2006年考研数学二真题与答案

设区域
，计算二重积分
. 【解析】本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆 域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。 积分区域 如图所示，因为区域 关于 轴对称，函数
是变量 的偶函数，函数
是变量
的奇函数，则
, 故
。
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【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的计算 (18)（本题满分 12 分）
数以及参数方程所确定的函数的微分法
(6)设 矩 阵 ，则
【答案】2。 【解析】
， 为二阶单位矩阵，矩阵 满足 ___________。
因为
，所以
。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式
按行(列)展开定理
二、填空题（7~14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的
【方法一】因为
线性相关，故存在不全为零的数
使得
从而有
即
由于
不全为 0 而是
上式成立，说明
线性相关。
【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有
那么
因为
线性相关，有
从而
故
综上所述，本题正确答案是 A
线性相关。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量
组的秩
(14)设 为三阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行的 ，再将 的第 1
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本 性质和计算
(12)设
与
均为可微函数，且
。已知
是
在约束条件
下的一个极值点，下列选项正确的是
(A)若
，则
(B)若
，则
(C)若
，则
(D)若 【答案】D。
，则
【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘
数法。
作拉格朗日函数
并记对应 的参数
2006 年考研数学二真题
一、填空题（1~6 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
(1)曲线
的水平渐近线方程为_________。
【答案】 。
【解析】
故曲线的水平渐近线方程为 。
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点 及渐近线
(2)设函数 【答案】 。
在 处连续，则 _________。
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列的 倍加到第 2 列得 ，记
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B。
【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有
所以
。
综上所述，本题正确答案是 B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
三、解答题（15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤。）
(15)（本题满分 10 分）
,因此
综上所述，本题正确答案是 D。
【考点】高等数学—常微分方程—线性微分方程解的性质及解的
结构定理，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，二阶常系数
齐次线性微分方程
(11)设
为连续函数，则
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C。
【解析】如图所示，显然是 型域，则原式
综上所述，本题正确答案是 C
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试确定常数 的值，使得
，
其中 是当 时比 高阶的无穷小量。
【解析】由泰勒公式知：
则
,
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比较等式两端同次幂的系数得
解得
。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—泰勒公式
(16)（本题满分 10 分）
求
.
【解析】本题用到了几个常用的积分公式
【方法一】令
则
。 【方法二】
令
则
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,
则 【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的计算 (17)（本题满分 10 分）
四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(7)设函数
具有二阶导数，且
在点 处的增量， 与 分别为
分，若
，则
， 为自变量 在点 处对应的增量与微
(A)
(B)
(C)
(C)
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【答案】A。 【解析】 【方法一】由函数 义，得如下所示的图
单调上升且凹，根据 和 的几何意
由图可得 【方法二】
由凹曲线的性质，得
设数列 满足
.
(I)证明
存在，并求该极限；
(II)计算
.
【解析】本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证
明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。
【解析】
.
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性
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(3)反常积分
【答案】 【解析】
_________。
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(4)微分方程 【答案】
的通解为__________。 ， 为任意常数。
【解析】
即
， 为任意常数
综上所述，本题正确答案是
。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
(5)设函数
由方程
【答案】 。
确定，则
【解析】等式两边对 求导得
__________。
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将 代入方程
可得 。
将
代入
，得
.
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函
的值为 则
即
消去 得 整理得：
,
若
则
综上所述，本题正确答案是 D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
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(13)设 是
均为 维列向量， 是
矩阵，下列选项正确的
(A)若
线性相关，则
(B)若
线性相关，则
(C)若
线性无关，则
(D)若 【答案】A。
线性无关，则
【解析】
线性相关 线性无关 线性相关 线性无关
函数。
连续，又因 是奇函数，则
是偶
综上所述，本题正确答案是 B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调
性、周期性和奇偶性
高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(9)设函数 (A)
可微， (B)
，则 等于
(C)
(D)
【答案】C。
【解析】
.
由
，
得 综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函 数以及参数方程所确定的函数的微分法
，于是
综上所述，本题正确答案是 A。
，即
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数
的几何意义和物理意义
源自文库
(8)设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断
点，则
是
(A)连续的奇函数
(B)连续的偶函数
(C)在 间断的奇函数 (D)在 间断的偶函数
【答案】B。
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【解析】显然 在任何有限区间 上都可积，于是
(10)函数 (A) (C) 【答案】D。
满足的一个微分方程是 (B) (D)
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【解析】因为
是二阶常系数非齐次线性
方程的解，故
是对应的齐次方程的通解，
是非齐次方程的特解，因此
是齐次方程特征
方程的根，齐次方程应为
，这样可排除 A 和 B，
又因为 是特征方程的单根，因此非齐次项为 答案为 D。