第五章 第一节差分法公式推导xin

2 2
12
8 4 5
h
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3
7
0
1 9
6
A 13
f1 − f3 ∂f = 2h ∂x 0
∂2 f f1 + f3 − 2 f0 2 = ∂x h2 0
基本差分公式 也叫抛物线差 分公式
2
10
B
h
14
∂f f2 − f4 = ∂y 2h 0
Ch 5用差分法和变分法解平面问题 5用差分法和变分法解平面问题
学习指导
近似解法：变分法、差分法和有限元法。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。 20世纪中期发展起来的弹性力学近 4. 有线单元法 是20世纪中期发展起来的弹性力学近 似解法。在有限单元法中，首先将区域离散化， 似解法。在有限单元法中，首先将区域离散化，把连续 体变化为离散化结构； 体变化为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件 应用到离散化结构，从而建立求解的方法。 应用到离散化结构，从而建立求解的方法。 有限元法应用计算机进行计算， 有限元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各 种复杂的工程问题。 种复杂的工程问题。 要求：理解这些近似解法， 要求：理解这些近似解法，能够应用这些近似解法 解决工程实际问题。 解决工程实际问题。
y
h
14
2 2 3 3 ∂f h ∂ f h ∂ f f1 = f0 +h + 2 + 3 +L ! ! ∂x 0 2 ∂x 0 3 ∂x 0
2 2 ∂f h ∂ f f1 = f0 +h + 2 ! ∂x 0 2 ∂x 0
∂ f 1 = 2 [( f6 + f8) −( f5 + f7 )] ∂x∂y 4h 0
2
第一节 差分公式的推导
12
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A
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∂4 f 1 4 = 4 [6 f0 −4( f1 + f3) +( f9 + f11)] ∂x h 0
B
h
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∂4 f 1 2 2 = 4 [4 f0 −2( f1 + f2 + f3 + f4) +( f5 + f6 + f7 + f8)] ∂x ∂y h 0
∂4 f 1 4 = 4 [6 f0 −4( f2 + f4) +( f10 + f12)] ∂y h 0
∂2 f f + f −2 f0 2 = 2 42 ∂y h 0
利用基本差分公式， 利用基本差分公式，可以导出其它 差分公式。 差分公式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
∂f ∂f − 2 ∂ f ∂ ∂f ∂y 1 ∂y 3 = = ∂x∂y 2h 0 ∂x ∂y 0 f6 − f5 f7 − f8 − 2h = 1 [( f + f ) −( f + f )] = 2h 6 8 5 7 2h 4h2
2 2 3 3 ∂f h ∂ f h ∂ f f3 = f0 −h + 2 − 3 +L ! ! ∂x 0 2 ∂x 0 3 ∂x 0
2 2 ∂f h ∂ f f3 = f0 −h + 2 ! ∂x 0 2 ∂x 0
Ch 5用差分法和变分法解平面问题 5用差分法和变分法解平面问题
学习指导
近似解法：变分法、差分法和有限元法。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。 3. 变分法是弹性力学中另一种独立的求解方法。在 变分法是弹性力学中另一种独立的求解方法 是弹性力学中另一种独立的求解方法。 变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件， 变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建 立便分方程，并进行求解。 立便分方程，并进行求解。 弹性力学中的变分方程和微分方程是沟通的， 弹性力学中的变分方程和微分方程是沟通的，可以 互相导出。 互相导出。 变分法得出的解答常常是近似的解答， 变分法得出的解答常常是近似的解答，将变分法也归入 弹性力学的近似解法。 弹性力学的近似解法。
4 4 4
2
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6
B
20 0 −8(ϕ +ϕ2 +ϕ3 +ϕ4) ϕ 1
Байду номын сангаас
h
14
+2(ϕ5 +ϕ6 +ϕ7 +ϕ8) +(ϕ9 +ϕ +ϕ +ϕ ) = 0 10 11 12
对于弹性体边界以内的每一结点， 取为基本未知值 基本未知值， 对于弹性体边界以内的每一结点，其 ϕ值取为基本未知值，并可 弹性体边界以内的每一结点 以建立这样一个差分程。但是，对于边界内一行的（ 以建立这样一个差分程。但是，对于边界内一行的（距边界为 h 的） 包含边界外一 结点，差分方程中还将包含边界上各结点处的 结点，差分方程中还将包含边界上各结点处的 ϕ值，并包含边界外一 行的虚结点处的 行的虚结点处的ϕ值。
2
10
B 14
∂4 f 1 4 = 4 [6 f0 −4( f1 + f3) +( f9 + f11)] ∂x h 0
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第二节 应力函数的差分解
1、讨论不计体力的情况下，平面问题中的应力分量。 、讨论不计体力的情况下，平面问题中的应力分量。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
1、讨论不计体力的情况下，平面问题中的应力分量。 、讨论不计体力的情况下，平面问题中的应力分量。 2、相容方程——差分方程： 、相容方程 差分方程： 差分方程 3、应用边界条件，求得边界上各结点处得φ、以及 、应用边界条件，求得边界上各结点处得 、以及φ 对x和y的偏导数值 和 的偏导数值
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
差分法： 差分法：是微分方程的一种近似数值解法。在差分
法中，将连续函数用结点上的函数值来代替，并从而将微 分方程及其边界条件变换为差分（代数）方程，使问题易 于解决。在这种方法中采用了将函数离散的手段。
变分法： 变分法：是弹性力学中另一独立的求解方法。在
变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建 立变分方程，进行求解。弹性力学中的变分法和微分方 程是沟通的，可以互相导出。
有限元法: 首先将区域离散化，把连续体变化为
离散结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散 结构，从而建立求解的方法。有限元法应用计算机进行 计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。 要求： 要求：理解这些近似解法，而且能够应用该近似解法。
Ch 5用差分法和变分法解平面问题 5用差分法和变分法解平面问题
学习指导
弹性力学的基本解法： 1. 弹性力学的基本解法： 弹性力学问题可以化为微 分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的精确解答。 分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的精确解答。
Notes：实际工程问题，荷载、边界条件的复杂性， Notes：实际工程问题，荷载、边界条件的复杂性， 难以求出函数的解答。 难以求出函数的解答。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。
自己下面导出。
∂2 f f1 + f3 − 2 f0 2 = ∂x h2 0
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A
∂4 f ∂2 ∂2 f 4 = 2 2 ∂x ∂x ∂x 0 0 ∂2 f ∂2 f ∂2 f 2 + 2 −2 2 ∂x ∂x ∂x 1 3 0 h = y h2 f9 + f0 −2 f1 f11 + f0 −2 f3 f + f −2 f0 + −2 1 32 h2 h2 h = h2
第二节 应力函数的差分解
∂2ϕ 1 (σx )0 = 2 = 2 [(ϕ2 +ϕ4) −2ϕ0] ∂y h 0
∂2ϕ(x, y) , σx = 2 ∂y
∂2ϕ(x, y) σy = ∂x2
∂2ϕ(x, y) τxy = − ∂x∂y
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8 4 5
h
∂2 f 1 (σy )0 = 2 = 2 [(ϕ1 +ϕ3) −2ϕ0] ∂x h 0 ∂2 f 1 (τxy )0 = − ∂x∂y = 4h2 [(ϕ5 +ϕ7) −(ϕ6 +ϕ8)] 0
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
第一节 差分公式的推导
1 差分法定义 2 推导差分公式
结点：网格的交点。 结点：网格的交点。 步长：网格的间距。 步长：网格的间距。
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3
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x
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h
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A 13
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设任一函数f(x,y)为弹性体内 的某一个连续函数，它可能是 y 某一个应力分量或者位移分量， 也可能是应力函数等等。
第二节 应力函数的差分解 1、讨论不计体力的情况下， 、讨论不计体力的情况下， 平面问题中的应力分量。 平面问题中的应力分量。 2、相容方程——差分方程： 、相容方程 差分方程： 差分方程
第二节 应力函数的差分解
12
8 4 5
11
3 00 1 9 A 13 1
7
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ 4 +2 2 2 + 4 = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y 0 0 0
第五章 用差分法和变分法解平面问题
2 2 ∂f h ∂ f f3 = f0 −h + 2 ! ∂x 0 2 ∂x 0
第一节 差分公式的推导
x
∂f h ∂ f f1 = f0 +h + 2 ! ∂x 0 2 ∂x 0
B
h
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第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
x
h
1 差分法定义 2 推导差分公式
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12
8 4 5
3
7
0
1 9
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A 13
2
10
B
1 ∂2 f 1 ∂3 f ∂f 2 f = f0 + (x − x0 ) + 2 (x − x0 ) + 3 (x − x0 )3 +L 2 ∂x 0 ! 3 ∂x 0 ! ∂x 0
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
第一节 差分公式的推导
1 差分法定义
差分法是微分方程的一种近似数值解法。 差分法是微分方程的一种近似数值解法。它不是去寻求函 数的解答，而是去求出函数在一些网格结点上的数值。 数的解答，而是去求出函数在一些网格结点上的数值。
差分法就是把微分方程用有限差分代替， 导数用 差分法就是把微分方程用有限差分代替，把导数用有限差 微分方程用有限差分代替 代替，从而把基本方程和边界条件 一般均为微分方程） 基本方程和边界条件（ 商代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程） 改用差分方程 代数方程）来表示， 求解微分方程的问题 差分方程（ 改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题 求解代数方程的问题 变换成为求解代数方程的问题。 变换成为求解代数方程的问题。
Ch 5用差分法和变分法解平面问题 5用差分法和变分法解平面问题
学习指导
近似解法：变分法、差分法和有限元法。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。 2. 差分法是微分方程的一种近似解法。差分法中， 差分法是微分方程的一种近似解法 差分法中， 是微分方程的一种近似解法。 将连续函数用一些结点上的函数值来代替， 将连续函数用一些结点上的函数值来代替，并从而将微 分方程及其边界条件变化为差分（代数）方程， 分方程及其边界条件变化为差分（代数）方程，使问题 易于求解。 易于求解。 采取的手段：将连续函数离散。 采取的手段：将连续函数离散。
2、相容方程——差分方程： 、相容方程 差分方程： 差分方程
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∂4ϕ ∂4ϕ ∂4ϕ 4 +2 2 2 + 4 = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y 0 0 0
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第五章 用差分法和变分法解平面问题