1 1
11 2
2
1
1 1
0
1
1 1
2
0
1 1
B
2
注1 矩阵相似是一种等价关系. 它具有如下性质: （1）反身性：A ∽ A.
5
即Ak ∽ B k (5) 设A ∽ B ，则存在可逆矩阵P，有
B P1 AP
即 E B E P1AP
= P1( E)P P1AP P1( E A)P
= P1 E A P = E A
相似矩阵有相同的特征多项式故而有相同的特征值．
注1 虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们属于同一 特征值的特征向量不一定相同.
(i E A)X 求出它的一个基础解系 i1 ,i2 ,K ,iki (i 1, 2,L , s)
就是A的属于特征值i 的一组极大线性无关特征向量.
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(5) 令 P (11 , 12 ,L ,1k1 L ,s1 ,s2 ,L ,sks ), 则
1
O
P 1
AP
1
O
.
s
O
s
§4.2 相似矩阵与矩阵对角化
一. 相似矩阵及其性质 二. 矩阵与对角矩阵相似的条件 三. 矩阵对角化的步骤 四. 小结与思考题
1
一.相似矩阵及其性质
定义4.3 设 A,B都是n阶矩阵, 若存在可逆矩阵P 使得 P 1 AP B
则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵, 或称矩阵A与矩阵 B相似, 记作A ∽ B.
1 2 2 1 2 2
2E
A
2 2
4 4
4 4
0 0
0 0
0 0
得
x1 2 x2 2 x3
2
2
得基础解系
X1
1 0
,
X2
0 1
.
15
当3 7时，齐次线性方程组为 7E A X
8
7E
A
2 2
2 5 4
2
4 5
1
0
0
0
1 0
1
2
1
0
x1
1 2
x3
x2 x3
P 1 AP
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推论 若n 阶矩阵A有n个互异的特征值,则A可对角 化(A与对角阵相似).
(逆命题不一定成立)
注2 若A~, 则 的主对角元素即为A 的特征值，
如果不计k的排列顺序,则唯一，称之为矩阵A的 相似标准形.
注3 定理4.5的证明过程还表明，与矩阵A相似的 对角阵不唯一（对角阵中主对角元的顺序可以变