碰撞+角动量+质心
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yC
Rd R cos
ydm
m
2 y 2 π R sin d
o
π /2
x
2πR 2
将y Rcos ，代入上式：yC
0
1 则球壳质心位于yC R/2 处, 其位矢为 rC R j 2
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1 Rcos sin d R 2
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21
v A0 v A vB
vB v A e v A0
① h1
A B
②
又因为
由式①和②，得 (1 e )v A0 2v A ③
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物理学
2-4 碰撞
球 A 的运动过程中，机械能守恒，即
v A0 2 gh1 ，v A 2 gh
代入式③，解得
h1
1 2 h h1 (1 e ) 4
i 1 i 1 n n
n dri dPi dPi dL d n (ri Pi ) = (ri Pi ) ri ) dt dt i 1 dt i 1 dt dt
dPi ri ri (Fi + f i ) dti
n dL n (ri Fi ) + (ri f i ) dt i 1 i 1
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16
物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 若质点或质点系所受合外力矩为零，则
L 恒矢量
当质点或质点系所受外力对某参考点O 的合外 力矩为零时，质点或质点系对该参考点的角动量为 一恒矢量. 这就是角动量守恒定律. 讨论 守恒条件是合外力矩为零； 内力矩不改变系统的角动量；
2-4 碰撞 2. 完全非弹性碰撞（动量守恒，动能不守恒）
碰撞后两个物体以相同的速度运动，即 v1 v2 ， 此时动能损失最大. m1v10 m2v20 由①式可得 v m1 m2 利用上式，算出完全非弹性碰撞中动能的损失，为
1 1 1 2 2 E ( m1v10 m2v20 ) ( m1 m2 )v 2 2 2 2 m1m2 (v10 v20 )2 2( m1 m2 )
物理学
欢迎大家来到大学物理课堂
REVIEW：
All rivers run into sea. 海纳百川。 All roads lead to Rome. 条条大路通罗马。 All work and no play makes Jack a dull boy. 只会用功不玩耍，聪明孩子也变傻。
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物理学
2-4 碰撞
3. 非弹性碰撞 （动量守恒，动能不守恒）
介于弹性与非弹性之间，碰撞后两个物体动能 有所损失， 分离速度 v2 v1 碰撞定律 e
v10 v20
接近速度 e1 1>e>0
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完全弹性碰撞：
e — 恢复系数
完全非弹性碰撞： e 0
mL Mx20 mx1 Mx2 mM mM
①
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24
物理学
2-6 质心 质心运动定律
y
B
若车相对地面移动的 距离为x0 ，则有
x0
v
A
x1 x0 x2 x0 x20
将②代入①，得
o
②
y
B
x1
x
A
x20 xC x2 x10
o
x
mL Mx20 mx0 M (x0 x20 ) xC mM mM
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 2 2 2 2
( m1 m2 )v10 2m2v20 v1 m1 m2 ( m2 m1 )v20 2m1v10 v2 m1 m2
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①
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4
物理学
2-4 碰撞
若
碰前 v10
dL M dt
在 t1～t2 内对上式积分，则力矩在时间上的累积量. 冲量矩
t2
t1
Mdt L2 L1
对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点 角动量的增量. — 质点的角动量定理
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
由于n 个质点构成的质点系的角动量为
L Li = (ri Pi )
m1
m2
v20
碰后 v1
m1
v2
m2
（1）当 m1 m2 ，则v1 v20 ， v2 v10
（2）当 m2 >> m1 ，且v20 0， 则v1 v10，v20 0
（3）当 m2<< m1，且v20 0，则v1 v10，v2 2v10
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5
物理学
即合外力等于零时，质点系的质心将保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变.
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物理学
2-6 质心 质心运动定律
例题2-17 在如图的水平面上有一静止的小车， 车长为L ，质量为M，车上一质量为m 的人站在车 后端 A，设人从车后端A 跑到车前端 B，求此时车 相对于地面移动的距离 (不计摩擦）. y 解: 设人车之前的坐标为 v A x10(L)、x20之后为 x1、x2 . B oy x 由题意系统质心坐标 A B xC 保持不变，即 o x1 x20 xC x2 x10 x
o
r
d
F
讨论 力矩也是相对确定的参考点而言的
作用在质点系上所有外力对参考点的合力矩为
各力对该参考点力矩的矢量和，即
M M1 + M 2 + + M n = (ri Fi )
i 1 n
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13
物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 三、角动量定理及角动量守恒定律 dL 由力矩的讨论 r F dt 即
A B
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9
物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
一、质点的角动量 设质量为m 的质点，位于直角坐标系中的A点， 并具有速度v，则质点m 对O点的角动量定义为
L r p r mv
角动量大小：L
z
r
x
o
rp sin
A m
v
y
角动量方向：遵守右螺旋法则 角动量单位: kg· m2 · s- 1
在冲击等问题中，系统的角动量守恒.
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17
物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
例题2-15 如图一质量为m 的物体，绕一穿过 光滑 桌面上极小的圆孔的细绳以角速度0 旋转. 在t 0 时, 开始以固定的速度v 拉绳子, 于是物体到中心的距离 不断减小. 求物体旋转的角速度随时间的变化关系. 由题意 解： 设 t 时刻角速度为 ， 物体的角动量守恒，即
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi 1 n mi ri m i 1
m2
r2
rC
r1
xC
m1
z zC
o
x
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19
物理学
2-6 质心 质心运动定律
在直角坐标系中，质心的坐标可表示为
1 n 1 n 1 n xC mi xi ， yC mi yi ， zC mi zi m i 1 m i 1 m i 1
非弹性碰撞：
物理学
2-4 碰撞 例题2-14 如图所示，两球有相同的质量和半径， 悬挂于同一高度，静止时两球恰能接触且悬线平行. 已知两球碰撞的恢复系数为e，若球A自高度h1释放， 求该球碰撞后能达到的高度h. 解: 两球正碰时，系统动量守恒， 有 m Av A 0 m B v B 0 m Av A m B v B 即
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1
物理学
欢迎大家来到大学物理课堂
REVIEW： 第六次课 2.4 碰撞
2.5 质点的角动量及角动量守恒定律
2.6 质心 质心运动定理
重点：弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特征及其规律。
质心的概念及其有关计算，质心运动定理。
难点：质心运动定理的应用。
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物理学
2-4 碰撞
碰撞：两个或几个物体在相遇中，在极为短 暂的相互作用中，物体的运动状态发生急剧变化 的过程. 一般情况碰撞中相互作用的内力远大于外力， 所以系统动量视为守恒
将上式两边对时间求导 m dvC maC dP
dt dt
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22
物理学
2-6 质心 质心运动定律
dPi Fi dt maC i =1
n
上式表明，质点系所受到的合外力等于质点系 的总质量与质心加速度的乘积，这一结论称为质心 n 运动定律.
F
i =1
i
0
aC 0
vC = 常矢量
物理学
2-6 质心 质心运动定律 二、质心运动定律 根据质心的位矢，可得质心的运动速度为
drC 1 n dri 1 n vC mi m i vi dt m i 1 dt m i 1
由上式可得
mvC mi vi P Pi
i 1
n
n
iBaidu Nhomakorabea1
表明质点系的总动量等于系统总质量与其 质心运动速度的乘积.
即 mL (m M )x0
m x0 L mM
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25
物理学
总结：
p
i
i
恒矢量
L r p r mv
冲量矩
M r F
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi 1 n mi ri m i 1
合外力矩的矢量和 ---
M
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 则
dL M dt
上式表明，质点系所受的合外力对某一参考点 的力矩，等于质点系对同一参考点的角动量随时 间的变化率. 同理，可得
质点系的 冲量矩
t2
t1
Mdt L2 L1
即对同一参考点O，质点系所受的冲量矩等于 质点系角动量的增量 — 质点系的角动量定理.
L Li (ri pi )
i 1 i 1 n n
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11
物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 二、力对参考点的力矩 现在我们来研究质点角动量随时间的变化率
dL d(r p) dr dp dp r p r r F dt dt dt dt dt
o r
m
m r020 m r 2
t 时刻转动半径 r = r0 vt ，所以 r0 2 r0 2 ( ) 0 ( ) 0 r r0 vt
v
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18
物理学
2-6 质心 质心运动定律
一、质心 质心是质点系的质量分布中心， 其运动规律反映出系统整体的运动 趋势. 设系统由 ml、m2、…、mn 组成，各质点的位矢分别为rl、 r2、…、rn ，则该系统 质心的 y mi 位置矢量 rC 定义为 ri C yC
t2
t1
Mdt L2 L1
dPi Fi dt maC i =1
n
作业：1、书面：质点动力学2：11、刚体的转动：2 2、复习第一章，预习：章节3.1、3.2
L v
m
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r
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
绕参考点O 作圆周运动的质点 对圆心 O 的角动量的大小为
L
o
v
r
L m v r m r 2
讨论
方向如图
L 与所取的惯性系、参考点O 的位置有关； 作直线运动的质点对空间某定点有确定的 L； n个质点组成的系统对O 点的总角动量为；
p
i
i
恒矢量
F2
v1
m1
下面以正碰为例讨论碰撞的基本问题 ：
v10
m1
m2
v20 F1
v2
m2
m1 m 2
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3
物理学
2-4 碰撞 1. 完全弹性碰撞 （动量和动能均守恒）
此类情况碰撞中两个物体间相互作用的内力 只是弹性力. m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
矢积 r F 定义为外力 F 对参考点 O 的力矩， 用M 表示
M r F
显然，质点角动量的改变与所受的作用力以及力 作用点的位矢都有关.
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12
物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
M
M r F 力矩大小：M rF sin Fd
力矩方向：遵守右螺旋法则 力矩单位: N· m
对质量连续分布的物体，上式中求和改为积分，即 1 rC rdm m V 则相应地质心坐标为
1 1 1 xC xdm , yC ydm , zC zdm m V m V m V
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20
物理学
2-6 质心 质心运动定律
例题2-16 求半径为R 的匀质半球壳的质心. 解： 如图在球壳上任取细圆环，其面积为 dS 2πRsin Rd y R sin 质量为 dm dS 2πR2sin d 由对称性可知 xc = 0
Rd R cos
ydm
m
2 y 2 π R sin d
o
π /2
x
2πR 2
将y Rcos ，代入上式：yC
0
1 则球壳质心位于yC R/2 处, 其位矢为 rC R j 2
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1 Rcos sin d R 2
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v A0 v A vB
vB v A e v A0
① h1
A B
②
又因为
由式①和②，得 (1 e )v A0 2v A ③
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物理学
2-4 碰撞
球 A 的运动过程中，机械能守恒，即
v A0 2 gh1 ，v A 2 gh
代入式③，解得
h1
1 2 h h1 (1 e ) 4
i 1 i 1 n n
n dri dPi dPi dL d n (ri Pi ) = (ri Pi ) ri ) dt dt i 1 dt i 1 dt dt
dPi ri ri (Fi + f i ) dti
n dL n (ri Fi ) + (ri f i ) dt i 1 i 1
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 若质点或质点系所受合外力矩为零，则
L 恒矢量
当质点或质点系所受外力对某参考点O 的合外 力矩为零时，质点或质点系对该参考点的角动量为 一恒矢量. 这就是角动量守恒定律. 讨论 守恒条件是合外力矩为零； 内力矩不改变系统的角动量；
2-4 碰撞 2. 完全非弹性碰撞（动量守恒，动能不守恒）
碰撞后两个物体以相同的速度运动，即 v1 v2 ， 此时动能损失最大. m1v10 m2v20 由①式可得 v m1 m2 利用上式，算出完全非弹性碰撞中动能的损失，为
1 1 1 2 2 E ( m1v10 m2v20 ) ( m1 m2 )v 2 2 2 2 m1m2 (v10 v20 )2 2( m1 m2 )
物理学
欢迎大家来到大学物理课堂
REVIEW：
All rivers run into sea. 海纳百川。 All roads lead to Rome. 条条大路通罗马。 All work and no play makes Jack a dull boy. 只会用功不玩耍，聪明孩子也变傻。
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物理学
2-4 碰撞
3. 非弹性碰撞 （动量守恒，动能不守恒）
介于弹性与非弹性之间，碰撞后两个物体动能 有所损失， 分离速度 v2 v1 碰撞定律 e
v10 v20
接近速度 e1 1>e>0
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完全弹性碰撞：
e — 恢复系数
完全非弹性碰撞： e 0
mL Mx20 mx1 Mx2 mM mM
①
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2-6 质心 质心运动定律
y
B
若车相对地面移动的 距离为x0 ，则有
x0
v
A
x1 x0 x2 x0 x20
将②代入①，得
o
②
y
B
x1
x
A
x20 xC x2 x10
o
x
mL Mx20 mx0 M (x0 x20 ) xC mM mM
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 2 2 2 2
( m1 m2 )v10 2m2v20 v1 m1 m2 ( m2 m1 )v20 2m1v10 v2 m1 m2
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①
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2-4 碰撞
若
碰前 v10
dL M dt
在 t1～t2 内对上式积分，则力矩在时间上的累积量. 冲量矩
t2
t1
Mdt L2 L1
对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点 角动量的增量. — 质点的角动量定理
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物理学
2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
由于n 个质点构成的质点系的角动量为
L Li = (ri Pi )
m1
m2
v20
碰后 v1
m1
v2
m2
（1）当 m1 m2 ，则v1 v20 ， v2 v10
（2）当 m2 >> m1 ，且v20 0， 则v1 v10，v20 0
（3）当 m2<< m1，且v20 0，则v1 v10，v2 2v10
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物理学
即合外力等于零时，质点系的质心将保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变.
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2-6 质心 质心运动定律
例题2-17 在如图的水平面上有一静止的小车， 车长为L ，质量为M，车上一质量为m 的人站在车 后端 A，设人从车后端A 跑到车前端 B，求此时车 相对于地面移动的距离 (不计摩擦）. y 解: 设人车之前的坐标为 v A x10(L)、x20之后为 x1、x2 . B oy x 由题意系统质心坐标 A B xC 保持不变，即 o x1 x20 xC x2 x10 x
o
r
d
F
讨论 力矩也是相对确定的参考点而言的
作用在质点系上所有外力对参考点的合力矩为
各力对该参考点力矩的矢量和，即
M M1 + M 2 + + M n = (ri Fi )
i 1 n
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 三、角动量定理及角动量守恒定律 dL 由力矩的讨论 r F dt 即
A B
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
一、质点的角动量 设质量为m 的质点，位于直角坐标系中的A点， 并具有速度v，则质点m 对O点的角动量定义为
L r p r mv
角动量大小：L
z
r
x
o
rp sin
A m
v
y
角动量方向：遵守右螺旋法则 角动量单位: kg· m2 · s- 1
在冲击等问题中，系统的角动量守恒.
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
例题2-15 如图一质量为m 的物体，绕一穿过 光滑 桌面上极小的圆孔的细绳以角速度0 旋转. 在t 0 时, 开始以固定的速度v 拉绳子, 于是物体到中心的距离 不断减小. 求物体旋转的角速度随时间的变化关系. 由题意 解： 设 t 时刻角速度为 ， 物体的角动量守恒，即
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi 1 n mi ri m i 1
m2
r2
rC
r1
xC
m1
z zC
o
x
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2-6 质心 质心运动定律
在直角坐标系中，质心的坐标可表示为
1 n 1 n 1 n xC mi xi ， yC mi yi ， zC mi zi m i 1 m i 1 m i 1
非弹性碰撞：
物理学
2-4 碰撞 例题2-14 如图所示，两球有相同的质量和半径， 悬挂于同一高度，静止时两球恰能接触且悬线平行. 已知两球碰撞的恢复系数为e，若球A自高度h1释放， 求该球碰撞后能达到的高度h. 解: 两球正碰时，系统动量守恒， 有 m Av A 0 m B v B 0 m Av A m B v B 即
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REVIEW： 第六次课 2.4 碰撞
2.5 质点的角动量及角动量守恒定律
2.6 质心 质心运动定理
重点：弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特征及其规律。
质心的概念及其有关计算，质心运动定理。
难点：质心运动定理的应用。
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2-4 碰撞
碰撞：两个或几个物体在相遇中，在极为短 暂的相互作用中，物体的运动状态发生急剧变化 的过程. 一般情况碰撞中相互作用的内力远大于外力， 所以系统动量视为守恒
将上式两边对时间求导 m dvC maC dP
dt dt
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2-6 质心 质心运动定律
dPi Fi dt maC i =1
n
上式表明，质点系所受到的合外力等于质点系 的总质量与质心加速度的乘积，这一结论称为质心 n 运动定律.
F
i =1
i
0
aC 0
vC = 常矢量
物理学
2-6 质心 质心运动定律 二、质心运动定律 根据质心的位矢，可得质心的运动速度为
drC 1 n dri 1 n vC mi m i vi dt m i 1 dt m i 1
由上式可得
mvC mi vi P Pi
i 1
n
n
iBaidu Nhomakorabea1
表明质点系的总动量等于系统总质量与其 质心运动速度的乘积.
即 mL (m M )x0
m x0 L mM
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总结：
p
i
i
恒矢量
L r p r mv
冲量矩
M r F
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi 1 n mi ri m i 1
合外力矩的矢量和 ---
M
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 则
dL M dt
上式表明，质点系所受的合外力对某一参考点 的力矩，等于质点系对同一参考点的角动量随时 间的变化率. 同理，可得
质点系的 冲量矩
t2
t1
Mdt L2 L1
即对同一参考点O，质点系所受的冲量矩等于 质点系角动量的增量 — 质点系的角动量定理.
L Li (ri pi )
i 1 i 1 n n
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律 二、力对参考点的力矩 现在我们来研究质点角动量随时间的变化率
dL d(r p) dr dp dp r p r r F dt dt dt dt dt
o r
m
m r020 m r 2
t 时刻转动半径 r = r0 vt ，所以 r0 2 r0 2 ( ) 0 ( ) 0 r r0 vt
v
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2-6 质心 质心运动定律
一、质心 质心是质点系的质量分布中心， 其运动规律反映出系统整体的运动 趋势. 设系统由 ml、m2、…、mn 组成，各质点的位矢分别为rl、 r2、…、rn ，则该系统 质心的 y mi 位置矢量 rC 定义为 ri C yC
t2
t1
Mdt L2 L1
dPi Fi dt maC i =1
n
作业：1、书面：质点动力学2：11、刚体的转动：2 2、复习第一章，预习：章节3.1、3.2
L v
m
上页
r
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
绕参考点O 作圆周运动的质点 对圆心 O 的角动量的大小为
L
o
v
r
L m v r m r 2
讨论
方向如图
L 与所取的惯性系、参考点O 的位置有关； 作直线运动的质点对空间某定点有确定的 L； n个质点组成的系统对O 点的总角动量为；
p
i
i
恒矢量
F2
v1
m1
下面以正碰为例讨论碰撞的基本问题 ：
v10
m1
m2
v20 F1
v2
m2
m1 m 2
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2-4 碰撞 1. 完全弹性碰撞 （动量和动能均守恒）
此类情况碰撞中两个物体间相互作用的内力 只是弹性力. m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
矢积 r F 定义为外力 F 对参考点 O 的力矩， 用M 表示
M r F
显然，质点角动量的改变与所受的作用力以及力 作用点的位矢都有关.
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2-5 质点的角动量及角动量守恒定律
M
M r F 力矩大小：M rF sin Fd
力矩方向：遵守右螺旋法则 力矩单位: N· m
对质量连续分布的物体，上式中求和改为积分，即 1 rC rdm m V 则相应地质心坐标为
1 1 1 xC xdm , yC ydm , zC zdm m V m V m V
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物理学
2-6 质心 质心运动定律
例题2-16 求半径为R 的匀质半球壳的质心. 解： 如图在球壳上任取细圆环，其面积为 dS 2πRsin Rd y R sin 质量为 dm dS 2πR2sin d 由对称性可知 xc = 0