材料力学(I)第八章
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《材料力学》第八章课后习题参考答案
解题方法与技巧归纳
受力分析
在解题前首先要对物体进行受力分析， 明确各力的大小和方向，以便后续进 行应力和应变的计算。
图形结合
对于一些复杂的力学问题，可以画出 相应的示意图或变形图，帮助理解和 分析问题。
公式应用
熟练掌握材料力学的相关公式，能够 准确应用公式进行计算和分析。
检查结果
在解题完成后，要对结果进行检查和 验证，确保答案的正确性和合理性。
压杆稳定
探讨细长压杆在压缩载荷作用下的稳定性问题。
解题方法与技巧
准确理解题意
仔细审题，明确题目要求和考查的知识点。
选择合适的公式
根据题目类型和所给条件，选用相应的公式 进行计算。
注意单位换算
在计算过程中，要注意各物理量的单位换算， 确保计算结果的准确性。
检查答案合理性
得出答案后，要检查其是否符合实际情况和 物理规律，避免出现错误。
相关题型拓展与延伸
组合变形问题
超静定问题
涉及多种基本变形的组合，如弯曲与扭转 的组合、拉伸与压缩的组合等，需要综合 运用所学知识进行分析和计算。
超静定结构是指未知力数目多于静力平衡 方程数目的结构，需要通过变形协调条件 或力法、位移法等方法进行求解。
稳定性问题
疲劳强度问题
研究细长压杆在压力作用下的稳定性问题 ，需要考虑压杆的临界力和失稳形式等因 素。
研究材料在交变应力作用下的疲劳破坏行为 ，需要了解疲劳极限、疲劳寿命等概念和计 算方法。
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重点知识点回顾
材料的力学性质
包括弹性、塑性、强度、硬度等基本概念和 性质。
杆件的拉伸与压缩
涉及杆件在拉伸和压缩状态下的应力、应变及 变形分析。
材料力学(I)第八章 组合变形及连接部分的计算
同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩
sb
12
M max Fl 。 W 4W
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
在FN 和Mmax共同作用下，危险 截面上正应力沿高度的变化随sb和st
ห้องสมุดไป่ตู้
的值的相对大小可能有图d ,e ,f 三种
情况。危险截面上的最大正应力是拉 应力：
s t ,max
Ft Fl A 4W
可见此杆产生弯一压组合变形。现按大刚度杆来计算应力。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力st,max和最大压应力
sc,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)：
s t ,max
F M FN M max 或 s c ,max N max A W A W
强度条件为
26
s r 3 [s ] 或
s r 4 [s ]
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不
一致。注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危 险点处：
M W
s
T T Wp 2W
2 2
为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：
（a）
3. 根据钢管的横截面尺寸算得：
π 2 [ D ( D 2d ) 2 ] 4 40.8 10 4 m 2 π I [ D 4 ( D 2d ) 4 ] 64 868108 m 4 I W 124 10 6 m3 D/2 A
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
最新课件-材料力学第八章应力应变状态分析北航 精品
单位：MPa
x y
2
sin2 x cos2
80 30 sin60 60 cos60 =8.35MPa 2
问 可取何值
150 ;
x轴向左） 30（
Page12
§8-3
一、应力圆
应力圆
应力转轴公式 x y x y cos2 x sin2
材料力学（I II） 北航 精品课件
北京航空航天大学单辉祖教授编著的《材料力学 (I)》、《材料力学(Ⅱ)》是教育部“高等教育面向 21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果， 是面向21世纪课程教材和教育部工科力学“九五” 规划教材，也是普通高等教育“九五”国家级重点 教材 。该教材1999年初版，获2000年度中国高校科 学技术奖（教材类）二等奖，教学改革成果获2001 年度国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等 奖 ；2004年修订出版第2版，修订版已列入“普通 高等学校‘十五’国家教材规划”、高教社“高等 教育百门精品教材”。以材料力学I、II为主教材的 材料力学立体化教学包已作为高等教育出版社的 “名品”向全国推广。
x
F 0
t
t
y x x
dA
x
dA x dA cos( ) cos( ) x dA cos( ) sin( ) y dA sin( ) sin( ) y dA sin( ) cos( ) 0
x y
2 x y 2
n
x y
2
cos(2 ) x sin(2 )
y
y
t
sin(2 ) x cos(2 )
材料力学第八章
D2 E2 O2
某实际应力状态：与 包络线相切，1>3， 3 1 有正负。 E3O3 O1O3 D3O3 D1O1 OO1 OO3 E2O2 O1O2 D2O2 D1O1 OO1 OO2 1 3 [ c ] [ t ] D3O3 D2O2 D1O1 2 2 2 1 3 [ c ] [ t ] OO3 OO2 OO1 2 2 2
最大拉应力1，与应力状态无关； 1．断裂原因： 2．强度准则： 1 u / nb 1 [ ] 断裂判据： 1 u 1 b 3．u由单向拉伸断裂条件确定： u b nb [ ] 4．应用情况：符合脆性材料的多向拉断试验，或 压应力不超过拉应力情况，如铸铁单向拉伸和 扭转；不能用于无拉应力的应力状态。
1．屈服原因： 形状改变比能uf，与应力状态无关；
2．强度准则：
1 uf ufu / ns ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 [ ] 2
屈服判据：
1 uf ufu ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
4．应用情况： 符合表面润滑石料的轴压破坏，某些 脆性材料压应力很大时的双向拉压状态。
§8-2
断裂准则
一、最大切应力理论(第三强度理论，Tresca准则) 不论材料处于何种应力状态，引起材料屈服的 原因是最大切应力max达到共同极限值s。
1．屈服原因： 最大切应力max，与应力状态无关； 2．强度准则： max s / ns 1 3 [ ]
[t]、[c]：许可拉、压应力； [ t ] 1 3 [ t ] 如[t]=[c]，退化为最大切 [ c ] 应力准则。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第08章 动载荷与交变应力
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d K d st [ ]
P
P P a g
△d表示动变形 △st表示静变形
当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比
m
FNst
m
FNd
rAg
x
rAg rAa
2 st 42st 8h st 2h d st (1 1 ) 2 st 2h d st ( 1 1 ) K d st
2
st
2h 为动荷因数 其中 K d 1 1
st
Fd d Kd P st
Fd K d P
第八章
动载荷与交变应力
中北大学理学院力学系
第一节 第二节 第三节 第四节
概述 构件受加速度作用时的动应力 构件受冲击时的动应力计算 疲劳破坏及其特点
第五节
第六节 第七节
材料的持久极限
影响构件持久极限的因素 构件疲劳强度计算
总结与讨论
第一节 概述
一、基本概念
1、静荷载:荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各 质点加速度很小,可略去不计. 2、动荷载: 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定 （包括大小、方向）,构件内各质点加速度较大. 3、交变应力：构件内的应力随时间作交替变化。 4、疲劳失效：构件长期在交变应力作用下，虽然最大工作应力 远低于材料的屈服极限，且无明显的塑性变形，却往往发生突 然断裂。
（The point changes his location periodically with time under an unchangeable load）
材料力学-第8章 强度理论
2 3 2
材料力学－第8章 强度理论
The end!
材料力学－第8章 强度理论
§9-2 关于断裂的强度理论
根据第二强度理论，无论材料处于什么应力状态， 只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元的最大 拉应变达到了某个共同的极限值。
2 1 3
max
= b
1 1 v( 2 3 ) E E
max
0 max
材料力学－第8章 强度理论
§9-2 关于断裂的强度理论
第一强度理论(最大拉应力理论) 第二强度理论(最大拉应变理论)
材料力学－第8章 强度理论
§9-2 关于断裂的强度理论
第一强度理论(最大拉应力理论)
第一强度理论又称为最大拉应力理论 （maximum tensile stress criterion），最早由英 国的兰金（ Rankine ． W ． J ． M ．）提出，他认 为引起材料断裂破坏的原因是由于最大正应力达 到某个共同的极限值。对于拉、压强度不相同的 材料，这一理论现在已被修正为最大拉应力理论。
适用材料及应力状态
缺点
没有考虑 2 , 3 的影响 不适合无拉应力 1 的状态
材料力学－第8章 强度理论
§9-2 关于断裂的强度理论
第二强度理论(最大拉应变理论)
第二强度理论又称为最大拉应变理论（maximum tensile strain criterion），它也是关于无裂纹脆性材 料构件的断裂失效的理论。
1
3
失效判据 强度条件
材料力学－第8章 强度理论
§9-3 关于屈服的强度理论
畸变能理论（第四强度理论）
材料力学第八章材料的摩擦与磨损性能
状误差。波纹度可用波高h （波峰与波谷之间的距 离）和波距s（相邻两波形对应点的距离）表征。
表面波纹度会减少零件实际支承表面面积，在 动配合中会引起零件磨损的加剧。
图8-3 表面波纹度示意图
3）表面粗糙度 （Surface Roughness） 微观几何形状误差，常以表面粗糙度来表示，该
参数有一维、二维和三维的形貌参数。 一维形貌通常用表面轮廓曲线的高度参数来表示。
式(8-如12选)可取得σ：m=H/3作为出现塑性变形的条件，代入
E
(
)1/2
0.78
HR 4
（8-13）
考虑到接触时，从完全弹性接触过渡到完全塑性 接触并非瞬时完成，需要有一个过程，可引入无量纲 的塑性指数 Q E ( )1/2 ，并认为：
HR
* 当塑性指数Q＜0.6（小于0.78，是因为接触面上的
（3）轮廓支承长度率tp 它是指在取样长度L内，一平 行于中线的线与轮廓相截后得到的各段截线长度之和
与取样长度L之比(图8-7)。p为轮廓最高峰点至截线间
的距离。
tP
abcd L
（8-5）
图8-7 轮廓支承长度曲线
（4）幅度分布 在取样长度L内，离中线z处作两条相 距为Δz并平行于中线的线，在两平行线内轮廓线段 的水平方向长度为a、b、c、d、…。a、b、c、d、… 的总和Lz与取样长度L的百分比称为该轮廓线在z处的 幅度密度。
（1）轮廓微观不平度的平均间距Sm，指在取样长度L 内轮廓在中线mm上含一个轮廓峰和相邻轮廓谷的中 线长度的算术平均值。
Sm
1 n
n i1
pmi
图8-5 轮廓微观不平度的平均间距
（2）轮廓单峰平均间距S，指在取样长度L内轮廓的
表面波纹度会减少零件实际支承表面面积，在 动配合中会引起零件磨损的加剧。
图8-3 表面波纹度示意图
3）表面粗糙度 （Surface Roughness） 微观几何形状误差，常以表面粗糙度来表示，该
参数有一维、二维和三维的形貌参数。 一维形貌通常用表面轮廓曲线的高度参数来表示。
式(8-如12选)可取得σ：m=H/3作为出现塑性变形的条件，代入
E
(
)1/2
0.78
HR 4
（8-13）
考虑到接触时，从完全弹性接触过渡到完全塑性 接触并非瞬时完成，需要有一个过程，可引入无量纲 的塑性指数 Q E ( )1/2 ，并认为：
HR
* 当塑性指数Q＜0.6（小于0.78，是因为接触面上的
（3）轮廓支承长度率tp 它是指在取样长度L内，一平 行于中线的线与轮廓相截后得到的各段截线长度之和
与取样长度L之比(图8-7)。p为轮廓最高峰点至截线间
的距离。
tP
abcd L
（8-5）
图8-7 轮廓支承长度曲线
（4）幅度分布 在取样长度L内，离中线z处作两条相 距为Δz并平行于中线的线，在两平行线内轮廓线段 的水平方向长度为a、b、c、d、…。a、b、c、d、… 的总和Lz与取样长度L的百分比称为该轮廓线在z处的 幅度密度。
（1）轮廓微观不平度的平均间距Sm，指在取样长度L 内轮廓在中线mm上含一个轮廓峰和相邻轮廓谷的中 线长度的算术平均值。
Sm
1 n
n i1
pmi
图8-5 轮廓微观不平度的平均间距
（2）轮廓单峰平均间距S，指在取样长度L内轮廓的
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学课件 第八章应力状态与强度理论
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
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材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
5
(1) 剪切的实用计算 在计算中，认为连接件的剪切面（图b、c）上各 点处切应力相等，即剪切面上的切应力为 FS As 式中，FS为剪切面上的剪力， As为剪切面的面积。 FS 强度条件 [ ] As 其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形 情况下的试验测得的破坏剪力除以安全因数确定。
23
例题 8-7
该截面上：FN,max=F=140 kN 由型钢规格表可查得每根 63 mm×6 mm 等边角钢 的横截面面积为7.29 cm2，故危险截面的净面积为 A = 2×(729 mm2 － 6 mm×16 mm) = 1266 mm2
从而得危险截面上的拉伸应力：
FN ,max 140 103 N 6 s 111 10 Pa 111 MPa 4 2 A 12.66 10 m
19
例题 8-7
此连接中的螺栓受双剪（图b），每个剪切面上 的剪力为 F /n F FS 2 2n 螺栓的剪切强度条件为
FS F / 2n 2 (140 103 N ) 6 2 130 10 Pa 3 2 As πd / 4 nπ(16 10 m)
从而求得所需的螺栓个数： n 2.68
组合变形及连接部分的计算
4
图a所示螺栓连接主要有三种 可能的破坏： Ⅰ. 螺栓被剪断(参见图b和图c)； Ⅱ. 螺栓和钢板因在接触面上受 压而发生挤压破坏（螺栓被压扁， 钢板在螺栓孔处被压皱）； Ⅲ. 钢板在螺栓孔削弱的截面处 全面发生塑性变形甚至拉断。 实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。
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§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
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例题 8-8
某钢桁架的一个节点如图a所示。斜杆A由两根63 mm×6 mm的等边角钢组成，受轴向力F =140 kN作 用。该斜杆用直径为d =16 mm螺栓连接在厚度为10 mm的结点板上，螺栓按单行排列。已知角钢、结点 板和螺栓材料均为Q235钢，许用应力为[s ]=170 MPa,[ ]=130 MPa,[sbs]=300 MPa。试选择所需 的螺栓个数，并校核角钢的拉伸强度。
bs
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解：4个螺栓分别承受的力可看作相等， Fs F 4 剪切强度校核
Fs F 2 52.64MPa [ ] 130MPa As d
1
挤压强度校核
s bs
Fbs F 90.91MPa [s bs ] 连接部分的计算
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课堂练习
承受拉力F=80kN的螺栓连接如图所示。 已知b=80mm，δ=10mm，d=22mm，螺 栓的许用切应力 [ ] 130MPa，钢板的许用挤 压应力 [s ] 300MPa ，许用拉应力 [s ] 170MPa 。 试校核接头的强度。
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(2) 挤压的实用计算
对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱 形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如 图c所示，而最大挤压应力sbs的值大致等于把挤压力 Fbs除以实际挤压面（接触面）在直径面上的投影。
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例题 8-7
F Fbs n
而挤压应力为
s bs
Fbs F / n (140 103 N ) / 3 Abs d (10 10 3 m )(16 10 3 m )
292 106 Pa 292 MPa 其值小于许用挤压应力[sbs] 300 MPa，满足 挤压强度条件。
其值小于许用拉应力[s ] = 170 MPa，满足拉伸强 度条件。
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课堂练习
承受拉力 F 80 kN 的螺栓连接如图所示。已 d 22 mm ，螺栓的许用切应 知 b 80mm ， 10 mm ， 力 [ ] 130MPa，钢板的许用挤压应力 [s ] 300MPa ，许 用拉应力 [s ] 170MPa 。试校核接头的强度。
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第 8 章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互 垂直平面内的弯曲
§8-2+ 平面弯曲的条件
§I-4 惯性矩和惯性积转轴公式· 截面的主惯性轴和主惯性矩
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2
§8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
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若作用于连接上的力其作用线通过铆钉组形心， 而且各铆钉的材料和直径均相同，则认为每个铆钉传 递相等的力，Fi= F / n。据此进行强度计算。
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当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力smax 可能出现在轴力最大即FN= FN,max所在的横截面上， 也可能出现在净面积最小的横截面上。
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II. 需保证连接处沿剪切面的剪切强度。 剪切面 强度条件为
FS K s [ ] As
式中，FS为剪切面上的剪力，在图示情况下， FS=FNcos ；As 为剪切面面积，图示情况下为 As=bl， 此处b为剪切面的宽度；[] 为木材的顺纹许用切应力； Ks为许用切应力的降低因数，用以考虑剪切面上切应力 沿长度分布不均匀，在木结构设计规范中，根据剪切面 长度l 与剪切面 “埋深” 之比有具体规定。
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需要注意的是，在双齿连接的剪切强度计算中，设计 规范规定剪切面面积As只取上面那个齿所对应的剪切 面面积。
Ⅲ. 需保证受拉杆件在截面被榫齿削弱处的拉伸强度。
在图示情况下，强度条件为
剪切面
FN cos s [s ] b( h )
式中，[s ] 为木材的顺纹许用拉应力。
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例题 8-7
3. 校核角钢的拉伸强度
斜杆上三个螺栓按 单行排列（图b）。图c 示出了该斜杆（含两角 钢）的受力图和轴力FN 图。 该斜杆在图c中所 示的m-m截面上轴力最 大，而净截面面积又最 小，故为危险截面。
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拉伸强度校核 在一个螺栓孔所在截面
，
FN F
A b d
s1
FN F 137.9MPa [s ] A b d
在二个螺栓孔所在截面
，
FN
3 F 4
A b 2d
s2
FN 3F 166.7 MPa [s ] A 4b 2d
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例题 8-7
解: 1. 按剪切强度条件选择螺栓个数 由于此连接中各螺栓的材料和直径相同，且 斜杆上的轴向力其作用线通过该组螺栓的截面形 心，故认为每个螺栓所受的力相等，设螺栓个数 为n，则每个螺栓所受的力为F/n。
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bs
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解：4个螺栓分别承受的力可看作相等， 剪切强度校核 挤压强度校核
Fs
1 F 4
Fs F 2 52.64MPa [ ] 130MPa As d
s bs
Fbs F 90.91MPa [s bs ] 300MPa Abs 4
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铆钉连接主要有三种方式：1.搭接（图a），铆 钉受单剪；2.单盖板对接（图b），铆钉受单剪；3. 双盖板对接（图c），铆钉受双剪。
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销钉连接和螺栓连接的分析计算方法与铆钉连接 相同。至于在螺栓连接中使用高强度螺栓，将螺帽拧 得很紧以利用螺栓的预紧力藉钢板之间的摩擦力来传 递连接所受外力，则不属于这里讨论的范围。
取 n =3
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例题 8-7
2. 校核挤压强度 由于结点板的厚度（10 mm）小于两根角钢肢 厚度之和（2×6 mm）,所以应校核螺栓与结点板之 间的挤压强度。每个螺栓所传递的力为 F/n ，亦即 每个螺栓与结点板之间的挤压压力为
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7
故挤压应力为
Fbs s bs d
式中， 为挤压面高度，d 为螺栓或铆钉的直径。 挤压强度条件为
s bs [s bs ]
其中的许用挤压应力[sbs]也是通过直接试验，由挤 压破坏时的挤压力除以安全因数确定的。
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应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间 的相互作用，因而当两者的材料不同时，应校核许 用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便 于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。