梯形与重心(1)

梯形与重心

知识点六：四边形的分类

要点诠释：

知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心

要点诠释：

1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形

对角线的交点是平行四边形的重心。

2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

三、规律方法指导

知识点回顾：

2．梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一

1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是

和

，

求它的腰长

思路点拨：已知：如图，在梯形ABCD 中，

，，

.

求：AB 的长. 解析：过点A 作

交BC 于E ，

∵四边形ABCD 是等腰梯形，

∴AD ∥BC 又∵

，

∴四边形AECD是平行四边形.

∴

∵

∴

∵

∴是等边三角形.

又∵，

∴

∴

总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时，无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；

举一反三：

【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________

【答案】梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，

由题得：x+y+z=16，

，（熟记梯形面积公式）

解得x+y=8，z=8，

过D作DE∥AC交BC的延长线于E．

∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）

∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）

在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，

根据勾股定理得，

∵AC=DE，

．

【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．

证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F．

在△CFB和△AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）

∴△CFB≌△AEB（AAS）

∴CF=AE．

∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD，

∴AFCD是矩形

∴AD=CF，

∴AD=AE．

在Rt△ADC和Rt△AEC中，

∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）

∴CD=CE．

【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、

为、的中点。

求证：

【答案】如图，延长，相交于点，连结，.

∵

∵、为、的中点，∴，

∴，

∵∴∴

∴、、三点共线

∴

【变式4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线过CD的中点E．

求证：AD＋BC=AB．

【答案】证明：过E作EF∥BC交AB于F，则EF∥BC∥AD，

∵E是CD的中点

∴EF为梯形ABCD的中位线,∠2=∠3

∴AD＋BC=2EF，AF=FB

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3，则BF=EF．

∴BF=EF=AF

∴2EF=BF+AF=AB

∵AD＋BC=2EF

∴AD＋BC=AB．

【变式5】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点，

【答案】证明：过E作MN∥AB交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM 是平行四边形．

∵△ABE与□ABNM同底同高，

∵∠1=∠C，∠M=∠2，DE=CE，

∴△EMD≌△ENC．

∴S□ABNM=S梯形ABCD

类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）

1、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。

求证：

思路点拨：要证，则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。

而，且，则问题得证，

本题要证对应的角相等也并不困难。

解析：∵四边形ABCD为矩形，

∴

∵四边形ABDE为等腰梯形，且为其对角线，

∴

在和中，，

又，

∴

举一反三：

【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中，，AC、BD相交于点O.

求证：.

【答案】∵，

∴A、D两点到BC的距离相等.

即中BC边上的高与中BC边上的高相等.

∴（等底等高）.

∴

∴

说明本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.

【变式2】如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：（1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。

【答案】