第七章 参数估计

? 统计分析一般采取的办法：在 保证置信度的前提 下，尽可能提高精确度。
? 规定正确估计的概率（置信度为 0.95或0.99）， 显著性水平即错误的概率为 0.05或0.01。0.05或 0.01属于小概率事件， 小概率事件在一次抽样中 是不可能出现的
? 平均数的区间估计
第二节 总体均数的估计
X1?78，X2 ? 79，试问总体参数 μ的0.95和0.99置信区间 。
? 解： ? 平均数的标准误：
? ? ? ? 7.07 ? 2.24
X1
n1
10
? X2 ?
? ? 7.07 ? 1.18
n2 36
? 用n1=10的样本估计总体参数 μ： ? 0.95的置信区间
78 ? 1.96 ? 2.24 ? ? ? 79 ? 1.96 ? 1.18
? 显著性水平常用值 ? ? =0.05 1-? =0.95 ? ? =0.01 1-? =0.99
（三）区间估计的原理与标准误
? 区间估计是根据 抽样分布理论 ，用抽样分布的标 准误(SE)计算区间长度，解释总体参数落入某置 信区间可能的概率。
? 区间估计存在成功估计的 概率大小 及估计范围大 小两个问题。
第七章 参数估计
思考
? 例8-1：从某市随机抽取小学三年级学生 50名，测 得平均身高为 140cm ，标准差 4。试问该市小学 三年级学生的平均身高大约是多少？
? 例8-2：某教师用韦氏成人智力量表测80 名高三学生， M=105。试估计该校高三 学生智商平均数大约为多少？
什么是参数估计
当在研究中从样本获得一组数据后，如何通过 这组数据信息，对总体特征进行估计，也就是 如何从局部结果推论总体 的情况，称为 总体参 数估计。
? 解：
?X?
??
n
5 ? 0.71 49
? 定置信水平为 0.95，查正态表得 Z(1－? )/2=1.96。
85 ? 1.96 ? 0.71 ? ? ? 85 ? 1.96 ? 0.71
83.6 ? ? ? 86.4
（二）t 分布法：σ2未知
1 、应用条件
? 总体正态， n 不论大小； ? 总体非正态， n≥30（渐近正态法）
? 3.一致性 ? 当样本容量无限增大 时，估计值应能够越来越接
近它所估计的总体参数， 估计值越来越精确，逐 渐趋近于真值 。 n? 大 , X ? ? ? 4.充分性 ? 一个容量为 n的样本统计量 ，是否充分地反映了 全部n个数据所反映总体的信息。
三、区间估计
（一）区间估计的定义 1. 根据估计量以 一定可靠程度 推断总体参数所在的 区
76.7 ? ? ? 81.3
? 0.99的置信区间
79 ? 2.58 ? 1.18 ? ? ? 79 ? 2.58 ? 1.18
75.7 ? ? ? 82.04
? 【例7-2】
? 有一个49名学生的班级，某学科历年考试成绩的
? =? ，又知今年某次考试成绩是 85分，试推论该班某
学科学习的真实成绩分数。
一、定义
样本均数 估计 总体均数
二、方法
正态法： σ2已知
t 分布法：σ2未知
（一）正态法： σ2已知
1 、应用条件
? 总体正态， n不论大小； ? 总体非正态， n≥30；
2 、估计总体平均数的步骤
① 求样本平均数和标准差
②求均数标准误 ：
?X?
?
n
③ 确定置信水平或显著性水平（ ? =0.05、0.01）
? 参数估计： 样本 统计量
估计
总体 参数
参数估计的方法 估计方法
点估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
第一节 点估计、区间估计与标准误 一、点估计
1、含义：直接用 样本统计量的值 作为总体 参数的估计值，即：
X? ?
例： 假设从某市随机抽取 113六岁男童，测得 平均身高为 110.7公分。试估计该市所有六岁 男童的平均身高是多少？
④ 查正态分布表： 1-? =0.95
⑤ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ置信区间 ：
1-? =0.99
X ? Z(1?? ? )/2 X ? ? ? X+Z(1?? ? )/2 X
Z=1.96 Z=2.58
X ? Z? /2? X ? ? ? X+Z? /2? X
⑥结果解释
? 【例7-1】
? 已知母总体为正态分布， σ=7.07，从这个总体中 随机抽取 n1=10和n2=36 的两个样本，分别计算出
2 、估计总体平均数的步骤
① 求样本平均数和标准差
②求均数标准误 ： ? X ? S n ? 1 ? S
n
n ?1
③ 确定置信水平或显著性水平（ ? =0.05、0.01）
④ 查t值表
⑤求置信区间 ：
X ? t(1?? ? )/2 X ? ? ? X+t(1?? ? )/2 X
72.2 ? ? ? 83.8
? 0.99的置信区间
78 ? 2.58? 2.24 ? ? ? 79 ? 2.58? 2.24 76.7 ? ? ? 81.3
? 根据n2=36的样本估计总体参数 μ： ? 0.95的置信区间
78 ? 1.96? 1.18 ? ? ? 79 ? 1.96? 1.18
X ? 110 .7 ? ? ? 110 .7
? 二、良好估计量的标准
? 1.无偏性
? 无偏估计量：用多个样本的统计量作为总体参数 的估计值，其 偏差的平均数 为0。
? ?X ? ? ?? 0
? 2.有效性
? 当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏 估计 变异小者 有效性高，变异大者有效性低，即 方差越小越好 。
间范围 ，用数轴上的一段距离 表示未知参数可能落 入的范围。
区间估计
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
2 、置信区间
?置信区间：也称置信间距，是指在某一置信度时，总 体参数所在的区域距离或区域长度。 ?置信度：被估计参数落在置信区间内的概率。
用 1-? 表示，又名置信水平、置信系数等。
? 置信度常用值 1-? =0.95 1-? =0.99
?置信界限：置信区间的上下两端点值。
3、显著性水平
? 显著性水平：估计总体参数落在某一区间时， 可能 犯错误的概率，用符号? 表示。
? 置信度：被估计参数落在置信区间内 的概率， ? 1-? 表示 ? 例:0.95置信区间（1-? ）指总体参数落在该区间内
，估计正确的概率为 95%，而估计错误的概率为 5%（? =0.05）