文科数学专题不等式选(学案)高考二轮复习资料含答案

专题19不等式选讲(教学案)

预测2017年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是

解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查

一、含有绝对值不等式的解法

1. | ax+ b| w c, |ax+ b| >c(c>0)型不等式的解法

(1) 若c>0，则| ax + b| w c 等价于—c< ax+ b w c, | ax+ b| > c 等价于ax+ b> c 或ax + b w—c,然后根据a, b的值解出即可.

(2) 若c<0,则| ax + b| w c的解集为？，| ax+ b| > c的解集为R.

2. | x —a| + | x —b| > c( c>0), | x—a| + | x—b| w c( c>0)型不等式的解法

可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解

(1) 零点分区间法的一般步骤

①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；

③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集

(2) 利用绝对值的几何意义

由于|x —a| + |x —b|与| x—a| —|x —b|分别表示数轴上与x对应的点到a, b对应的点的距离之和与距

离之差，因此对形如|x —a| + | x —b|< c( c>0)或| x—a| —| x —b|> c( c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.

3. | f (x)|> g(x), |f(x)|< g(x)( g(x)>0)型不等式的解法

(1) 1 f(x)|> g(x) ? f (x)>g( x)或f(x)< —g(x).

(2) | f(x)|

二、不等式的证明

1. 证明不等式的常用结论

(1)绝对值的三角不等式

定理1：若a, b为实数，则|a+ b| w | a| + | b|，当且仅当ab> 0，等号成立.

定理2:设a, b, c为实数，则| a—c| w | a—b| + |b—c|，当且仅当(a—b)( b—c) >0时，等号成立.

推论 1： || a | -1 b || w |a + b |. 推论 2: || a | -1 b || < |a -b |.

a +

b +

c 3 J —

(2) 三个正数的算术一几何平均不等式：如果 a , b , c € 那么—3—》.abc,当且仅当 a = b = c

时等号成立•

(3) 基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a i , a 2,…，a n ,它们的算术平均值不小于它们的

(4) 一般形式的柯西不等式

设 a i , a 2, a 3,…,a n , b i , b 2, b 3,…, b 是实数，则(a 2+ a 2+・・・+ a ?) •( b + b 2 +…+ b 2)》(aib + a 2b +…+ a n

b n )2，并且仅当b = 0( i = i , 2，…，n )或存在一个数 k ，使得a — kb(i = i , 2,…，n )时，等号成 立.

2. 证明不等式的常用方法 ⑴比较法

一般步骤：作差一变形一判断一结论

•为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者

变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负

(2) 综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法 •即“由

因导果”的方法•

(3) 分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转 化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等 式成立，这种方法叫作分析法 •即“执果索因”的方法•

(4) 反证法和放缩法

① 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 正确的推理，得到和命题的条件

(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 )矛盾的结论，以说明假设不

正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法

② 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的， 这种方法叫作放缩法

考点一解绝对值不等式

例1.【2017课标3,文23】已知函数f (x)= | x +1 I -|x - 2 | .

几何平均值，即 a i + a 2+・・

・ +

n

n^a i • a 2 ............... a n ，并且仅当

a i = a 2=・・・= a n 时等号成立

(1)求不等式f(x) Al的解集；

(2)若不等式f (x) A X2- x + m的解集非空，求实数m的取值范围.

5

【答案】(1) [1 , •二)；(2)

4

【解析】

7,兀 < -1

(1)/(x) = {2x-l-l

3丸>2

当x<-L时，川刃王1无解'

当一1<3C<2B寸，由2x-l>l, BWl

当XA2日寸，由f{x}>1解得艾>2、

所以/(刃工1的解集为网注

(2)由/(JC)>JC2—X+JM|x+l|—|x—2|—x2+x ,而

3丫5^5 2丿4 4 |x+1| - |x—2| —x^ + x^.|x +1+ x| —2 +|JC^ -1

1 5

且当无=_时 > |x+l| —|x—2|—x2+x= —.

丄4

故朋的取值范围为(a,专■

【变式探究】【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分),选修4 —5 :不等式选讲

已知函数 f (x )=|x +1 — 2x -3 .

(I )在答题卡第(24)题图中画出y二f x的图像;