平面四边形网格自动生成方法研究

八、铺砌法
1、思想方法
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铺砌法是一种直接网格生成技术，它无需预先配 臵内部节点，单元和节点信息随着划分的进行而不断产 生。这种算法的思想是，根据所要划分的网格密度形成 初始化边界节点，这些节点形成一条双向链表。外铺砌 边界的节点按逆时针方向排列，内铺砌边界的节点按顺 时针方向排列，在铺砌边界上选取一边作为底边，在区 域内生成一个四边形单元，随着单元的生成，铺砌边界 不断更新，向区域内铺进。若铺砌边界上只剩下六个节 点，则对六节点封闭环进行封闭处理。
四边形单元的应变是一次函数关系，精度要高。 但对边界条件的适应不如三角形好。
Delaunay三角网生成总结
准则一：Delaunay三角剖分，即在生成的三角网 格中，各三角形的最小内角和为最大（此准则目前研究 应用最广）。
准则二：在生成的三角网格中，所有三角形的边 长和最小。 逐点插入法算法实现简单，时间效率比较高，运 行占用的空间较小，从时间效率和空间效率综合考虑， 性价比最好，因而应用广泛。 分治算法和三角网生长法都有缺陷，已基本不再 使用。
3、网格质量改进 按铺砌法生成的四边形网格，位于边界附近的单 元质量一般较好，但是位于区域内部的单元质量还需提 高。改进的方法有网格的匀称化和调整。 ①网格匀称化，重新调整节点的坐标。 ②网格调整，通过插入或删除一个单元，以改善局 部的单元方向比率，减少非规则节点数目，或删除内角 过大或过小的单元。
非结构化网格生成技术从生成网格的方法来区分 主要有Delaunay准则和前波发以及四边形的直接法和 间接法。
①对平面三角形网格生成方法，比较成熟的是基 于Delaunay准则的一类网格剖分方法和前波发的网格 生成方法。 基于Delaunay准则的网格生成方法的有点是速度 快，网格的尺寸比较容易控制。缺点是对边界的恢复比 较困难，很可能造成网格生成的失败，对这个问题的解 决方法现在正在讨论之中。 波前法的优点是对区域辩解拟合 的比较好，所以 在流体力学等对区域辩解要求比较高的情况下，常常采 用这种方法。缺点是对区域内部的网格生成的质量比较 差，生成的速度比较慢。
三、网格剖分准备与剖分方法
1、准备
（1）确定合适的网格密度 （2）单元形状与类型的选则 2、方法、 （1）网格直接生成法
（2）由几何实体生成网格法
四、三角形与四边形网格的比较
有限元法，对结构分析域完全采用三角形网格来 进行计算，无论对于多么复杂的几何形状，用 Delaunay准则均能自动的生成形状良好的三角形或四 面体，根本不会存在网格划分的困难。但有限元法里的 三角形单元和四面体单元是常应变单元，计算精度很低。 所以使用三角形单元的地方网格划分得相对密一些。
4、网格优化 最初生成的网格在边界附近单元质量是不高的， 需要进行优化处理，以改善单元质量。从优化效率上考 虑，选择边缘区的第1、2层单元作为优化层，其他部分 不作处理。
优化过程分为两步；（1）边界优化(边界节点位臵 的优化），采用一维的Laplace优化算法；（2）内部非 边界节点的优化，只对边界内部的节点作二维的 Laplace优化。
2、铺砌类操作
第1类，缝合操作，是将由于节点内角过小造成的铺 砌边界“裂缝口”进行封闭。
判断标准：α≤30º。
第2类，填补操作，是将边界上具有显著凹陷的部 分加以平整，同时产生一个新单元。 判断标准：α﹢β≤210º,或α≤120，β≤120.其中α和 β为两相邻的节点内角。 第3类，规划操作，用规划的方式产生新节点。新 节点的个数由节点内角α的大小决定。 120º ＜α≤240º 产生1个新节点同时产生1个新单元 240º ＜α≤330º 产生3个新节点同时产生2个新单元 330º ＜α≤360º 产生5个新节点同时产生3个新单元 两相邻内角α≤120º或β≤120º产生1个新单元
4、逼近精确性。待分区域的顶点（包括特殊点）必须 是单元的节点，待分区域的边界（包括特殊边及面）被单元 边界所逼近。 5、良好的单元形状。单元最佳形状是正多边形或正多 面体。 6、良好的划分过渡性。单元之间过渡应相对平稳，否 则将影响计算结果的准确性甚至使有限元计算无法进行下去。 7、网格划分的自适应行。在集合尖角处、应力、温度 等变化大的地方网格应密，其他部位应较稀疏，这样可以保 证计算结果精确可靠。 8、一致性。对于相连的两个二次单元，单元角点只能 与单元角点连接，而不能与相邻单元的中间节点连接：相邻 单元的公共边应具有相同的节点数，当采用混合单元（线性 单元与高阶单元）类型时有必要从一个单元中除去中间节点。
第4类，封闭单元操作，在铺砌过程的最后阶段只 剩下6个节点时，根据铺砌边界上大鱼150º 的节点内角 数目和相对位臵，产生封闭单元。
网格中单元的大小由铺砌边界上的节点的空间大 小所决定。在铺砌过程中，维持这一空间大小不变。这 样，我们可以通过修改固定节点的空间大小来控制单元 的大小。各个节点的空间大小可以不相同，因为大小不 一的单元组成的网格，有利于分析单元，便于网格的疏 密分布。
一、网格单元自适应生成算法[1][2]
两种分类模式
1、按照生成单元的类型 生成结构化网格
Leabharlann Baidu
生成非结构化网格
⑴从严格意义上讲，结构化网格是指网格区域内 所有的内部点都具有相同的毗邻单元。它可以很容易地 实现区域的边界拟合，适于流体和表面应力集中等方面 的计算。它的主要优点是：1、网格生成的速度快。2、 网格生成的质量好。3、数据结构简单。 对曲面或空间的拟合大多数采用参数化或样条插 值的方法得到，区域光滑，与实际的模型更容易接近。 它的最典型的缺点是适用的范围比较窄，只适用于形状 规则的图形。尤其随着近几年的计算机和数值方法的快 速发展，人们对求解区域的几何形状的复杂性的要求越 来越高，在这种情况下，结构化网格生成技术就显得力 不从心了。 ⑵同结构化网格的定义相对应，非结构化网格是 指网格区域内的内部点不具有相同的毗邻单元。即与网 格剖分区域内的不同内点相连的网格数目不同。从定义 上可以看出，结构化网格和非结构化网格有相互重叠的 部分，即非结构化网格中可能会包含结构化网格的部分。
非结构化网格主要是弥补结构化网格不能够解决 任意形状和任意联通区域剖分的欠缺。从现在的文献调 查的情况来看，非结构化网格生成拘束中只有平面三角 形的自动生成技术比较成熟（边界的恢复问题仍然是一 个难题，现在正在广泛讨论），平面四边形网格的生成 技术正在走向成熟。而空间任意曲面的三角形、四边形 网格的生成，三维任意集合形状几何实体的四面体网格 和六面体网格的生成技术还远远没有达到成熟。
3、边界节点数的调整
第一种方法：将节点1、2合并成节点4，节点4的位 臵取节点1、2、3的平均位臵。
第二种方法；删除单元a以后，将节点1、2合并成 节点4，节点4的位臵取节点1、2、3的平均位臵。
以上两种方法每次使栅格边界减少2个节点，如果 要减少一个可删除单元1,、2、3、4以后.，合并相应的 节点。
对栅格法的边界单元的质量有了一定的提高。
七、四叉树
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1、四叉树网格生成的基本思想
将四叉树空间分解方法应用于网格生成的引路人 是Yerry和Shephard。其基本思想是：首先将目标区域 用一尽可能小的正方形圈定，然后将此正方形分解成四 个相同大小的子区域，对每一个子域，测试其是否完全 在目标域外面或是满足密度控制的要求，若满足所给定 的条件则停止对子域的细分，否则将之细分。该过程迭 代执行下去直至达到预定的离散要求。这样目标区域被 一些相互不重叠的各种大小的方形子域拼成的图形所逼 近。这些子域是由最初的正方形分解而成，但目标区域 本身自始至终并不被分解。
六、栅格法（新）
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通常的栅格法是在划分区域内生成正方形栅格以 后，在栅格的边界节点和区域边界节点之间生成四边形 单元，当栅格边界节点与相应的区域边界节点不匹配时， 只能生成四边形和三角形的混合网格。本文算法是在区 域内部栅格生成以后，根据栅格边界上的节点数和区域 边界上事先定义的节点数修正栅格域的边界单元数量， 然后生成边界单元。这样可以在整个划分区域内得到全 部质量良好的网格。
2、四叉树网格的困难及前景 注：湖南大学硕士学位论文《简单高效的复杂边 界四叉树有限元网格生成技术》 四叉树网格生成技术发展至今已成为最成功有效 的网格生成方法之一。其算法效率几乎与单元节点数呈 线性增长，其网格易于自适应，易于同实体造型系统相 结合。但由于其基本思想是“逼近边界”且复杂边界的 逼近效果不甚理想，所以必然给以后边界网格的处理带 来不便，导致大量复杂的后期工作。
平面四边形网格自动生成方法研究
理力09-1 王宇晖
目录
• • • • • • • • • • • • • • 一、网格单元自适应生成算法 二、网格划分要求 三、网格剖分与剖分方法 四、三角形与四边形网格的比较 五、 Delaunay三角剖分逐点插入法 六、栅格法（新） 七、四叉树 八、铺砌法 九、结构优化设计分类 十、全四边形有限元网格的拓扑优化策略 十一、四边形网格基区拼合法 十二、映射法 十三、自动生成三角形网格并转化 为四边形网格的算法 参考文献
1、域内栅格的生成 正方形栅格的生成:首先生成一个覆盖整个划分区 域的栅格，其次将区域外的单元删除，形成一个域内的 栅格。 栅格尺寸的确定需要考虑两方面因素；一是有限 元的计算精度，二是保证在区域边界上生成质量较好的 单元。栅格方向选最长边的方向。 2、边界单元的生成 确定与区域边界上的角节点对应的栅格边界节点， 根据边界节点内角α的大小选择不同的连接方式。
2、按照单元节点生成的先后顺序
[3] 二、网格划分要求
有限元网格生成就是将工作环境下的物体离散成单元的 过程。 网格划分应遵循以下原则 1、合法性。一个单元的节点不能落入其他单元内部，在 单元边界上的节点均应作为单元的节点，不可丢弃。 2、 相容性。单元必须落在待分区域内部，不能落入外 部，且单元并集等于待分区域。 3、协调性。单元上的力和力矩能够通过节点传递给相 邻单元。为保证单元协调，必须满足：一个单元的节点必须 同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点；相邻单 元的共有节点具有相同的自由度性质，即自由度必须匹配。
②平面四边形网格的生成方法有两类主要的方法。 一类是间接法，即在区域内部先生成三角形网格， 然后分别将两个相邻的三角形合并成为一个四边形。生 成的四边形的内角很难保证接近直角。所以再采用一些 相应的修正方法加以修正。间接法优点是首先就得到了 区域内的整体的网格尺寸的信息，对四边形网格尺寸梯 度的控制一直是四边形网格生成技术的难点。缺点是生 成的网格质量相对比较差，需要多次的修正，同时需要 首先生成三角形网格，生成的速度也比较慢，程序的工 作量大。 另外一类是直接法，二维的情况称为铺砖法。采 用从区域的边界到区域的内部逐层剖分的方法。这种方 法到现在已经逐渐替代间接法而称为四边形网格的主要 生成方法。它的优点是生成的四边形的网格质量好，对 区域边界的拟合比较好，最适合 流体力学的计算。缺 点是生成的速度慢，程序设计复杂。
五、Delaunay三角剖分逐点插入法
1、Delaunay三角网的性质
（1）Delaunay三角网是唯一的；
（2）三角网的外边界构成了点集P的凸多边形 “外壳”；
（3）没有任何点在三角形的外接圆内部，反之， 如果一个三角网满足此条件，那么它就是Delaunay三 角网； （4）如果将三角网中的每个三角形的最小角进行 升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大， 从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则 化”的三角网。
2、逐点插入法的基本步骤 （1）定义一个包含所有数据点的初始多边形； （2）在初始多边形中建立初始三角网，然后迭代 以下步骤，直至所有数据点被处理；
（3）插入一个数据点P，在三角网中找出包含P点 的三角形，把P点与三角形的三个顶点相连，生成新的 三角形；
（4）用LOP算法优化三角网。该算法基本含义： 对由两个公共边组成的四边形进行判断，如果其中一个 三角形的外接圆包含第四个点，则将这个四边形的对角 线交换。