全等三角形几何证明-常用辅助线

几何证明-常用辅助线

(一)中线倍长法:

例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半

1

已知：如图，△ ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD < - (AB+AC)

2

1

分析：要证明AD < - (AB+AC),就是证明AB+AO2AD 也就是证明两条线段之和大于第三

2

条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构 成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2A 中, 出现了 2AD 即中线AD 应该加倍。

证明：延长 AD 至E,使DE=AD 连CE 则AE=2AD 在厶 ADBm EDC 中,

AD= DE ZADB= ZEDC BD= DC

•••△ ADB^A EDC(SAS) ••• AB=CE 又在厶ACE 中, AC+C 呂 AE

1

••• AC+AB>2AD 即 AD < - (AB+AC)

2

小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法。它可以 将分居中线两旁的两条边 AB AC 和两个角/ BAD 和/CAD 集中于同一个三角形中，以利于 问题的获解。

课题练习：ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，且BD=CD 求证AB=AC

N,

作BE! AD 的延长线于E 连接BE

E

例3：A ABC 中, AB=5 AC=3求中线AD 的取值范围 例4:已知在△ ABC 中, AB=AC D 在AB 上, E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于 F , 且 DF=EF 求证：BD=CE

课堂练习：已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线， AC 于 F ,求证：AF=EF

例5:已知：如图，在 ABC 中，AB AC , D E 上,且 DE=EC 过 D 作 DF //BA 交 AE 于点 F , DF=AC.

例2:中线一倍辅助线作法

作 CF 丄 AD 于 F ，

A ^式 1：延长 AD 到 E ， / 使 DE=AD

B ————(连接BE

方式2:间接倍长

延长MD 到

使 DN=M P 连接CD

A

C

△ ABC 中

AD 是BC 边中线

D

求证：AE 平分 BAC

课堂练习：已知 CD=AB / BDA H BAD 人丘是厶ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 作业：

1 在四边形 ABCD 中, AB// DC E 为BC 边的中点，/ BAE W EAF AF 与DC 的延长线相交 于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

2、已知：如图， ABC 中, C=90 , CMAB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D,交 BC 于 T ,过 D

作 DE//AB 交 BC 于 E ,求证：CT=BE.

3:已知在△ ABC 中, AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC 延长BE 交AC 于 F , 求

证：AF=EF A

4:已知CD=AB / BDA 2 BAD 人丘是厶ABD 的中线，求证：/ C=Z.BAE 5、在四边形 ABCD 中, AB// DC , E 为BC 边的中点，/ BAE W E ° 于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结

论

（二）截长补短法

B

例1.

已知，如图1-1，在四边形 ABC ［中, BC>AB AD =DC BD 平分/ ABC

求证：/ BAB / BCD 180° .

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长补短法”来实现 .

证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点 E ,作DF 丄BC 于点F ,如图 1-2

•/ BD 平分/ ABC ••• DE=DF 在 Rt △ ADE 与 Rt △ CDF 中,

• Rt △ AD 昌 Rt △ CDFHD ，•/ DAE /DCF 又/ BAD ■/ DAE 180°，•/ BAD / DCF 180°, 即/ BAD ■/ BCD 180 ° 例2.

如图 2-1 , AD// BC 点 E 在线段 AB 上,/ ADE / CDE / DCE / ECB

AF 与 DC 的延长线相交 E

求证：CD=ADBC

例3. 已知，如图3-1 , /仁/ 2, P为BN上一点，且PDLBC于点D, AB^BC=2BD

求证：/ BAP■/BCf=180° .

例4. 已知：如图 4-1，在△ ABC中,/ C= 2/ B,/ 1 = / 2.

D A

A

B图

图3-

D C

求证：AB=AQCD

作业：

1、已知：如图，ABCD是正方形，/ FA[=Z FAE求证：BE F DF=AE

2、五边形ABCDE 中，AB=AE , B(+DE=CD , / ABC■/ AE[=180。，

求证：AD平分/ CDE

(三)其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相

等的线段，构造全等三角形。

例：如图1:已知ABC的中线，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4, 求证：

A

BE^ CF>

EF。

2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例：：如图2：AD^^ ABC的中线，且/ 1 = / 2，/ 3=/ 4,求证：BE+ CF> EF

练习：已知△ ABC AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4,求证EF= 2AD

3、延长已知边构造三角形：

例如：如图6:已知AC= BD, AD丄AC于A , BCL BD于B, 求

证：AD= BC

4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图7：AB// CD, AD// BC 求证：AB=CD

5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

A

N

E F

2

C

D 图

1

E

例如：如图8:在Rt△ ABC中，A吐AC, / BA(= 90 / 1 = / 2, CEL BD的延长于E o 求证：BD= 2CE 6连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图9; AG BD相交于0点，且A吐DC 九、取线段中点构造全等三有形。

C

B 图7

AO BD,求证：/ A=Z Do

例如：如图10：A吐DC / A=/ D 求证：/ AB(=/ DCB