Ml11-能量法

U=
∑
ii
1 Fii∆ ii 2
注意 式中的 ∆ ii 是由所有的荷载共同
引起的。
23
11.2 卡氏第二定理
( second Castigliano theorem ) 1. 原理
线弹性结构的应变能对某一广义力的偏导数，等于与 线弹性结构的应变能对某一广义力的偏导数，等于与 这一力相应的广义位移。
4
11.1 杆件的应变能 ( strain-energy ) strain-energy
1. 外力的功
外力的元功
F F
δw = F ⋅ d∆
线弹性情况 线弹性情况
W = F ⋅ d∆
0 0
∫
θ θ
∆ ∆
1 W = F∆ 2 W = ∫ m ⋅ dθ
0 0
O F F
d∆
∆
∆
δw = m dθ
线弹性情况 线弹性情况
L L
6
2. 应变能
应变比能 uee = σ dε
0 0
∫
ε ε
σ σ
σ σ
线弹性体的应变比能 线弹性体的应变比能 单向应力状态 三向应力状态 1 uee = σε 2
O dε
ε
ε O
dε
ε
ε
1 uee = (σ xxε xx + σ yyε yy + σ zzε zz + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ zxγ zx ) xy xy yz yz zx zx 2 1 2 (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 − 2(1 +ν )(σ 11σ 22 + σ 22σ 33 + σ 33σ 11) uee = 2E
L ∆ L1 1 PPP1 P2 111 2 11 ∆L2 2
P1122L P11 ⇒ U 11 = 2 EA P2222L P22 ⇒ U 22 = 2 EA ( P11 + P22 ) 22 L P11 + P22 ⇒ U ((11++22)) = 2 EA
P1122L P2222L P11P22L + + U ((11++22)) = 2 EA 2 EA EA P22 L + P11⋅⋅∆L22 = U 11 + U 22 EA
∫
P 22L33 P 22L33 P 22L33 P 22L33 , , , EI 6 EI 3EI 2 EI
11
m d D m D
例 图示两轴的剪切弹性模量均为 G， 长度均为 L，求两者应变能之比。
T 22L m 22L U 11 = = 2GI P1 2GI P1 P1 P1 T 22L m 22L U 22 = = 2GI P2 2GI P2 P2 P2
∆
12
= ∆
21
位移互等定理 ( reciprocal-displacement theorem ) reciprocal-displacement 互等定理的适用范围：线性系统
22
5. 克拉珀龙定理 ( Claperon’s theorem ) Claperon’s
1 1 W = P11∆11 + P22 ∆ 22 + P11∆12 11 22 12 2 2
[
]
7
应变能
U = uee dV
V V
∫
用应力表示的杆件应变比能 杆件拉压的应变比能 杆件拉压的应变比能 圆轴扭转的应变比能 圆轴扭转的应变比能 梁弯曲的应变比能 梁弯曲的应变比能
σ 22 1 uee = σε = 2E 2 τ 22 1 uee = τγ = 2 2G σ 22 1 uee = σε = 2E 2
∫ ∫
L L
L
拉伸杆
U=
1 F dx 2 0 EA
2 N
F L U= 2 EA
T 2L U= 2GI P
2 N
桁架 U =
∑
i
FN2i L i 2( EA) i
扭转轴
1 T2 U= dx 2 0 GI P
∫
拉扭弯组合时的应变能 拉扭弯组合时的应变能
1 ⎛ FN2 T 2 M 2 ⎞ + + U= ⎜ ⎟ dx 2 0 ⎝ EA GI P EI ⎠
U 11 I P2 π D 44 32 1 D 44 = P2 = = = 44 4 4 4 4 4 4 U 22 I P1 π D (1 − α ) 32 1 − α D − d 44 P1
12
应变能的特点 应变能是恒正的 应变能是状态函数
结构总应变能等于各部件应变能之和 应变能关于荷载是非线性的 以杆件拉伸为例的说明 以杆件拉伸为例的说明
13
注意 由于应变能关于荷载是非线性的，因此应变能关于
荷载原则上不满足叠加原理。 只有两组荷载所引起的（广义）位移是相互独立的， 两组荷载共同作用所引起的应变能才等于两组荷载分别作 用所引起的应变能之和。
3. 应变能和外力的功
机械能守恒 在等温的缓慢加载过程中，外力对弹性体所做的功转 化为应变能，即 W = U 。
1 W = mθ 2
O
d∆
∆
∆
5
杆件中外力的功 杆件中外力的功 杆件的拉压 杆件的拉压
P ∆L
圆轴的扭转 圆轴的扭转
m
1 W = P ⋅ ∆L 2 梁的弯曲 梁的弯曲
ϕ
1 W = mϕ 2
P
m
q
Δ
θ
L
w(x) w(x)
1 W = P∆ 2
1 W = mθ 2
1 W= qw( x )dx 2 00
∫
P P
设想板的另一受力状态如图。 易得第二种状态下的横向变形为
∆b = b ⋅
Pν EA
设第一种状态下所求的轴向变形为 ∆L ，由功的Fra Baidu bibliotek等定理： ，由功的互等定理：
F ⋅ ∆b = P ⋅ ∆ L
Fbν F Pbν ∆L = ⋅ = P EA EA
21
功的互等定理 取 P11 = P22
P1 ∆ 12 = P 2 ∆ 21
14
A
a P 2P
D D Pa C P
各杆应变能 各杆应变能
B
P 22a U AD = AD 2 EA
P 22a U DC = DC 2 EA
U BC = 0 BC
0
(− 2P ) 22 ( 2a ) 2P 22a U BD = = BD EA 2 EA
例 图示桁架各杆件 的抗拉刚度均为 EA， 求结点C的竖向位移。 各杆内力
EI L/ 2
∆C C
L/ 2
m
FL22 θB = B 16 EI
B
根据功的互等定理：
F∆ C = mθ B C B
FL22 F ⋅ ∆C = m ⋅ C 16 EI
mL22 ∆C = (↓) C 16 EI
20
F b L/ 2 L/ F L/ 2 L/
例
矩形板轴向抗拉刚度为 EA ，泊
松比为 ν ，求板在图示的一对力 F 的 作用下的轴向变形。
第十一章 能量法
1
Chapter Eleven
Energy Methods
2
本章基本要求 11.1 杆件的应变能 11.2 卡氏第二定理 11.3 单位荷载法 11.4 图形相乘法 图形相乘法 本章内容小结
4 5 23 39 60 83
3
本 章 基 本 要 求
正确理解应变能的概念，能计算杆件在拉 压、扭转和弯曲时的应变能。 熟练运用各种能量方法计算结构中指定点 的广义位移。
例 求图示结构的 应变能。 1 W = Fv A 2 A
17
4. 互等定理 ( reciprocal theorem )
一种变形状态 两种加载过程
P1 P1 P2 2 P1 1 P2 2 P1 1 P2 2
∆ 11 11 Δ12 12 Δ22 22 Δ11 11
Δ22 22 Δ21 21
1 1 W = P11∆11 + P22 ∆22 + P11∆12 = U 22 12 2 11 2
（忽略了剪切所引起的应变能）
8
用内力表示的杆件应变能 用内力表示的杆件应变能 弯曲梁的应变能 （忽略剪切所引起的应变能）
1 uee = σε 2
My σ= I
My ε= EI
M 22 y 22 uee = 2EI 22
L ⎛ ⎞ ⎛ M 22 y 22 ⎞ U = uee dV = ⎜ ϕ dA ⎟ dx = ⎜ ⎜ ⎜ 2 EI 22 dA ⎟ dx ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ V 0 ⎝ A 0 ⎝ A V 0 A 0 A
起的位移上所做的功。 起的位移上所做的功。 互等定理中的力和位移都 互等定理中的力和位移都 是广义的。 互等定理中的两个力不一 互等定理中的两个力不一 定是同时存在于结构之中的。
F m F wFm Fm F m
θmF mF
m
mθ mF = FwFm mF Fm
19
EI L/ 2
F
B L/ 2
θ
例 己知简支梁中点的集中力F 己知简支梁中点的集中力 在铰支端的转角θ ，求铰支瑞在 集中力偶矩 m 作用下在梁中点 的挠度。
1 1 W = P22 ∆22 + P11∆11 + P22 ∆21 = U 22 21 2 2 11
P1 ∆ 12 = P 2 ∆ 21
18
P1 ∆ 12 = P 2 ∆ 21
功的互等定理
( reciprocal-work theorem ) reciprocal-work
P11 在 P22 所引起的位移上所做的功，等于 P22 在 P11 所引
FN AD = P N AD
总应变能
U=
∑
P 22a U ii = ( 2 + 1) EA
P 力的功
FN CD = P N CD
1 W = PvC 2 C
由功能关系 W = U 由功能关系
FN BD = − 2P FN BC = 0 N BC N BD
Pa vC = 2( 2 + 1) (↓) C EA
F F
∆
∂U ∆i = ∂ Fi
24
原理的说明
F1 1
F2 2
F1 1
F2 2
∆ 11 11 ∆ 11 ∆ 22 Δ12 12 Δ22 22
应变能
1 1 U = W = F11∆11 + F22 ∆22 + F11∆12 11 22 12 2 2
对于线弹性体
∆11 = α11 F11 11 11
∆12 = α12 F22 12 12
由功的互等定理： P11∆12 = P22∆ 21 12 21
F1 1 F1 1 F2 2 F2 2
∆ 11
∆ 22
1 1 1 1 W = P11∆11 + P22 ∆ 22 + P11∆12 + P22 ∆ 21 11 22 12 21 2 2 2 2 1 1 1 1 = P11( ∆11 + ∆12 ) + P22 ( ∆ 21 + ∆ 22 ) = P11∆11 + P22 ∆ 22 = U 11 12 21 22 2 2 2 2
15
FLF/ 4 EI x 2 A L/
EA L/ 2
a F/2
例 求图示结构中 A 点的竖向位移。 梁的结构和荷载关于 A 点对称 梁的结构和荷载关于 杆的应变能
梁的应变能 梁的应变能
M 22 U 11 = 2 dx 2 EI 0 0
L2 L2
( F 2) 22 a F 22a U 22 = = 2 EA 8 EA
∫
F 22L33 F 22a + 结构总应变能 U = 96 EI 8 EA F 力的功
由功能关系 由功能关系
( Fx 2) 22 = dx EI 0 0
L2 L2
∫
1 W = FwA A 2 W =U Fa FL33 wA = + (↓) A 48 EI 4 EA
=
F L 96 EI
2 3 2 3
∫
L
10
动脑又动笔 动脑又动笔
2EA 2EA EA a P a
用内力表示结构的应变能
U=
∑
i
FN2i L i 2( EA) i
P 22a 3P 22a (2 + 2 ), , EA 2 EA
2P 22a P 22a , (1 + 2 ) EA 2 EA
P EI L
L
P EI L
1 M2 U= dx 2 0 EI
16
W =U
应变能 位 移 位 移
分析和讨论
利用外力的功等于结构的应 变能求位移时受到什么限制？
W =U
F
应变能
θ EI
EI a a
A vv1A 2 1A 2
Fa ⋅ a Fa 33 v 11 = θ ⋅ a = ⋅a = EI EI Fa 33 Fa 33 v 22 = = 3EI 3EI Fa 33 Fa 33 4 Fa 33 v A = v 11 + v 22 = + = A EI 3EI 3EI 1 4 Fa 33 2 F 22a 33 U =W = F ⋅ = 2 3EI 3EI
∫
∫∫ ∫
L L
∫∫
L
L L L 1 M 22 ⎛ 22 ⎞ 1 M 22 ⎜ y dA ⎟ dx = = dx 2⎜ 2 ⎟ 2 00 EI ⎝ A 2 00 EI ⎠ A
∫ ∫
L
L
∫
1 M2 U= dx 2 0 EI
9
用内力表示的杆件应变能 用内力表示的杆件应变能 弯曲梁
1 M2 U= dx 2 0 EI
α11 是比例常数。 11
1 1 U = α11 F1122 + α 22 F2222 + α12 F11F22 12 2 11 2 22 ∂U = ∆ 11 ∂F11 ∂U = ∆ 22 ∂F22
25
∆ 22 = α 22 F22 22 22
∂U = α11 F11 + α 12 F22 = ∆11 + ∆12 = ∆11 11 12 11 12 ∂F11