第三章数学基础-空间描述和变换
线性系统的状态空间描述精品PPT课件
状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间 所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
12
第1章 线性系统的状态空间描述
三 线性系统的状态空间描述
1．状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量 之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方 程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。
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第1章 线性系统的状态空间描述
二. 状态的含义
系统的状态 描述系统的过去、现 在和未来行为的变量 组，是用来完善地描 述系统行为的最小的 一组变量。
状态变量 状态变量是指构成系 统状态的每一个变量。 状态变量构成的列向 量为状态向量。
9
第1章 线性系统的状态空间描述
关于状态的几点说明
系统的状态空间描述
用向量 u [u1,u2 , up ]T 表示; ✓ 系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信
息）称为系统输出，用向量 y [ y1, y2, yq ]T 表示； ✓ 系统输入和输出统称为系统的外部变量。 ✓ 描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量，
用向量 x [x1, x2, xn ]T表示，它是系统的内部变量。
状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现在：
只要给定这组变量 x1(t)，x2 (t)， ，xn (t) 在初始时刻t0的值，
以及输入变量
u1(t)，u2 (t)， ，在up各(t)瞬时t≥t0的值，则系统
中任何一个变量在t≥t0时的运动行为就可以被完全确定。
状态变量组的最小性体现在：
状态变量 x1(t)，x2 (t)， ，xn (t)是为完全表征系统行为所
1．几个基本定义
高考数学中的向量空间及其性质分析
高考数学中的向量空间及其性质分析在高考数学中，向量空间是一个重要的概念，涵盖了向量的范围和性质，是代数学研究的基础。
本文将介绍向量空间的概念、性质、基础定理以及相关的例子和应用。
一、向量空间的概念向量空间（Vector space）指的是一个包含多个向量的空间，它们满足以下性质：1. 向量的数量是有限个或无限个。
2. 向量定义了一个数域，数域可以是实数域R，复数域C，有理数域Q等。
3. 向量有进一步的代数、几何、拓扑和泛函分析等特征。
4. 向量空间必须包含零向量（也就是全零的向量）。
5. 向量空间必须包含加法：对于任意两个线性向量（即向量的加法、数乘等操作结果还是一个向量），在向量空间内有一个数域运算，满足交换律、结合律、存在加法逆元素等条件。
6. 向量空间必须包含数乘：对于任意线性向量和数域中的一个数，存在一个数乘运算，满足分配律、结合律等条件。
这些性质被称为向量空间的八条基本公理，其中1-4条是定义性质，5-8条是增量性质。
然后我们将详细探讨它们的含义和应用。
二、向量空间的性质1. 向量的数量和定义的数域可以是各种类型的，只需要满足八条基本公理即可。
2. 向量空间是一个集合，因此它也可以定义子空间，即由其中的一组线性无关的向量组成的空间。
3. 向量空间的维数是指其向量组成的最小集合，我们可以通过线性变换的定义来计算向量空间的维数。
4. 向量空间的元素是线性向量，它们的位置可以描述其中一个向量相对于原点的位置，以及相对于其它向量的位置关系。
5. 向量空间中的向量可以表示为各种类型的坐标，这种坐标和几何坐标非常相似，因为它们都是由一组数值表示向量。
6. 向量空间定义的加法和数乘可以轻松地进行多种操作，例如向量之间的点乘、叉乘、向量积等等。
7. 向量空间是线性代数学中一个很重要的概念，在计算机图像、统计学、量子力学等领域都有广泛的应用。
三、向量空间的基础定理1. 向量空间的基底定理：向量空间的任何一个基底都必须包含同样数量的向量。
《自动控制原理》状态空间描述的非唯一性及线性变换
•
x = Ax + bu, y = cx
（9-183）
令
x = Px
（9-184）
式中P为非奇异线性变换矩阵，它将x变换为 x，变换后的动态
方程为
•
x = Ax + bu, y = cx = y
(9-185)
式中
A = P−1 AP,b = P−1b, c = cP
（9-186）
并称为对系统进行P变换。对系统进行线性变换可以使 A 阵规
这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵
对于非奇异线性变换具有不变性。
(2)变换Leabharlann 系统特征值不变变换后系统的特征值为
I − P −1 AP = P −1P − P −1 AP = P −1P − P −1 AP = P −1 (I − A)P = P −1 (I − A) P = P −1 P I − A = P−1P I − A = I I − A = I − A
则仍可使A阵化为对角阵 。 （特殊情况，了解内容）
P = p1 p2 pm pm+1 pn
（*）
式中 pm+1, pm+2 ,, pn 是互异实数特征值对应的实特征向量。 展开 Api = 1 pi (i = 1,2,, m) 时，n个代数方程中若有m个pij ( j = 1,2,,n) 元
可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于非奇异
线性变换，系统特征值具有不变性。
第9-1节 作业：习题 9-3 9-4 9-6 9-7
0
− a0 − a1 − a2 − an−1
1
下面具体推导变换矩阵P：
设变换矩阵P为
P = P1T P2T PnT T
地理信息系统下的空间分析——第三章_空间分析的理论问题
4、顺序关系描述 顺序关系中的一类重要关系是方向关系，如东、西、 南、北等。 （1）方向关系的定量描述 方向关系的定量描述主要是使用方位角来进行
（2）方向关系的定性描述 方向关系的定性描述主要有投影法(projection)和锥形 法(cone)。 1）投影法：是将空间目标投影到特定的坐标轴上，通 过各目标投影间的关系去描述与定义方向关系。其中的投 影可以是正射投影，也可以是斜率投影。 2）锥形法：是将空间目标及其周围的区域分成带有方 向性的几个区域，通过各目标本身及方向区域之间的交的 结果来描述空间关系。
7）西南关系
South_West(Pi，Qj)=X(Pi)＜X(Qj) And Y(Pi)＜Y(Qj) 示意图如下：
8）东南关系
South_East(Pi，Qj)=X(Pi)＞X(Qj) And Y(Pi)＜Y(Qj) 示意图如下：
以上8种关系通过点的投影可以精确判断。对于任意两点， 上述8种关系必有一种满足。 这些关系具有传递性。 另外，一些关系可进行相互转换，如North_East(Pi，Qj)和 South_West(Qj，Pi)。
课堂练习： 请大家分别算 出8种面面关系 的4元组矩阵
8种面/面关系
………………….
三种点/线拓扑关系。 课堂练习：请大家分别算出3 种点线关系的4元组矩阵。
两种点/点拓扑关系。
课堂练习：请大家分别算出2种点 点关系的4元组矩阵。
三种点/面拓扑关系，请 写出4元组矩阵。
2、空间关系描述结果的评价： 完备性是指空间关系描述结果能包含目标间所有可能的定 性关系； 严密性是要求所推出的一组关系是实际存在的或正确的； 唯一性要求所有关系是互斥的； 通用性指描述方法应能处理各种形状的目标和各类关系。
计算几何与图形学的数学基础
计算几何与图形学的数学基础计算几何与图形学是数学领域中涉及几何形状、图形和其它与空间相关概念的分支。
它们提供了许多重要的数学基础和理论，对于解决实际问题、工程应用以及计算机图形学的发展都具有重要意义。
本文将介绍计算几何与图形学的一些数学基础。
一、点、线、面的几何性质计算几何与图形学研究的对象主要是点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在几何学中，点是没有大小和形状的，用来描述位置；线是由无数点构成，是长度无限延伸的物体；面是由无数线构成的，是二维的，有面积的物体。
这些基本的几何要素有着特定的性质和运算规则，在计算几何与图形学中扮演着重要的角色。
二、向量和坐标系向量是计算几何与图形学中的重要概念，它可以表示空间中的方向和大小。
向量常用于描述点之间的位置关系和线段的方向。
在计算几何中，向量可以进行加法、减法和数乘等运算，这些运算有助于解决几何问题。
坐标系是用来标定点的位置的一种方法。
二维空间中常使用直角坐标系，通过横纵坐标来确定点的位置；三维空间则使用三维直角坐标系，通过三个坐标轴来确定点在空间中的位置，坐标轴互相垂直。
三、曲线和曲面在计算几何与图形学中，曲线和曲面是常见的几何对象。
曲线可以由参数方程或者隐式方程来描述，比如常见的直线、圆形、椭圆等；曲面是由参数方程或隐式方程描述的，如球面、圆柱面、锥面等。
曲线和曲面的性质和形状可以通过不同的数学工具和方法进行分析和计算。
四、投影与变换投影是计算几何中重要的概念之一，它描述了物体在不同角度和位置下在平面上的映射。
常见的投影包括平行投影和透视投影。
平行投影是指物体投影到平行于观察方向的平面上，透视投影则考虑了物体与观察者之间的距离和角度。
变换是计算几何与图形学中的关键技术之一，它包括平移、旋转、缩放和扭曲等操作，可以改变几何对象的形状和位置。
五、计算几何与图形学的应用计算几何与图形学的数学基础被广泛应用于众多领域。
在工程领域，它们被用于建筑设计、机械制造和飞行器设计等方面，帮助人们解决实际问题。
高等数学重点知识总结
高等数学重点知识总结高等数学是大学阶段数学课程的重要组成部分，它对我们理解和应用各种学科知识具有重要意义。
本文将从微积分、线性代数和概率统计等几个方面对高等数学的重点知识进行总结。
一、微积分微积分是高等数学中最重要的内容之一，它包含了微分和积分两个部分。
微积分的核心思想是函数与其变化率之间的关系。
在微积分中，我们主要学习了以下几个重点知识。
1. 极限与连续：极限是微积分的基础，它描述了函数在某一点上的趋势和性质。
我们需要了解极限的概念、性质和计算方法，并掌握极限运算的一些常用技巧。
连续则是极限的概念的进一步应用，它描述了函数在整个定义域上的性质。
2. 导数与微分：导数是描述函数变化率的重要工具，它在科学和工程领域中被广泛应用。
我们需要了解导数的定义、性质和计算方法，掌握导数的基本公式和导数运算的技巧。
微分则是导数的一种应用，它描述了函数在一点上的变化量。
3. 积分与定积分：积分是导数的逆运算，它是求解曲线下面的面积或曲线长度的重要方法。
我们需要了解积分的定义、性质和计算方法，掌握积分的基本公式和积分运算的技巧。
定积分则是积分的一种应用，它描述了函数在一个区间上的总量。
二、线性代数线性代数是数学的一个重要分支，它研究了向量空间、线性变换和矩阵等数学结构。
线性代数在物理、工程和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
在线性代数中，我们主要学习了以下几个重点知识。
1. 向量与矩阵：向量是线性代数的基本概念，它描述了物理量的大小和方向。
我们需要了解向量的定义、性质和运算法则，掌握向量的坐标表示和向量的数量关系。
矩阵则是线性代数的重要工具，它描述了线性变换和方程组等数学问题。
2. 线性空间与线性变换：线性空间是向量空间的一种特殊情况，它描述了向量的集合和运算规则。
我们需要了解线性空间的定义、性质和运算法则，掌握线性空间的子空间和基底等概念。
线性变换则是描述线性空间之间映射关系的工具。
3. 特征值与特征向量：特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们描述了线性变换对向量的影响。
第三章 数学基础—齐次坐标和齐次变换New2
解1：用画图的简单方法
解2：用分步计算的方法 ① Rot（x, 90°）
1 0 P' 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 1 2 3 0 0 3 2 1 1 1
（3-1）
o
i
n
a
运动学正逆求解问题
Where is my hand?
运动学正问题
Direct Kinematics HERE!
How do I put my hand here?
运动学逆问题
Inverse Kinematics: Choose these angles!
3.2 位置和姿态的描述
一、位置描述 对于直角坐标系 {A} ，空间内任一点 P 的位置可有 3×1 的列 A 向量rP （或位置向量）
中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：
1 0 0 R 0 1 0 0 0 1
由图2-5可知， jv 在y轴上的投影为
k z cos
j y cos
， jv 在z轴上的投影
为 k z sin , kw 在y轴上的投影为 j y sin ， kw 在z轴上的投影为 ，所以有：
② Rot（z, 90°）
0 - 1 1 0 P '' 0 0 0 0
0 0 P ''' - 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 3 3 1 0 0 2 2 1 1 1
A B
T
A
B rP A T rP B
A B
T
理解： 1 ）是 {A} 和 {B} 两个坐标系下点或方位齐次坐标的线性映 射，一旦这两个坐标系之间的位姿关系确定，它也就确定 了。 2）是{B}坐标系相对{A}坐标系的位姿矩阵。
工业机器人运动学-1数学基础
则可得到如图1.8所示的点向量n.变换过程如下
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans <4, －3, 7> w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图1.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
〔1.1〕
向量的点积是标量.用" ·"来定义向量点积,即
a ·b = ax bx + ay by + az bz
〔1.2 〕
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量.用"×" 表示叉积,即
1.2.1 点向量〔Point vectors〕 点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位
置.同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同.如图 1.1中,点p在E坐标系上表示为 Ev,在H坐标系上表示为 Hu,且v ≠ u.一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck 通常用一个〔n + 1〕维列矩阵表示,即除 x、y、 z 三个方向上的分量外,再加一个比例因子 w ,即
01
0 001
1
0
0
1
如果按着逆序旋转,首先绕y轴旋转90°,然后再绕z轴旋转90°,其结果为
2023秋部编人教小学数学三年级上册教材目录及课文内容
2023秋部编人教小学数学三年级上册教材目录及课文内容目录1. 第一章：整数- 1.1 整数介绍- 1.2 整数的比较- 1.3 整数的加法- 1.4 整数的减法2. 第二章：数的表达方式- 2.1 单位的认识- 2.2 数的读法和写法- 2.3 数的拆分与组合3. 第三章：长度- 3.1 长短的认识- 3.2 用刻度尺测量长度- 3.3 长度单位换算4. 第四章：时间- 4.1 时刻的认识- 4.2 日期的认识- 4.3 时间的比较5. 第五章：图形与空间- 5.1 图形的认识- 5.2 图形的分类- 5.3 图形的变换课文内容第一章：整数1.1 整数介绍本课主要介绍了整数的概念和整数的正负之分，并通过生活中的例子让学生理解整数的实际意义。
1.2 整数的比较学生将研究如何比较两个整数的大小，并使用大于、小于和等于的符号表示大小关系。
1.3 整数的加法本课将教授学生如何进行整数的加法运算，并通过实际问题让学生应用所学知识。
1.4 整数的减法学生将研究如何进行整数的减法运算，并通过实际问题让学生掌握减法的基本方法。
第二章：数的表达方式2.1 单位的认识本课将帮助学生认识到单位在数的表达中的重要性，并引导学生学会选择适当的单位来表达数值。
2.2 数的读法和写法学生将研究如何正确读写数值，并通过实例让学生巩固所学内容。
2.3 数的拆分与组合本课将教授学生如何将数拆分为更小的数或通过组合形成更大的数，并通过实际问题让学生运用所学知识。
第三章：长度3.1 长短的认识学生将研究如何认识和描述物体的长短，并通过比较大小来巩固所学概念。
3.2 用刻度尺测量长度本课将教授学生如何使用刻度尺来测量物体的长度，并通过实际测量活动让学生进行实践。
3.3 长度单位换算学生将研究如何进行长度单位之间的换算，并通过实际问题来应用所学知识。
第四章：时间4.1 时刻的认识本课将帮助学生认识时刻的概念，并学会如何读写时钟所指示的时间。
第三章 状态方程的解
1 1 0 0
2 1 1
1
0
1
0
2
1
0
2
0
0
7 ) [Φ ( t )] k = Φ ( kt ) 证明： 证明：
[ Φ ( t )] ＝ ( e ) = e
k At k
kAt
=e
A ( kt )
= Φ ( kt )
( A+ B ) t = e At e Bt = e Bt e At AB = BA ，则 e 8) 若
e λ1 t =
e λ2t O
λnt e
(2)
若A为 m × m 约当矩阵
λ A= 1
λ
O O
O O
1 λ m×m
则有： 则有：
e
At
1 t 0 1 λt =e 0
−1 = L− 1 ( sI − A )
变换法计算矩阵指数： 例 用Laplace 变换法计算矩阵指数： 1 0 A= −2 −3
s 解：( sI − A ) = 2 −1 s + 3
( sI − A )
−1
s + 3 1 1 = s (s + 3) + 2 −2 s
s+3 ( s + 1 )( s + 2 ) = −2 ( s + 1 )( s + 2 ) ( s + 1 )( s + 2 ) s ( s + 1)[s + 2 ] 1
1 2 − s +1 s + 2 At −1 则有： 则有： = L e − 2 + 2 s +1 s + 2
小学二年级数学各单元知识点归纳
小学二年级数学各单元知识点归纳一、内容简述二年级数学是数学学习的初级阶段，也是学生掌握基础数学知识的重要时期。
二年级数学涉及的知识点主要包括数与代数、图形与几何、统计与概率等几大领域。
本篇文章将归纳二年级数学各单元知识点，帮助学生梳理知识脉络，把握学习重点。
内容包括整数加减法、乘法口诀表的应用、空间与图形的初步认识等，这些知识点是小学生数学学习的基石，也是今后学习数学的基础。
通过归纳整理，学生可以更好地理解和掌握数学知识，提高数学应用能力。
1. 简述二年级数学的重要性及学习意义。
二年级数学是数学学习的关键阶段，这一阶段的学习不仅是对一年级数学知识的巩固和深化，更是为后续更复杂的数学知识打下坚实的基础。
二年级数学的学习对于培养学生的逻辑思维、推理能力和解决问题的能力至关重要。
对于孩子们来说，学习数学不仅是积累数学知识的过程，更是一个认识世界、理解世界的过程。
在二年级数学的学习中，孩子们开始接触到数的概念、简单的运算、图形的初步认识等，这些知识点不仅仅是数学的基础知识，更是日常生活中经常需要用到的技能。
在购物时计算价格、在玩耍时计算时间等，都与数学息息相关。
学习数学能够让孩子们在日常生活中变得更加自主、独立，提高其解决问题的能力。
对于未来的学术和职业发展来说，扎实的数学基础也是成功的关键。
二年级数学的学习对于孩子们来说意义非凡。
2. 强调知识点归纳对学习的帮助。
知识点归纳是数学学习中非常重要的一环。
对于小学二年级的学生来说，通过归纳每个单元的核心知识点，可以帮助他们更清晰地理解和掌握数学的精髓。
这样的归纳不仅可以让学生系统性地把握数学知识，而且在实际应用中能发挥出重要的作用。
学生们可以更有条理地复习和巩固已经学过的内容，明确每个单元的重点和难点，进而巩固基础，提升学习效果。
知识点归纳还可以帮助学生发现自己的薄弱环节，从而有针对性地进行强化学习。
对于小学二年级的学生来说，掌握数学知识点的归纳方法，无疑是对数学学习的一种重要投资。
第二章空间描述和变换
注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系 被定义的。
For example, AP , this means that the components of A P have numerical values that indicate distances along the axes of {A}. ❖比如：AP ，这个前置的上标A标明此位置矢量是在坐标 系{A}中定义的。
r22
r23
r31 r31 r33
❖we have omitted the leading superscripts in the rightmost matrix of(2.3). In fact, the choice of frame in which to describe the unit vectors is arbitrary as long as it is the same for each pair being dotted. The dot product of two unit vectors yields the cosine of the angle between them, so it is clear why the components of rotation matrices are often referred to as direction cosines.
❖It will be convenient if we stack these three unit vectors together as the columns of a 3 * 3 matrix, in the order AXB、 AYB、AZB . ❖我们将XB、YB、ZB按顺序排列组成3*3的矩阵，成为旋转 矩阵。
数学基础理论知识
\# 数学基础理论知识数学作为一门学科，是自然科学和社会科学中最基础、最重要的学科之一。
数学基础理论知识是数学中最基本的知识体系，它是数学研究和应用的基础，无论是在自然科学、工程技术还是社会科学等领域，数学基础理论知识都起着不可替代的作用。
数学的基础概念1. 数的分类数的分类主要分为自然数、整数、有理数和实数等。
•自然数（N）：包括正整数，是最基础的数的概念，用于计数。
•整数（Z）：包括自然数、0和负整数，扩展了自然数的概念。
•有理数（Q）：可以表示成两个整数的比值，包括整数和分数。
•实数（R）：包括有理数和无理数，实数是数轴上的所有点的集合。
2. 运算法则数学基础理论中的运算法则包括加法、减法、乘法、除法等基本运算。
运算法则需要遵循一定的规则，如加法的交换律、结合律，乘法的分配律等。
3. 代数学基础代数是数学中的一个重要分支，它研究数和数之间的关系，包括代数方程、代数式、代数运算等内容。
代数学基础是数学研究和运用的基础之一。
几何学基础1. 几何基本概念•点、线、面：是几何学中最基本的概念，点无大小，线无厚度，面具有面积。
•角度：两条射线共同端点形成的部分称为角度，角度分为锐角、直角、钝角等。
2. 几何关系•全等三角形：具有相同边长和相等对应角度的三角形称为全等三角形。
•相似三角形：具有对应角度相等，但尺寸不同的三角形称为相似三角形。
3. 平面几何与立体几何•平面几何：研究平面图形的性质和关系，包括多边形、圆等图形。
•立体几何：研究空间中的几何关系，包括球体、棱柱、圆锥等。
微积分基础微积分是数学分析的重要分支，主要研究函数、极限、导数、积分等内容，是研究变化和连续性的数学工具。
1. 函数与极限•函数：描述自变量与因变量之间关系的规则。
•极限：描述函数在某一点附近的性质和趋势。
2. 导数与微分•导数：描述函数在某一点的变化率。
•微分：导数的微小变化。
3. 积分与微分方程•积分：描述函数在一定区间内的总体变化。
数学教案4：拓扑学基础——欧几里得空间与度量空间的特性比较
在数学领域中，拓扑学是一门非常重要的学科。
它专门研究空间结构以及它们之间的变换，成为数学中一个重要的分支。
其中，欧几里得空间和度量空间是拓扑学中的两个基础概念，它们之间有着很大的联系和区别。
本文将详细介绍欧几里得空间和度量空间的特性比较。
一、欧几里得空间欧几里得空间一般指的是一个n维空间，具有一些特定的性质，例如：1.线性空间结构：欧几里得空间的点可以视为具有一定的线性结构，即可以通过线性变换进行移动、旋转和缩放等操作。
2.度量结构：欧几里得空间中的点之间还有一定的距离度量规律，也就是我们常说的欧几里得距离公式。
通过这个公式，我们可以计算出任意两点之间的距离，从而形成了完整的度量结构。
3.坐标表示：欧几里得空间可以用数值来表示，因为我们可以给每个点都对应一个唯一的坐标。
这个坐标可以用来描述点的位置和坐标之间的距离。
欧几里得空间在很多方面都有着广泛的应用。
例如，在几何学和物理学中，欧几里得空间被使用来描述实际的空间结构。
在计算机图形学和机器学习中，欧几里得空间的线性结构和度量结构被广泛应用于特征提取和分类等领域。
二、度量空间度量空间一般指的是一个集合S，其中对于任意两个元素x和y，都定义了一个非负实数d(x,y)来表示它们之间的距离，同时满足下列条件：1.对称性：d(x,y)=d(y,x)2.三角形不等式：d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)3.非负性：d(x,y)>=04.同一性：d(x,y)=0，当且仅当x=y度量空间的基本概念和欧几里得空间有着很大的不同，主要在于度量空间中的距离是任意定义的，而且没有坐标和线性结构。
度量空间广泛应用于实际中，例如在概率统计中，度量空间中可以对样本进行度量，从而衡量它们之间的相似程度。
三、欧几里得空间与度量空间的比较欧几里得空间和度量空间之间有着许多的相似和不同之处。
下面我们来进行一些比较：1.空间结构：欧几里得空间有着完整的坐标和线性结构，而度量空间却没有。
第三章位置与坐标复习教案
1.培养学生运用坐标系描述物体位置和运动的能力，强化空间观念和几何直观。
2.提升学生分析坐标与图形位置关系，发展逻辑推理和问题解决能力。
3.激发学生探索位置变换规律，增强创新意识和实践操作技能。
4.培养学生将坐标系应用于实际问题，提高数学建模和数学应用素养。
本章节核心素养目标依据新教材要求，注重培养学生的空间想象力、逻辑思维、创新意识和实际应用能力，使学生在掌握位置与坐标知识的基础上，提升数学学科核心素养，为学生的终身发展奠定基础。
-图形变换后坐标的确定：图形在坐标系中进行平移、旋转等变换后，学生需要能够准确找到变换后图形上关键点的坐标。
-实际问题中的坐标系应用：学生需学会将现实问题转化为数学问题，利用坐标系进行分析和解决。
举例：在讲解位置变换中的坐标计算时，教师可通过动态图示、实际操作等方式，帮助学生理解坐标在平移、旋转过程中的变化规律。如平移时，坐标点(x, y)的变换公式为(x+a, y+b)，其中a、b表示沿x轴、y轴的平移量；旋转时，坐标点(x, y)绕原点逆时针旋转θ角的变换公式为(x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ)。
小组讨论环节，学生们积极参与，提出了不少有创意的想法。我感到欣慰的是，他们在讨论中不仅分享了知识，还学会了倾听和尊重他人的意见。不过，我也观察到个别小组在讨论时主题有些偏离，未来我需要在这方面给予更多的指导，确保讨论内容紧扣教学目标。
实践活动中，学生通过分组讨论和实验操作，将理论知识与实际操作相结合，这样的教学方式明显提高了学生的动手能力和问题解决能力。但我也发现，在操作过程中，学生对实验结果的记录和展示还不够规范，这一点需要在今后的教学中加强指导。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
空间分析复习总结
第一章:（定狡）空间分析：空间分析是基于地理对象的位巻和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。
地理智慧：也可称为空间智慧，是空间数据一空间信息一空间智慧这一数据分析链上的最高层次。
通过空间分析获得地理智慧，可以解决与位置相关的复杂空间问题。
当代GIS的特点、它对空间分析的影响：首先，它是以动态异构、时空密集、非结构化的大数据为主体：其次，GIS信息计算能力大大提高，基于高性能环境支撑下的空间处理与分析工具计算：最后，它具有个性化服务模式，庞大的地理信息服务网络。
面对GIS的不断发展，空间分析需要转换思维模式：从模型分析的思维转换为数据计算的思维，从地理大数据中挖掘信息，提供决策支持：从基于空间数字化得到的静态的空间信息转换为加入时间维的动态、实时的人地信息思维模式，把人、时间、位置紧密结合起来: 从离线的GIS工具转换到依靠云计算和计•算机网络的在线服务的思维。
什么是PPDAC模型、它与空间分析有什么关系：问题（problem）、规划（plan）、数据（data）、分析（analysis）、和结论（cconclusion）：PPDAC模型为空间分析相关问题的解决流程提供了一个框架，并强调形式化分析是流程中非常重要的一部分。
空间分析的研究肉宥包插邨掘方面（主妥方式）（6个）：基于传统地图方法的空间分析：基于统计方法的空间分析：时空数据分析：专业模型与GIST具集成分析：智能化空间分析和可视化空间分析。
（空间分柝理论、空间分析方法和空间分析应用）GIS的主矣特征：第二章:（概念）欧式空间：欧式空间是对现实世界（物理空间）的一种数学理解与表达，是GIS 中常用的一种空间描述方法，主要用于描述空间的几何特征，如位置、长度、面积和方位等。
拓扑空间：拓扑空间是另一种理解和描述现实世界（物理空间）的数学方法，拓扑空间是描述空间目标宏观分布或目标之间相互关系的有效工具。
拓扑属性：若空间目标间的关联、相邻与连通等几何属性不随空间目标的平移、旋转、缩放等变换而改变，这些保持不变的性质称为拓扑属性。
第三章-图形变换的矩阵方法
果图形上每一个点都进行同一变换，即可得到该图形的变换。对于
线框图形的变换，通常是变换每个顶点的坐标，连接新的顶点序列
即可产生变换后的图形，对于曲线、曲面等图形变换，一般通过对
其参数方程做变换来实现对整个图形的变换。
➢ 有两种不同的变换方法：一种是图形不动，坐标系变动，变换前
量的基本定理，对于这个平面内的任意向量，都可以用这组基线
性表示，即 = 1 + 2 。这组不共线的向量 , 就构成平面
的一个坐标系，1 , 2 为向量在这组基下的坐标，即 = (1 , 2 )
➢ 若向量 =(1,0), =(0,1)， , 是平面直角坐标系中x轴和
和变换后图形是针对不同坐标系而言，变动后该图形在新坐标系
里具有新的坐标值，称之为几何变换；另一种是坐标系不动，图
形改变，变换前和变换后的坐标值是针对同一坐标系而言，称之
为坐标变换。这两种变换在某种意义上是等价的，将图形变换一
个量等价于将坐标系变换一个相反的量，实际应用中，后一种图
形变换更有实际意义。
②平行于y轴的直线变换后
仍平行于y轴；
③平行于x轴的直线变换后，
x=0的点不动(不动点)，x≠0的点
沿y方向平移了bx，形成与x轴夹
角为θ的直线，且 tgθ＝bx / x＝b。
D′
A′
D
C
A
B
C′
x
B′
bx
3.4.1
二维图形变换矩阵
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的
3.2 坐标系矩阵
3.2.1 坐标系矩阵
✓ 请说说你对坐标系的认识，你知道的坐标系有哪些？
六年级上数学教案-描述物体的位置-人教新课标
六年级上数学教案描述物体的位置人教新课标教学内容本节课主要围绕“描述物体的位置”这一主题展开，教学内容包括：1. 方向与距离：学生将学习如何使用方向（如北、东、南、西）和距离来描述物体在空间中的位置。
2. 坐标系统：介绍坐标平面，让学生理解如何使用坐标（x, y）来精确定位点。
3. 应用题：通过实际应用题，让学生练习使用方向和距离来描述物体位置，并解决相关问题。
教学目标1. 知识与理解：学生能够理解并运用方向和距离来描述物体的位置。
2. 技能：学生能够使用坐标系统在平面图上标出点的位置。
3. 思考与应用：学生能够将所学知识应用于解决实际问题，如地图上的定位等。
教学难点本节课的教学难点包括：1. 方向与距离的结合：学生需要理解并能够将方向和距离结合起来描述物体位置。
2. 坐标系统的应用：学生需要掌握如何在坐标平面上准确标出点的位置。
教具学具准备教师准备：教学PPT、坐标平面图、示例题目。
学生准备：练习本、直尺、量角器。
教学过程1. 导入：通过展示一些日常生活中的物体位置描述，引发学生对“如何描述物体位置”的思考。
2. 新授：讲解方向和距离的概念，并举例说明。
介绍坐标系统，让学生了解坐标平面的基本结构。
3. 实践：学生分组进行练习，使用方向和距离来描述物体位置，并在坐标平面上标出点的位置。
4. 巩固：通过解决实际问题，让学生加深对知识点的理解。
板书设计方向与距离的定义和示例。
坐标系统的介绍及如何使用坐标（x, y）。
应用题的解题步骤和关键点。
作业设计作业将包括：填空题：使用方向和距离描述物体位置。
实践题：在坐标平面上标出点的位置。
应用题：解决实际问题，如地图上的定位。
课后反思课后，教师应反思教学内容是否清晰、学生是否理解了方向和距离的概念，以及坐标系统的应用是否熟练。
根据学生的反馈和学习情况，对教学方法进行适当调整，以确保教学效果。
本教案旨在通过系统的教学内容和教学方法，帮助学生掌握描述物体位置的关键技能。
第三章 空间数据采集与处理练习
一、单选题1、对于离散空间最佳的内插方法是：A．整体内插法 B．局部内插法C．移动拟合法 D．邻近元法2、下列能进行地图数字化的设备是：A.打印机B.手扶跟踪数字化仪C.主机 D.硬盘3、有关数据处理的叙述错误的是：A.数据处理是实现空间数据有序化的必要过程B.数据处理是检验数据质量的关键环节C.数据处理是实现数据共享的关键步骤D.数据处理是对地图数字化前的预处理4、邻近元法是：A.离散空间数据内插的方法B.连续空间内插的方法C.生成DEM的一种方法D.生成DTM的一种方法5、一般用于模拟大范围内变化的内插技术是：A.邻近元法B.整体拟合技术C.局部拟合技术D.移动拟合法6、在地理数据采集中，手工方式主要是用于录入：A.属性数据B.地图数据C.影象数据 D.DTM数据7、要保证GIS中数据的现势性必须实时进行：A.数据编辑B.数据变换C.数据更新 D.数据匹配8、下列属于地图投影变换方法的是：A.正解变换B.平移变换C.空间变换 D.旋转变换9、以信息损失为代价换取空间数据容量的压缩方法是：A.压缩软件B.消冗处理C.特征点筛选法 D.压缩编码技术10、表达现实世界空间变化的三个基本要素是。
A. 空间位置、专题特征、时间B. 空间位置、专题特征、属性C. 空间特点、变化趋势、属性D. 空间特点、变化趋势、时间11、以下哪种不属于数据采集的方式：A. 手工方式B.扫描方式C.投影方式 D.数据通讯方式12、以下不属于地图投影变换方法的是：A. 正解变换B.平移变换C.数值变换 D.反解变换13、以下不属于按照空间数据元数据描述对象分类的是：A. 实体元数据B.属性元数据C.数据层元数据D. 应用层元数据14、以下按照空间数据元数据的作用分类的是：A. 实体元数据B.属性元数据C. 说明元数据D. 分类元数据15、以下不属于遥感数据误差的是：A. 数字化误差B.数据预处理误差C. 数据转换误差D. 人工判读误差二、填空题1、数据处理涉及的内容很广泛，主要取决于和，一般包括数据变换、数据重构、数据提取等内容。
实景三维 数学基础
实景三维数学基础
实景三维数学基础是指在现实世界中运用数学概念和原理来描
述和解释三维空间中的物体和现象。
这涉及到几何学、线性代数、
向量和空间几何等数学基础知识。
首先，几何学在实景三维中起着重要作用。
几何学是研究空间
形状、大小、相对位置等性质的数学分支。
在实景三维中，几何学
可以帮助我们理解和描述物体的形状、位置和运动。
例如，通过几
何学的概念，我们可以计算物体的体积、表面积，以及不同物体之
间的相对位置关系。
其次，线性代数也是实景三维数学基础中的重要组成部分。
线
性代数是研究向量、矩阵和线性方程组的数学学科。
在实景三维中，线性代数可以帮助我们描述和分析物体的旋转、平移和缩放等变换。
通过线性代数的知识，我们可以使用矩阵来表示和操作三维空间中
的变换，从而实现对物体的建模和仿真。
此外，向量和空间几何也是实景三维数学基础中不可或缺的内容。
向量是描述空间中方向和大小的数学工具，而空间几何则是研
究空间中直线、平面和曲线等几何对象的性质和关系。
在实景三维
中，向量和空间几何可以帮助我们理解和描述物体的运动轨迹、相交关系以及投影等现象。
总之，实景三维数学基础涉及到几何学、线性代数、向量和空间几何等多个数学学科的知识和原理。
通过运用这些数学基础，我们可以更好地理解和分析现实世界中的三维空间中的物体和现象，为实景三维技术的应用提供坚实的数学基础支持。
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3.1 基本概念
机器人操作的定义是指通过某种机 构使零件和工具在空间运动。这就需要 表达零件、工具以及机构本身的位置和 姿态。
3.2 相关知识回顾
一、行列式和矩阵
1. 行列式按照行（或列）展开法则：行 列式等于它的任意一行（或列）各元素 与其对应的代数余子式乘积之和。
2. 行矩阵 3. 列矩阵 4. 矩阵相等：两同型矩阵（行数和列数
直角坐标系{A}, 位置矢量Ap
矩阵表示
px
A
p
p
y
p z
ZA p
Ap
YA
XA
我们用一个位置矢量来描述空间中点的位置。
• 姿态方位描述：利用固定于物体的坐标系描述姿
态(pose)。姿态又称为方位(orientation)。
在刚体B上设置直角坐标系{B}，利用与{B}
的坐标轴平行的三个单位矢量 xB, yB,zB
机械工程理论为研究静态和动态环 境下的操作臂提供了方法论；数学方法 用于描述机械手空间运动及其特性；控 制理论为实现期望运动或力提供了各种 设计方法和评估算法；电气工程技术可 用于传感器及工业机器人接口的设计； 计算机技术提供了执行期望任务所需的 编程平台。
本次课内容提要
»基本概念 »相关知识回顾 »位置与姿态的表示 »坐标变换 »齐次坐标变换 »通用旋转变换
b 1 b 2 b 3
五、运动副
操作臂通常是由一
系列连杆通过关节顺次 相连的开式链。关节决 定两相邻连杆副之间的 连接关系，也称运动副。 运动副分两类：高副和 低副。两连杆之间相对 运动时，若是面接触， 称为低副机构；若是线 接触或点接触，则称为 高副机构。
3.3 位置、姿态与坐标系的描述
• 位置描述：位置矢量(position vector)
二、坐标旋转
已知矢量相对于某坐标系{B}的定义，若想求 矢量相对另一个坐标系{A}的定义，且这两个坐标 系的原点重合，如果{B}相对于{A}的姿态描述是已 知的，那么计算可行。
坐标旋转方程
zB
zA Bp
ApBAR Bp
yB
{A}
oA
yA
BpA BRApB ARTAp xA xB
分别绕x，y，z轴的旋转变换(基本旋转变换)： 任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成 得到。（例2.1）
首先坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，
并沿坐标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系
{A}的z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换
矩。假设某点在坐标系{B}中的矢量为
，
求该r B 点 在5 i 坐 9 标 j 系0 {k A}中的矢量。
一、平移坐标变换
当两个矢量所在的坐标系具有相同的姿态， 可以用矢量相加的方法求点相对于另一坐标 系的表示。
在坐标系{B}中的位置矢量Bp在坐标系 {A}中的表示可由矢量相加获得。
坐标平移方程
ApBpApBo
zA
{A}
oA xA
zB
Ap
Bp
ApB
oB
yB
yA xB {B}
Ap Bo 为{B}相对于{A}的平移矢量。
1 0 0
R(x,) 0 c s 0 s c
c 0 s
R(y,)
0
1
0
s 0 c
c s 0 R(z,) s c 0
0 0 1
旋转矩阵的几何意义：
1)可表示固定于刚体上的坐标系{B}对参 考坐标系{A}的姿态矩阵。
2)可作为坐标变换矩阵，它使得坐标系{B} 中的点的坐标变换成{A}中点的坐标。
机器人技术导论
第三章 数学基础— 空间描述和变换
工业机器人，或称机器人操作臂、机械 手等。是由一系列刚性连杆通过一系列 柔性关节交替连接而成的开式链。这些 连杆就像人的骨架，分别类似于胸、上 臂、和下臂，工业机器人的关节相当于 人的肩关节、肘关节和腕关节。
1-手部 2-腕部 3-臂部 4-机座
PUMA 560系列机器人
阵。它满足： A 1
如果 Rx是y 正交z矩阵，则
xxy yzz 1 x yyz zx0
行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排 成的数表；行列式是一个数。
二、直角坐标系
若基矢量相互正交，即它们在原点处两 两相交成直角，则点积（内乘积或标量积）
a rbra r brcos
相对于坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵来表示B 的姿态，我们称这个矩阵为旋转矩阵。
BAR AxB
AyB
r11 r12 r13
AzB r21 r22 r23
r31 r32 r33
于是，点的位置可用一个矢量来表示，物体的姿态 可用一个矩阵来表示。
3.4 坐标变换
在机器人学的许多问题中，需要用不同 的参考坐标系表达同一个量。为了描述从一 个坐标系到另一坐标系的变换，我们讨论映 射的数学方法。
3)可作为算子，将{B}中的矢量或物体变 换到{A}中。
三、复合变换
平移和旋转构成复合变换。（例2.2）
zA
A pBAR BpApBo
{A}
oA xA
C pBCR BpBAR Bp
A pCpApCoBAR BpApBo
zB zC
Ap
Bp yB
ApB oB
yC
{C}
yA xC
{B}
xB
习题：
已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，
其中θ是a和b间小于等 于180°的夹角，若将a按 右手法则绕c转θ角至b， 右手拇指指向为c的正方 向（如图），c与a、b两 者垂直。
若a和b用分量的形式表示为:
aa1i a2ja3k bb1i b2jb3k
则：
a b a i1
j a 2
k
a 3 (a 2 b 3 a 3 b 2)i (a 3 b 1 a 1 b 3)j (a 1 b 2 a 2 b 1 )k
其中θ是a和b两矢量间的夹角， 如右图所示。
换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该 矢量与另一矢量方向上单位矢量的点积。
再令a=j （j为a方向上的单位矢量），则
rjircos
即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的 余弦。
四、矢量的叉积（矢量积或叉乘积） abc
其中矢量c的模为: cabsin
都相等）对应元素相等。
5. 单位矩阵：主对角线元素为1，其它所 有的元素都为0的方阵。
6. 矩阵的运算
（1）矩阵的加法：两同型矩阵的对应元素相加。 （2）矩阵与数相乘：该数与矩阵各元素相乘。 （3）矩阵与矩阵相乘 （4）矩阵转置
7. 矩阵的逆（逆矩阵）
8. 正交矩阵：如果 A1，A则TA为正交矩