2006年考研数学二真题与答案

即
， 为任意常数
综上所述，本题正确答案是
。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
(5)设函数
由方程
【答案】 。
确定，则
【解析】等式两边对 求导得
__________。
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将 代入方程
可得 。
将
代入
，得
பைடு நூலகம்
.
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函
四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(7)设函数
具有二阶导数，且
在点 处的增量， 与 分别为
分，若
，则
， 为自变量 在点 处对应的增量与微
(A)
(B)
(C)
(C)
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【答案】A。 【解析】 【方法一】由函数 义，得如下所示的图
单调上升且凹，根据 和 的几何意
由图可得 【方法二】
由凹曲线的性质，得
,因此
综上所述，本题正确答案是 D。
【考点】高等数学—常微分方程—线性微分方程解的性质及解的
结构定理，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，二阶常系数
齐次线性微分方程
(11)设
为连续函数，则
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C。
【解析】如图所示，显然是 型域，则原式
综上所述，本题正确答案是 C
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试确定常数 的值，使得
，
其中 是当 时比 高阶的无穷小量。
【解析】由泰勒公式知：
则
,
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比较等式两端同次幂的系数得
解得
。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—泰勒公式
(16)（本题满分 10 分）
求
.
【解析】本题用到了几个常用的积分公式
【方法一】令
则
。 【方法二】
令
则
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,
则 【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的计算 (17)（本题满分 10 分）
2006 年考研数学二真题
一、填空题（1~6 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
(1)曲线
的水平渐近线方程为_________。
【答案】 。
【解析】
故曲线的水平渐近线方程为 。
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点 及渐近线
(2)设函数 【答案】 。
在 处连续，则 _________。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本 性质和计算
(12)设
与
均为可微函数，且
。已知
是
在约束条件
下的一个极值点，下列选项正确的是
(A)若
，则
(B)若
，则
(C)若
，则
(D)若 【答案】D。
，则
【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘
数法。
作拉格朗日函数
并记对应 的参数
，于是
综上所述，本题正确答案是 A。
，即
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数
的几何意义和物理意义
(8)设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断
点，则
是
(A)连续的奇函数
(B)连续的偶函数
(C)在 间断的奇函数 (D)在 间断的偶函数
【答案】B。
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【解析】显然 在任何有限区间 上都可积，于是
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列的 倍加到第 2 列得 ，记
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B。
【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有
所以
。
综上所述，本题正确答案是 B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
三、解答题（15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤。）
(15)（本题满分 10 分）
设数列 满足
.
(I)证明
存在，并求该极限；
(II)计算
.
【解析】本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证
明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。
函数。
连续，又因 是奇函数，则
是偶
综上所述，本题正确答案是 B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调
性、周期性和奇偶性
高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(9)设函数 (A)
可微， (B)
，则 等于
(C)
(D)
【答案】C。
【解析】
.
由
，
得 综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函 数以及参数方程所确定的函数的微分法
数以及参数方程所确定的函数的微分法
(6)设 矩 阵 ，则
【答案】2。 【解析】
， 为二阶单位矩阵，矩阵 满足 ___________。
因为
，所以
。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式
按行(列)展开定理
二、填空题（7~14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的
的值为 则
即
消去 得 整理得：
,
若
则
综上所述，本题正确答案是 D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
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(13)设 是
均为 维列向量， 是
矩阵，下列选项正确的
(A)若
线性相关，则
(B)若
线性相关，则
(C)若
线性无关，则
(D)若 【答案】A。
线性无关，则
【解析】
线性相关 线性无关 线性相关 线性无关
【方法一】因为
线性相关，故存在不全为零的数
使得
从而有
即
由于
不全为 0 而是
上式成立，说明
线性相关。
【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有
那么
因为
线性相关，有
从而
故
综上所述，本题正确答案是 A
线性相关。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量
组的秩
(14)设 为三阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行的 ，再将 的第 1
设区域
，计算二重积分
. 【解析】本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆 域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。 积分区域 如图所示，因为区域 关于 轴对称，函数
是变量 的偶函数，函数
是变量
的奇函数，则
, 故
。
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【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的计算 (18)（本题满分 12 分）
(10)函数 (A) (C) 【答案】D。
满足的一个微分方程是 (B) (D)
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【解析】因为
是二阶常系数非齐次线性
方程的解，故
是对应的齐次方程的通解，
是非齐次方程的特解，因此
是齐次方程特征
方程的根，齐次方程应为
，这样可排除 A 和 B，
又因为 是特征方程的单根，因此非齐次项为 答案为 D。
【解析】
.
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性
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(3)反常积分
【答案】 【解析】
_________。
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(4)微分方程 【答案】
的通解为__________。 ， 为任意常数。
【解析】