函数的图像复习导学案

函数的图象

考试要求 1.点的坐标与函数图象的关系；2.图象的平移、对称、伸缩变换及应用，；

3.函数图象的应用——研究函数的性质、解决方程解的个数、不等式的解等．

【知 识 梳 理】 1．函数图象的作法

(1)描点法作图：通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．

(2)图象变换法作图：一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象，在高考中要求学生掌握三种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换)． 2．函数图象间的变换 (1)平移变换

对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换

(3)伸缩变换

y ＝f (x )――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1

a

a ＞0倍

y ＝f (ax )．

y ＝f (x )――――――――――――――――→横坐标不变

各点纵坐标变为原来的A A ＞0倍y ＝Af (x )．

【诊 断 自 测】

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(×)

(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(√) (4)若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(×) (5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．(×)

2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是______(填序号)．

解析 ∵a ＞0，且a ≠1，∴f (x )＝x a

在(0，＋∞)上单调递增，∴排除①；当0＜a ＜1或a ＞1时，②，③中f (x )与g (x )的图象矛盾，故④正确．答案 ④

3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，给出下列结论：①a ＞1，c ＞1；②a ＞1,0＜c ＜1； ③0＜a ＜1，c ＞1；④0＜a ＜1,0＜c ＜1. 则上述结论成立的是________(填序号)．

解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1. 答案 ④

4．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2

＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式为________．

解析 把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2

＋2＝(x －1)2

＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2

＋2＋1＝(x －1)2

＋3. 5．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点

P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是________(填序号)．

答案 ③

【考点突破】

考点一 简单函数图象的作法

【例1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝

x ＋2

x －1

. 解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨

⎪

⎧

lg x ， x ≥1，－lg x ， 0＜x ＜1，

作出图象如图1.

(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3

x

的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝

x ＋2

x －1

的图象，如图2.

规律方法 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、

形如

y ＝x ＋m

x

(m ＞0)的函数是图象变换的基础．(2)常握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以

帮助我们简化作图过程．

【训练1】 作出下列函数的图象： (1)y ＝2

x ＋2

；(2)y ＝x 2

－2|x |－1.

解 (1)将y ＝2x

的图象向左平移2个单位．图象如图1.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

－2x －1

x ≥0，x 2

＋2x －1

x ＜0.

图象

如图2.

考点二 函数图象的应用

【例2】 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2

－4x ＋5的图象的交点个数为________个．

(2)已知函数y ＝|x 2

－1|

x －1的图象与y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是

______．

解析 (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2

－4x ＋5＝(x －2)2

＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2＞g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.

(2)根据绝对值的意义，y ＝|x 2

－1|x －1＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋1 x ＞1或x ＜－1，－x －1 －1≤x ＜1.

在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0＜k ＜1或1＜k ＜4时有两个交点．

答案 (1)2 (2)(0,1)∪(1,4)

规律方法 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．

【训练2】 (1)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2

，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．

(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ .

解析 (1)根据f (x )的性质及f (x )在[－1,1]上的解析式可作图如下