碰撞+角动量+质心
碰撞 碰撞定律 质心运动定律 东北大学 大学物理
M Rd
πR
2R
M
M
π
xc 0
几何对称性
例题 如图，人与船构成质点系，人向右走时船向左动，当人从 船头走到船尾时(船长为l）则 质心位置不变 xc xc 开始时，系统质心位置
x1' x1
xc
mx1 m
Mx2 M
O
•• x2'
x
x2
i
1 完全弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒
2 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒
3 非完全弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒
4/16
例题: 求两物到达最高处的张角
解：分三个过程：
（1）小球自A下落到B，机械能守恒：
1 2
m1v 2
m1gh1
m1gl(1 cos )
1
m1 m2
（2）小球与蹄状物碰撞过程，动量守恒：
此时，物体碰撞后以同一速度运动，不再分开，这就 是说物体碰撞后已经完全不能恢复形变。
(3) 非完全弹性碰撞 当0＜e＜1时， v2 v1 e(v10 v20 )
此时，碰撞后形变不能完全恢复，一部分机械能将被转 变为其他形式的能量 (如热能）。
一般情况碰撞时 F ex F in
pi C
miri / M
i
xC mi xi / M yC mi yi / M
zC mi zi / M
质量连续分布的系统的质心位置:
rC rdm / M
xc
xdm M
yc
ydm M
zc
zdm M
(3) 质心不同与重心： 物体体积不太大时两者重和；物体远 离地球时不受重力，“重心”失去意义，“质心”仍在。
度是互相垂直的。
质心角动量定理公式(一)
质心角动量定理公式(一)质心角动量定理公式1. 公式介绍质心角动量定理是刚体力学中的一个重要定理，描述了一个刚体在外力作用下，质心的角动量的变化与外力矩之间的关系。
该定理可以用以下公式来表示:L = Iω其中， - L 表示质心的角动量 - I 表示质心的转动惯量 - ω表示质心的角速度2. 公式解释为了更好地理解质心角动量定理，下面通过两个具体例子来解释其应用。
例子1：单个物体的转动假设一个质量为 m 的物体在平面上绕固定轴旋转，其质心与轴的距离为 r，物体的角速度为ω。
此时，根据质心角动量定理公式，物体的角动量可以表示为 L = mvr，其中 v 是物体上任意一点的线速度。
通过该公式，我们可以得出以下结论： - 在该物体转动时，其角动量的大小与质量和线速度的乘积成正比。
- 当质心离轴的距离变大时，物体的角动量也会增大。
例子2：刚体的整体转动考虑一个由多个质点组成的刚体，在没有外力矩的情况下，整个刚体的角动量守恒。
假设刚体的质心与轴的距离为 d，刚体的转动惯量为 I，刚体的角速度为ω。
根据质心角动量定理公式，整个刚体的角动量可以表示为 L =Iω，其中 I 表示整个刚体的转动惯量。
通过该公式，我们可以得出以下结论： - 刚体的角动量的大小与转动惯量和角速度的乘积成正比。
- 当转动惯量增大或角速度增大时，刚体的角动量也会增大。
结论质心角动量定理是刚体力学中非常重要的一个定理，用于描述刚体在外力作用下质心的角动量的变化规律。
通过该定理，我们可以定量地了解刚体的旋转运动，以及改变物体旋转状态的因素。
通过以上两个例子，我们可以看到质心角动量定理的应用。
对于单个物体的转动，质心离轴的距离越远，角动量越大；对于整个刚体的转动，转动惯量越大或角速度越大，角动量越大。
质心角动量定理为我们分析刚体旋转问题提供了有力工具，对于解决实际问题具有很大的帮助。
质心系角动量定理
质心系角动量定理质心系角动量定理是指：在不受外力矩作用的情况下，质心系的角动量保持不变。
如果系统的总质量为M，质心的角动量为L_cm，则质心系角动量定理可以用以下数学表达式表示：dL_cm/dt = 0其中，dL_cm表示角动量的变化率，dt表示时间的微小变化量。
质心系角动量定理可以通过质心系动量矩阵的变化和角动量的定义来进行推导。
在质心系中，系统的总动量等于零，即：dP_cm/dt = 0其中，dP_cm表示动量的变化率。
由牛顿第二定律可知，总外力矩等于总动量的变化率，即：M*dV_cm/dt = dP_cm/dt其中，M表示系统的总质量，dV_cm表示质心速度的变化率。
又根据角动量的定义可以得到：L_cm = r_cm x P_cm其中，r_cm表示质心相对于某一点的位置矢量，P_cm表示质心的动量。
对上式求时间的导数，可得：dL_cm/dt = d(r_cm x P_cm)/dt根据向量的微分运算性质和叉乘的定义，可得：dL_cm/dt = (d(r_cm)/dt) x P_cm + r_cm x (dP_cm/dt)由于质心相对于某一点的位置矢量的导数为质心速度，即：d(r_cm)/dt = V_cm所以可以重新写成：dL_cm/dt = V_cm x P_cm + r_cm x (dP_cm/dt)由于质心系中系统的总动量等于零，即：dP_cm/dt = 0所以上式可以简化为：dL_cm/dt = V_cm x P_cm由于质心速度V_cm与质心的动量P_cm垂直，所以：V_cm x P_cm = 0于是可以得到：dL_cm/dt = 0这就是质心系角动量定理的数学表达式。
Ch03-III 7,9 质心运动定理_ 碰撞_ 角动量
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 R 2
R x2c 6
P6/50
3.9.2 质心运动定理 质心的位矢 质心的速度 质心的加速度 质心的动量
质点动力学
1 rC mi ri m i d r vC C dt dv C aC dt p mv C （质心的动量等于质点系的总动量）
yC
由质心的位置坐标式，有 而 则
ydl m
y R sin
yC
dl Rd 2 2 R 2 R π m
P17/50
π
0
Rsin Rd m
质点动力学
§3.7 对心碰撞
主要内容：
1. 完全弹性碰撞 2. 完全非弹性碰撞 3. 非完全弹性碰撞
P18/50
C
m2 mi
z
x
p m1v1 m2v 2 mnv n dr1 dr2 drn m1 m2 mn dt dt dt d (m1r1 m2 r2 mn rn ) dt
质点系的动量
质点系的总质量
m m1 m2 mn
1 rC r dm m
z
y
r
O
( x,y,z ) dm ( xC ,yC ,zC )
C rC
x
1 xdm m 1 yC ydm m 1 zC zdm m xC
P4/50
例：求半径为a的均质半圆球的质心
质点动力学
解： 如图，以球心o为原点建立坐标系.将半球体划分为若干半径 为r厚为dz的薄圆平板状体积元dV
解： 解法一（质心法） 把绳子看作一质点系。设地板对上段绳 子的作用力为F，对整根绳子应用质心 运动定理，则有
碰撞力矩质点的角动量定理
速率v0 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆
至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出子弹的速
率 v0 ，并说明在此过程中机械能损失。
解：从子弹以初速击中沙箱到获
得共同速度可看作在平衡位置完
成的完全非弹性碰撞。水平方向
受外力为0，由动量守恒有 v0
mv0 (m M)v
h M m
5
子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱、
tj
其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。
解：已知
r
a
costi
b
sin
tj
v
dr
dt
a
sin
ti
b
costj
L r mv
mab cos2 tk mab sin 2 tk
mabk
19
二、角动量定理
Z
r mv 1）角动量定理的微分形式
碰撞,力矩,质点的角动量定理, 相对运动，力学相对性原理,经 典时空观
2011-3-9
五、碰撞 物体在短时间内发生相互作用的过程。
碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量(总角动量)守恒。
弹性碰撞：E=0
碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。
非弹性碰撞： E<0
碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。
对多个质分别受外力 F1 F2 F2 外力矩 M1 M 2
内力 F12 F21
内力矩 M10 M 20 对质点（2）：
M2
M 20
dL2 dt
质心系角动量定理
M L ' rc P rc P F0
M L ' rc F
ri Fi L ' rc Fi
i
i
ri '
(ri rc ) Fi L '
i
Mc L'
质心系角动量定理
例 光滑平面上，质量均为 M 的两小球 由一长为 l 的轻杆相连. 另一个质量 为 m 的小球与某一 M 发生完全非弹 性碰撞, 如图所示. 所有小球的大小 可以忽略. 试问: 1) 若以碰撞点为原点，质心坐标? 质心运动速度? 2) 碰撞后系统转动的角速度 .
质心系角动量定理*
z'
L ri pi
z
i
r'i mi
rc o'
y'
ri ri ' rc
x'
ri
y
o 惯性系
x
pi mii mi (i 'c )
L mi (ri ' rc ) (i 'c )
i
ri ' pi ' miri 'c
0
i
i
rc pi ' mirc c
i
i
L L ' rc P
Ml 2M
m
2
x 碰撞前角动量 0
碰撞后 设角速度
质心系角动量 M (l lc )2 (m M )lc2
质心角动量
m0 yc
碰撞前后角动量守恒 m 0 sin
mM l
编者 安宇
y3
1
x
2
y 3 解： 1) 质心坐标
1
2
x
xc
mx1
M 0 Ml 2M m
动量、质心、角动量
dvc dp M Mac dt dt
内力不能改变系统的质心位置
例、质量为M，长为L的船静止于湖面上, 另一质量为m的人
自船尾走到船头. 求船对岸移动的距离.
解1：用动量守恒定律求解
取M、m为系统。水平方向系统 动量守恒。 设人走动过程中的任意时刻，M、 m对地的速度分别为V 和 v 取水平向右为正，由动量守恒有
为
2
+θ ）=RFTcosθ。
mg ，则M1=mgR。 cos
M2=R×mg
重力对圆心O的力矩为
其方向与图中v的方向相同，
其大小 M2=Rmgsin
2 对O点的合力矩为 M0= M1+ M2=0
根据质点角动量定义，质点 m对圆心O的角动量为
=mgR。
L0=R×mv
其方向竖直向上，大小为L0=Rmvsin （2）张力对悬挂点A的力矩为 M3=r×FT=0
M dt
质点的角动量定理： 对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量. 角动量与动量是两个不同的物理量，
L r p r mv
角动量方向为角速度的方向，动量的方向为速度的方向
例2 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开 始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面 上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不 计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
2、质心运动定理
mi ri rc M
dri mi drc dt mi vi vc dt M M 即： Mvc mi vi 右边是质点系的总动量 p ，所以有 p M v c
大学物理(3.5.2)--碰撞碰撞定律质心运动定律
第五讲 碰撞 碰撞定律 质心运动定律
※ 碰撞
质点、质点系或刚体之间，通过极短时间的相互作 用而使运动状态发生显著变化的过程。
※ 碰撞过程的特点
(1) 作用时间极短
(2) 作用力变化极快
(3) 作用力峰值极大 (4) 过程中物体会产生形 变
(5) 。
可
认
为
仅 e
有
内v2 v10
力 v的1 v20
作(分用离，速故度系) (接近速度)
统 遵e守称动恢量复守系恒数定 （取决于材料性 质）
律
2/16
※ 碰撞的分类
(1) 弹性碰撞 ( 完全弹性碰撞 ) 当 e ＝v21时v1 v10 v20
， 此时说明碰撞后形变能完全恢复，没有机械能的损失 ( 碰撞前后机械能守恒 ) 。
i 1 N
mi
i 1
M
i 1
rm11,,rm2 ,2,,, rmi,i,,,mrnn
z
rmi irCr1
m2 m1
O
y
x
10/16
(2) 质心位置：rC miri / M i
xC mi xi / M yC mi yi / M
两边平方
速后(两度mv是球 互速vm2度相v1 v垂v112m直,vv22的2)v1。 v2
v
v22
v1
v2
(1)
由 机 械 能 守 恒 （ 势 能 无 变 化 ）( 12
mv 2
1 2
mv12
1 2
mv22 )
比较v1以 v上2
(1)(2) 两式
(5) 质心的速度
谈小球与均质自由杆的碰撞中角动量守恒
2010年8月第16卷第3期安庆师范学院学报(自然科学版)J o ur nal of A nqi ng T eac her s C ol lege(N at u r al Sci ence Edi t ion)A ug．2010V o I．16N o．3谈“小球与均质自由杆的碰撞"中角动量守恒赵丽云(太原师范学院物理系，山西太原030031)擒要：对于光滑水平面上小球与均质自由杆的碰撞系统，选取碰撞时细杆的质心以及细杆和小球的质心作为两个不同的参考点，分别写出应用角动量守恒定律得到的结果，证明两个结果是等价的，因而系统对任意参考点的角动量都守恒．关键词：角动量；参考点；角动量守恒中圈分类号：0313．2文献标识码：A文章编号l1007—4260(2010)03—0110--020引言设在光滑的水平面上有一质量为优。
、长为2Z的均质自由细杆处于静止状态，一质量为仇。
的小球以速度矾与细杆垂直碰撞，碰撞点到细杆质心C。
的距离为z，如图1所示。
碰撞后小球的速度为“，细杆质1心c。
的速度为玩，，细杆转动的角速度为∞，细杆绕质心C。
的转动惯量为I。
=告优。
产。
以水平面(地球)‘o为参考系(惯性系)，以细杆和小球组成的系统为研究对象，因为系统对水平面上任意一点O的力矩的矢量和为零，所以系统对0点的角动量守恒，对过0点的与水平面垂直的z轴的角动量也守恒，如何正确表达系统对z轴的角动量是应用角动量守恒定律的关键。
1质点系对参考点的角动量表示由n个质点组成的质点系，在惯性参考系内，第i个质点的速度为'，。
，对参考点0的位矢为r i，质量为优。
，则质点系对参考点0的角动量L[1棚为L=∑r f X m i'，i(1)由定义知，质点系的角动量具有可加性。
图l 考虑质点系的质心C，其速度为PC，对参考点0的位矢为r c，第i个质点相对质心C的速度为'，7；，位矢为r，i，则有r f=，c+，，。
6质心碰撞角动量
二维平面转动—质点角动量
9.1 二维平面转动
质点的平面运动与力矩 质点的动量
P m
直线运动对原心的转动动量
质点对圆心的转动动量
p
o
两质点的相对速度与 参照系选择无关
若K’系为质心系，即有
m2v2 0 p 0 m1v1
由此可得：
m2v2 0 m1v1
m2U r m1U r v1 ; v2 m1 m2 m1 m2
U r v1 v2
质心的加速度为
ac
d v i m i mi ai d vc d t dt mi mi
Fi Fi ac M mi
Fi Mac
质心运 动定理
3.质心的计算 对于N个质点组成的质点系：
r1 , r2 ,, ri , rN xc mi xi / M yc mi yi / M 直角坐标系中 zc mi zi / M mi ri rc M
例题 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解：
dm 2 xdx
三角形质心坐标xc是
y
xc
xdm dm
a/
2
0 a/
0
2 a 2 3 2xdx
质心系动量角动量守恒例题补充
长为l的轻质细杆，两头分别固定一个质量为m的小球， 杆水平漂在静水水面上（水对杆的力只计及浮力）。 现有另一质量也为m的橡皮泥，以水平速度v0沿垂直于 杆的方向打在一个小球上，并与球粘在一起。求：碰 撞以后杆的运动规律。
解： 以杆与橡皮泥作为一个系统，碰撞过程水平动量守恒
mv0 3mVc
1 l 3
Hห้องสมุดไป่ตู้Yin
以质心参考系：
Vc =v0 / 3
即：碰后，系统质心以Vc沿橡皮泥运动方向运动。 质心位置: C
H.Yin
C 系统由于没有受到外力矩 （重力矩与浮力力矩抵消） 系统对质心角动量守恒 2 ⊗ 1 2 2 v0 碰前：橡皮泥角动量 L10 l mv0 lmv0 3 3 3 9 C 2 1 1 1 1 杆角动量 L20 l mv0 l mv0 v0 3 3 3 3 3 1 1 lmv 0 ⊗ L0 lmv0 ⊗ 9 3 碰后，系统相对于质心若有运动，只能是绕质心转动 1 1 1 2 由角动量守恒 L lmv0 l 2mv1 + l mv2 v1 l 3 3 3 3 v0 杆除随质心平动外，还将绕质心 v 2 l 2 2l 3 以的角速度顺时针转动
上海市考研力学复习资料刚体力学重要公式推导
上海市考研力学复习资料刚体力学重要公式推导在力学学科中，刚体力学是一个重要的研究领域。
刚体的概念和性质在解决实际问题时起着重要的作用。
为了帮助上海市考研学生复习刚体力学，本文将介绍一些重要的公式和其推导过程。
一、刚体的基本概念刚体是一种理想化的物体，具有以下性质：形状不受外力影响、各点间距离不变和各点之间没有相对运动。
刚体可以看作是一个质量分布连续的有限物体。
二、重要公式推导1. 质心坐标公式刚体的质心是刚体质量分布的重心，可以用质心坐标来描述。
假设刚体由n个质点组成，质点i的质量为mi，位置矢量为ri。
则刚体的质心位置矢量R可以通过以下公式计算：R = (m1r1 + m2r2 + ... + mnrn) / (m1 + m2 + ... + mn)这个公式的推导可以从质心的定义开始，并利用质量的定义和质心坐标的计算。
2. 质量与惯性矩阵的关系刚体的质量可以用质量与惯性矩阵来描述。
假设刚体质量为M，惯性矩阵为I，则有以下关系：M = Tr(I)其中，Tr表示矩阵的迹运算，计算的是矩阵对角线元素的和。
这个公式的推导可以从质量的定义开始，并利用惯性矩阵与刚体质量分布的关系推导出来。
3. 质点动量和角动量公式对于刚体的一个质点，其动量可以用以下公式表示：p = mv其中，m是质点的质量，v是质点的速度。
对于刚体的一个质点，其角动量可以用以下公式表示：L = Iω其中，I是质点对于刚体轴的转动惯量，ω是质点的角速度。
这些公式的推导可以从动量和角动量的定义开始，并考虑刚体的特性和质点的运动方式。
4. 碰撞动量守恒公式对于刚体碰撞问题，动量守恒是一个重要的原理。
假设有两个刚体，其中一个以速度v1撞向另一个，撞击后两者分别以速度v2和v3继续运动。
根据动量守恒原理，可以得到以下公式：m1v1 + m2v2 = m1v3 + m2v4其中，m1和m2分别是两个刚体的质量。
这个公式的推导可以从动量守恒的原理开始，并考虑碰撞瞬间的动量变化。
力学中的质心和角动量
力学中的质心和角动量质心和角动量是力学中非常重要的两个概念，它们都可以用来描述物体的运动状态。
质心是物体的重心，也是物体在运动中的平衡点。
在牛顿力学中，我们经常使用质心来描述物体的运动。
质心的性质非常重要，因为它可以帮助我们简化运动方程和计算物体的运动。
质心的位置可以通过物体的几何形状或密度分布来计算。
对于一个点质量的物体，它的质心就是它的重心。
对于一个扁平的物体，它的质心通常位于它的中心。
对于一个三维物体，我们需要计算它在三个方向上的质心坐标。
在物体的运动中，质心的位置是不变的。
这意味着即使物体经历了旋转或者加速度的变化，它的质心位置依然保持不变。
因此，我们可以将物体的运动分解为质心的平动运动和质心周围的旋转运动。
角动量是另一个非常重要的物理量，它描述了物体的旋转运动。
在物理学中，角动量通常用符号L来表示，其大小和方向与物体的运动状态有关。
如果物体的形状和密度分布不均匀，我们需要使用积分来计算角动量。
对于一个离散点质量的物体，其角动量可以表示为：L=∑(mi ri × vi)其中mi表示物体的质量，ri表示物体相对于一个选定的坐标轴的位置矢量，vi表示物体的速度。
对于一个连续分布的物体，我们需要使用体积元素来计算它的总角动量。
L=∫(r × v)dV可以看出，角动量与物体的质量、自转速率和轴位置之间有着密切的关系。
在物理学中，角动量的守恒是一种非常重要的现象，因为它可以帮助我们推导出物体的自转速率和轴位置。
在实际应用中，质心和角动量的概念经常被用来解决物体的运动问题。
例如，在机械工程中，我们需要计算飞行器和机器人的质心位置和力矩分配来保证它们的稳定性和控制性能。
在材料科学中，质心和角动量可以帮助我们研究固体材料的弹性、塑性和磁性特性。
总之，质心和角动量是物理学中非常重要的概念，它们可以简化物体的运动方程和解决实际问题。
了解它们的基本原理和性质可以帮助我们更好地理解物体的运动和控制。
碰撞+角动量+质心共28页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
碰撞+角动量+质心
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
碰撞+角动量+质心共28页
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
碰撞+角动量1
MV = m v1 x cosθ + v1 y sin θ = m sin θ u1 cos θ + v1 y u r 由于 V = V x$ i + Vy $ j = −V cos θ$ i − V sin θ $ j
r 当 τ = 0 时，质点角动量守恒，一般有两种情况： r r F = 0 (1) 时， τ = 0 ，质点作匀速直线运动，质点对任
一参考点的角动量不变。 (2)
r F 的力线始终通过参考点 — 称为有心力，其相
对参考点力矩为零，角动量守恒。
r 此外，若 τ ≠ 0 ，但在某一个方向分量为零，则角
碰撞
【解析】
π (2) v1与水平方向的夹角为 α = − (θ + θ ') = 49.9o 2 2 2 v1 sinα ∴ h' = = 0.32 m 2g 以碰撞 点 为 坐标 原点 ， 水平向 右为 x轴正 方 向 ， 竖直向上
为y轴正方向，设小球落到水平面上需要的时间为 t
1 − H = v1 sinα t − gt 2 2 v1 sinα 2 gH t= 1 + 1 + g v12 sin2 α = 0.773 s
碰撞
【解析】
e− m sin 2θ V= 1+ M 2 1+ m sin 2 θ M m sin 2 θ M 2 gh = 1.08 m/s
2 2 ∴ v1 = v1 + v x 1 y = 3.31 m/s
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p
i
i
恒矢量
F2
v1
m1
下面以正碰为例讨论碰撞的基本问题 ：
v10
m1
m2
v20 F1
v2
m2
m1 m 2
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3
物理学
2-4 碰撞 1. 完全弹性碰撞 （动量和动能均守恒）
此类情况碰撞中两个物体间相互作用的内力 只是弹性力. m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
物理学
2-6 质心 质心运动定律 二、质心运动定律 根据质心的位矢，可得质心的运动速度为
drC 1 n dri 1 n vC mi m i vi dt m i 1 dt m i 1
由上式可得
mvC mi vi P Pi
i 1
n
n
i 1
表明质点系的总动量等于系统总质量与其 质心运动速度的乘积.
v A0 v A vB
vB v A e v A0
① h1
A B
②
又因为
由式①和②，得 (1 e )v A0 2v A ③
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物理学
2-4 碰撞
球 A 的运动过程中，机械能守恒，即
v A0 2 gh1 ，v A 2 gh
代入式③，解得
h1
1 2 h h1 (1 e ) 4
物理学
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All rivers run into sea. 海纳百川。 All roads lead to Rome. 条条大路通罗马。 All work and no play makes Jack a dull boy. 只会用功不玩耍，聪明孩子也变傻。
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1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 2 2 2 2
( m1 m2 )v10 2m2v20 v1 m1 m2 ( m2 m1 )v20 2m1v10 v2 m1 m2
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①
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4
物理学
2-4 碰撞
若
碰前 v10
o
r
d
F
讨论 力矩也是相对确定的参考点而言的
作用在质点系上所有外力对参考点的合力矩为
各力对该参考点力矩的矢量和，即
M M1 + M 2 + + M n = (ri Fi )
i 1 n
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 三、角动量定理及角动量守恒定律 dL 由力矩的讨论 r F dt 即
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 若质点或质点系所受合外力矩为零，则
L 恒矢量
当质点或质点系所受外力对某参考点O 的合外 力矩为零时，质点或质点系对该参考点的角动量为 一恒矢量. 这就是角动量守恒定律. 讨论 守恒条件是合外力矩为零； 内力矩不改变系统的角动量；
i 1 i 1 n n
n dri dPi dPi dL d n (ri Pi ) = (ri Pi ) ri ) dt dt i 1 dt i 1 dt dt
dPi ri ri (Fi + f i ) dti
n dL n (ri Fi ) + (ri f i ) dt i 1 i 1
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物理学
2-4 碰撞
3. 非弹性碰撞 （动量守恒，动能不守恒）
介于弹性与非弹性之间，碰撞后两个物体动能 有所损失， 分离速度 v2 v1 碰撞定律 e
v10 v20
接近速度 e1 1>e>0
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完全弹性碰撞：
e — 恢复系数
完全非弹性碰撞： e 0
A B
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9
物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
一、质点的角动量 设质量为m 的质点，位于直角坐标系中的A点， 并具有速度v，则质点m 对O点的角动量定义为
L r p r mv
角动量大小：L
z
r
x
o
rp sin
A m
v
y
角动量方向：遵守右螺旋法则 角动量单位: kg· m2 · s- 1
将上式两边对时间求导 m dvC maC dP
dt dt
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物理学
2-6 质心 质心运动定律
dPi Fi dt maC i =1
n
上式表明，质点系所受到的合外力等于质点系 的总质量与质心加速度的乘积，这一结论称为质心 n 运动定律.
F
i =1
i
0
aC 0
vC = 常矢量
即合外力等于零时，质点系的质心将保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变.
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物理学
2-6 质心 质心运动定律
例题2-17 在如图的水平面上有一静止的小车， 车长为L ，质量为M，车上一质量为m 的人站在车 后端 A，设人从车后端A 跑到车前端 B，求此时车 相对于地面移动的距离 (不计摩擦）. y 解: 设人车之前的坐标为 v A x10(L)、x20之后为 x1、x2 . B oy x 由题意系统质心坐标 A B xC 保持不变，即 o x1 x20 xC x2 x10 x
yC
Rd R cos
ydm
m
2 y 2 π R sin d
o
π /2入上式：yC
0
1 则球壳质心位于yC R/2 处, 其位矢为 rC R j 2
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1 Rcos sin d R 2
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在冲击等问题中，系统的角动量守恒.
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
例题2-15 如图一质量为m 的物体，绕一穿过 光滑 桌面上极小的圆孔的细绳以角速度0 旋转. 在t 0 时, 开始以固定的速度v 拉绳子, 于是物体到中心的距离 不断减小. 求物体旋转的角速度随时间的变化关系. 由题意 解： 设 t 时刻角速度为 ， 物体的角动量守恒，即
矢积 r F 定义为外力 F 对参考点 O 的力矩， 用M 表示
M r F
显然，质点角动量的改变与所受的作用力以及力 作用点的位矢都有关.
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
M
M r F 力矩大小：M rF sin Fd
力矩方向：遵守右螺旋法则 力矩单位: N· m
L Li (ri pi )
i 1 i 1 n n
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 二、力对参考点的力矩 现在我们来研究质点角动量随时间的变化率
dL d(r p) dr dp dp r p r r F dt dt dt dt dt
mL Mx20 mx1 Mx2 mM mM
①
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物理学
2-6 质心 质心运动定律
y
B
若车相对地面移动的 距离为x0 ，则有
x0
v
A
x1 x0 x2 x0 x20
将②代入①，得
o
②
y
B
x1
x
A
x20 xC x2 x10
o
x
mL Mx20 mx0 M (x0 x20 ) xC mM mM
dL M dt
在 t1～t2 内对上式积分，则力矩在时间上的累积量. 冲量矩
t2
t1
Mdt L2 L1
对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点 角动量的增量. — 质点的角动量定理
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
由于n 个质点构成的质点系的角动量为
L Li = (ri Pi )
对质量连续分布的物体，上式中求和改为积分，即 1 rC rdm m V 则相应地质心坐标为
1 1 1 xC xdm , yC ydm , zC zdm m V m V m V
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物理学
2-6 质心 质心运动定律
例题2-16 求半径为R 的匀质半球壳的质心. 解： 如图在球壳上任取细圆环，其面积为 dS 2πRsin Rd y R sin 质量为 dm dS 2πR2sin d 由对称性可知 xc = 0
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi 1 n mi ri m i 1
m2
r2
rC
r1
xC
m1
z zC
o
x
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2-6 质心 质心运动定律
在直角坐标系中，质心的坐标可表示为
1 n 1 n 1 n xC mi xi ， yC mi yi ， zC mi zi m i 1 m i 1 m i 1
L v
m
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r
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
绕参考点O 作圆周运动的质点 对圆心 O 的角动量的大小为
L
o