运筹学11 灵敏度分析 b
运筹学选择判断题答案
一、选择题（每小题3分）1. （线性规划问题的数学模型形式）线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（ D ）三个部分组成。
A. 非负条件B. 顶点集合C. 最优解D. 决策变量2.（线性规划问题的标准形式）在线性规划问题的标准形式中，不可能存在的变量是（D ）。
A．决策变量B．松驰变量 C．剩余变量 D．人工变量3.（同上）将线性规划问题转化为标准形式时，下列说法不正确的是（ D ）。
Ａ.如为求z的最小值，需转化为求-z的最大值Ｂ.如约束条件为≤，则要增加一个松驰变量Ｃ.如约束条件为≥，则要减去一个剩余变量Ｄ.如约束条件为＝，则要增加一个人工变量4.（同上）下列选项中不符合线性规划模型标准形式要求的有（B ）。
A．目标函数求最大值 B．右端常数无约束 C．变量非负 D．约束条件为等式5.（线性规划问题解的情况）线性规划问题若有最优解，则最优解（ C ）。
A.只有一个B.会有无穷多个C. 唯一或无穷多个D.其值为06.（图解法）用图解法求解一个关于最小成本的线性规划问题时，若其等值线与可行解区域的某一条边重合，则该线性规划问题( A )。
A．有无穷多个最优解 B.有有限个最优解C．有唯一的最优解D．无最优解7.（图解法）图解法通常用于求解有（B）个变量的线性规划问题A.1B.2C.4D.58.（单纯形法求解线性规划问题的几种特殊情况）若线性规划问题的最优解不唯一，则在最优单纯形表上（ B ）。
A. 非基变量的检验数都为零B. 非基变量检验数必有为零C. 非基变量检验数不必有为零者D. 非基变量的检验数都小于零9.（同上）线性规划具有多重最优解是指（ B ）。
A.目标函数系数与某约束系数对应成比例B.最优表中存在非基变量的检验数为零C.可行解集合无界D.基变量全部大于零10.（同上）线性规划具有唯一最优解是指（ A ）A.最优表中非基变量检验数全部非零B.不加入人工变量就可进行单纯形法计算C.最优表中存在非基变量的检验数为零D.可行解集合有界11.（单纯形法）单纯形法当中，入基变量的确定应选择检验数（C ）A.绝对值最大B.绝对值最小C. 正值最大D. 负值最小12.（单纯形法）出基变量的含义是（ D ）A . 该变量取值不变 B.该变量取值增大 C. 由0值上升为某值 D.由某值下降为013.(单纯形法之人工变量)在约束方程中引入人工变量的目的是（ D ）A.体现变量的多样性B. 变不等式为等式C.使目标函数为最优D. 形成一个单位阵14. (单纯形法之大M法)求目标函数为最大的线性规划问题时，若全部非基变量的检验数小于等于零，且基变量中有人工变量时该问题有（B ）A.无界解B.无可行解C. 唯一最优解D.无穷多最优解15（灵敏度分析）若线性规划问题最优基中某个基变量的目标系数发生变化，则（C ）A．该基变量的检验数发生变化 B．其他基变量的检验数发生变化C．所有非基变量的检验数发生变化D．所有变量的检验数都发生变化16（灵敏度分析）线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（D ）的影响。
灵敏度分析(运筹学)
最优基不变，即在最终表中求得的经过变化后 的b列的所有元素要求不小于0
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 θ
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 原最优基不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量 ，扩大原 单纯形表继续计算
资源数量变化是指资源中某系数 br 发生变化，即 br′=br+Δ br。并假设规划问题的其他系数都不变。 这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δ b) 这里 Δ b=(0,… ， Δ br,0,… ， 0)T 。只要 XB′≥0 ， 因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优 解的值发生了变化，所以 XB′ 为新的最优解。新 的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。
(d) (e) -2
· · ·
1 0 0
0 1 0
cj - zj
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
x2
x3
x4
x5
(g) (h) 0
2 (i) 7
-1 1 (j)
1/2 1/2 (k)
0 1 (l)
--7--
--第2章 对偶问题--
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场 条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的 改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定 的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个 或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生 变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹学_第11讲 灵敏度分析1
第20页
例1-2 分析λi分别在什么范围变化时，最优基不变？
max z = 2x1 + 3x2
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>： Y*T= CBB-1
第7页
分析 cj 的变化 c j c j c j
基变量 基变量 基可
系数
行解
基变量 XB
CB
XB B-1b
I
非基变量
XN
Xs
B-1N
B-1
Y*T= CBB-1
最c j优值z j可 原问题 能对已偶变问题
0 CN－CBB-1N －CBB-1 Z*=CBB-1b 结论或继续计算的步骤
得最优解为：
cj zj
0 0 0 1/ 4 1/ 2
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且 zmax=8.5(百元)。
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润 增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
max z = 21x.51x+1x+22x2 s.t. 5x2 ≤15
6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5
x1, x2 ≥0
因有非基变量的检验数大于零
需继续用单纯形法迭代计算，
cj CB 基 b
1.25 21 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 15/ 2 0 0 1 5/ 4 15/ 2
原问题 对偶问题值可能已变结论或继续计算的步骤
0 可行解 可行解 问题的最优解或最优基不变
可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解
运筹学考试资料
一、单项选择题1、下列叙述正确的是（）。
A．线性规划问题，若有最优解，则必是一个基变量组的可行基解B．线性规划问题一定有可行基解C．线性规划问题的最优解只能在最低点上达到D．单纯形法求解线性规划问题时，每换基迭代一次必使目标函数值下降一次答案：A2、数学规划的研究对象为（）。
A．数值最优化问题 B．最短路问题 C．整数规划问题 D．最大流问题答案：A3、下列方法中可以用来求解部分树的方法的为（）。
A．闭回路法 B．破圈法 C．踏石法 D．匈牙利算法答案：B4、把各种备选方案、可能出现的状态和概率以及产生的后果绘制在一张图上，称为（）。
A．决策树 B．最大流 C．最小支撑树 D．连通图答案：A5、以下说法中，不属于无概率决策问题（不确定型决策问题）的特点的为（）。
A．决策人面临多种决策方案B．对每个决策方案对应的几个不同决策状态无法估计其出现概率的大小C．仅凭个人的主观倾向和偏好进行方案选择D．未来情况和条件出现的概率已知答案：D6、线性规划问题中决策变量应为（）。
A．连续变量 B．离散变量 C．整数变量 D．随机变量答案：A7、线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（）三个部分组成。
A．非负条件 B．顶点集合 C．最优解 D．决策变量答案：D8、典型的无概率决策准则，不包括（）。
A．乐观准则 B．折中准则 C．等可能准则 D．最大后悔值准则答案：D9、以下说法中不正确的为（）。
A．完成各个作业需要的时间最长的路线为关键路线 B．关键路线上的作业称为关键作业C．所有关键作业的总时差为0 D．以上说法均不正确答案：D10、（）也称小中取大准则。
这是一种在不确定型决策问题中，充分考虑可能出现的最小收益后，在最小收益中再选取最大者的保守决策方法。
A．悲观准则 B．折中准则 C．等可能准则 D．后悔值准则答案：A11、当某个非基变量检验数为零，则该问题有（）。
A．无解B．无穷多最优解C．退化解D．惟一最优解答案：B12、假设对于一个动态规划问题，应用顺推法以及逆推解法得出的最优解分别为P和D，则有（）。
运筹学 选择题
运筹学选择题1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的（）上达到。
A. 内点B. 外点C. 顶点D. 边界答案：C解析：线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点上达到。
2. 求解线性规划问题时，若最优解不唯一，则（）。
A. 存在无穷多个最优解B. 目标函数值无界C. 没有可行解D. 以上都不对答案：A解析：若最优解不唯一，则存在无穷多个最优解。
3. 对于标准型的线性规划问题，其可行域（）。
A. 有界B. 无界C. 可能有界也可能无界D. 是凸集答案：D解析：标准型线性规划问题的可行域是凸集。
4. 用单纯形法求解线性规划问题时，判断当前解是否为最优解的依据是（）。
A. 检验数B. 基变量C. 非基变量D. 目标函数值答案：A解析：根据检验数来判断当前解是否为最优解。
5. 在对偶问题中，若原问题的约束条件为等式，则对偶变量（）。
A. 无约束B. 大于零C. 小于零D. 等于零答案：A解析：若原问题的约束条件为等式，则对偶变量无约束。
6. 原问题与对偶问题都有可行解，则（）。
A. 原问题与对偶问题都有最优解B. 原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解C. 对偶问题有最优解，原问题可能没有最优解D. 原问题与对偶问题都可能没有最优解答案：A解析：原问题与对偶问题都有可行解时，原问题与对偶问题都有最优解。
7. 运输问题中，若某一非基变量的检验数为零，则该问题（）。
A. 无最优解B. 有无穷多最优解C. 有唯一最优解D. 以上都不对答案：B解析：某一非基变量的检验数为零，有无穷多最优解。
8. 求解运输问题时，常用的方法是（）。
A. 单纯形法B. 表上作业法C. 匈牙利法D. 以上都不对答案：B解析：求解运输问题常用表上作业法。
9. 动态规划的最优性原理是（）。
A. 子问题的最优解可以组合成原问题的最优解B. 原问题的最优解包含子问题的最优解C. 无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略D. 以上都不对答案：C解析：动态规划的最优性原理是无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
常见的运筹学灵敏度分析
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
*Big M
0
0
0
0
0
0
23
2、增加新约束的灵敏度分析 Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000
运筹学灵敏度分析(最全版)PTT文档
c + c YP 表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯形法求最优解。
1、代表产品的单位利润或单位售价时，灵敏j度分析可用于j 预先确定保j持现有生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。
解题步骤：先用单纯形法解题，然后考虑参数变化，最后确定变化范围。
△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
br bi / air ;
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air < 0
br bi / air
得到公式:
5=-8, △b2≤2/0.
ma ab ix irai{r0} brm iab inira{ ir0}
（2）当cr是基底变量xr的系数，即cr CB，cr变化 cr后，有
故△c2的变化范围:
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子 价格为元。若该厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品， 求这时该厂生产两种产品的最优方案。
表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯 形法求最优解。
最优解见下表
cj
CB XB b 2 x1 4 0 x3 2 3 x2 3
cj-zj
230 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 0.25 0 0 0 1 -0.25 -05 0 1 0 0 0.25 0 0 0 -0.5 -0.75
5=-8, △b2≤2/0.
2每台3设例备0台：时的0求影子0第价格一为元章。 例题中当第二个约束条件b2变化范围△b2。
△c2≥-1.
每台设备台时的影子价格为元。
设基变量x2的系数c2变化△c2，在原最优解不变的条件下，确定△c2的变化范围。
x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 -0.
运筹学灵敏度分析
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
单击此处添加小标题
资源价格（元/吨）
单击此处添加小标题
资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
浙大《运筹学》在线作业
1. 在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则该问题有（）A. 无界解B. 唯一最优解C. 无可行解D. 无穷多最优解2. 用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）A. 原解B. 上界C. 下界D. 最优解3. 在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起某变量的检验数的变化，这个变量是（）A. 基变量B. 非基变量C. 决策变量D. 该非基变量自身4. 数学模型中，“s·t”表示（）A. 目标函数B. 约束C. 目标函数系数D. 约束条件系数5. 线性规划灵敏度分析应在( )的基础上，分析系数的变化对最优解产生的影响。
A. 对偶问题初始单纯形表B. 对偶问题最优单纯形表C. 初始单纯形表D. 最优单纯形表6. 线性规划问题是求极值问题，这是针对（）A. 约束B. 决策变量C. 秩D. 目标函数7. 在任一个树中，点数比它的边数多（）A. 4B. 1C. 3D. 28. 下面几种情形中，不可能是线性规划数学模型的约束条件形式的是A. =B. ＜C. ≥D. ≤9. 若原问题是一标准型，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中松弛变量的（）A. 值B. 个数C. 机会费用D. 检验数10. 运筹学作为一门现代的新兴科学，起源于第二次世界大战的（）A. 工业活动B. 军事活动C. 政治活动D. 商业活动11. 灵敏度分析研究的是线性规划模型中两个数据之间的变化和影响，这两个数据是原始数据和（）A. 决策变量B. 松弛变量C. 基本解D. 最优解12. 用运筹学分析与解决问题的过程是一个（）A. 预测过程B. 科学决策过程C. 计划过程D. 控制过程13. 关于图论中的图，以下叙述不正确的是（）A. 图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B. 图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
运筹学课件灵敏度分析
运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
运筹学11-灵敏度分析-b
Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
x1＋3x2 ≤ 8 B G
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是 2×0＋2.67＝2.67 F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• 不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ • 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70 如果A工作能力增加到20小时？
最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态 b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列
正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限
Cj
58 6 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
5 x1 1 0 0 2 －1 4
8 x2 0 1 1 －1 1 8
运筹学-扰动、参数规划和灵敏度分析(名校讲义)
§1 扰动及参数规划 （7）
C )T －(Y 0 )T (M )]M －1
T
C ( X ) ( C ) X
T
T
(Y 0 )T b (Y )T b
最后，推导一下M阵扰动 M后，其逆阵M －1=U之扰动 U。 推导可得：
§2 保持最优基时的参数灵敏 度分析 （5）
表1-7 初始单纯形表格
Vi a1 a2 a3 a4 a5 a6 b
基变量
x4 x5 x6
x1
6 10 1
j
x2
5 20 0 4.5
x3
8 10 0 6
x4
1
x5
1
x6
60 150 8 0
1
0 0 0
cj－zj = c
5
§2 保持最优基时的参数灵敏 度分析 （6）
b'i bi ik bk
(i 1,, m)
§2 保持最优基时的参数灵敏 度分析 （15）
这说明，当bk变为bk+bk时，最优表格中，只有右边常数项
元素发生变化 ，为仍保持最优，必须使右边常数列元素全 ≥0。所以得： ik bk b,则得： i
bi bi max ik 0 bk min ik 0 i i ik ik
U M 1 (M )U U (M )U
§2 保持最优基时的参数灵敏 度分析 （1）
为分析方便，举一实例说明。
[例1-29] 某车间生产3种产品，产品型号为I，Ⅱ，Ⅲ，每 件产品消耗机时分别为6，5和8小时，占有存储空间分别 为10，20和10；其利润分别为5，4.5和6。此外，I型产品 限制量为≤8。车间共有机时和存储空间分别为60和150。 问该车间应生产各类产品多少件才能获得最大利润？
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学第二章灵敏度分析
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
2 x
2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2 400 x3
x1 2 x3 4
s.t
.
2 3
x2 x1
x3 2x
12 2 x3
18
x1 , x2 , x3 0
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
0<=c1<=750
x2
8
7 6
5
4
3
2
可行域
1
c1=0(z=0x1+500x2) c1=300(z=300x1+500x2)
约束条件系数 a i j 变化的灵敏度分析
变量 x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
只有一个系数cc j j 发生变化，即其他条件均不变，把
300 改成 500
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x x
2 1
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？
假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
《运筹学》-期末考试-试卷A-答案
《运筹学》试题样卷（一）题号一二三四五六七八九十总分得分X）1. 无孤立点的图一定是连通图。
2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量。
6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
7. 度为0的点称为悬挂点。
8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨某农场有100公顷土地与15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。
如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/ 人日，秋冬季收入为20元/ 人日。
该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元/ 每头奶牛。
养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元/ 每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。
三种作物每年需要的人工与收入情况如下表所示：大豆玉米麦子秋冬季需人日数春夏季需人日数年净收入（元/公顷）205030003575410010404600试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中为松弛变量，问题的约束为形式（共8分）5/201/211/2０5/21－1/2－1/61/30－４0－４－２(1)写出原线性规划问题；（4分）(2)写出原问题的对偶问题；（3分）(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。
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x1
Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
2×0＋2.67＝2.67
x1＋3x2 ≤ 8 B G C D F F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
如果机器A工作能力从8小时增加到13小时，将如何影响受益 因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70
如果A工作能力增加到20小时？ 最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态
3
灵敏度分析应用 灵敏度分析，可以应用于以下问题
如果机器1的工作能力由8h提高到14h，如何影响最优受益？ 如果企业能够增加这两种机器的能力1h，应该先增加哪一个？ 如果产品价格变化，是否还要保持生产计划？
……
Operational Research
4
灵敏度分析包括
b 分析 C 分析 A 分析
出约束条件中最小的负数， 入检验行中最小的正比值。 （检验数是负数，但比值没有倒换，仍要正值） （4）枢轴变换。（依然是行变换） （5）检验约束条件是否都大于零。
CB
5 0
XB
x1 X2
在改变最优基的情况下，继续求解 例如，Δ b 为“9”
Cj CB XB
5 x1
8 x2
6 x3
0 x4
0 x5
b 22
-1 84 b 20 1
最优基也因此改变
适合用对偶单纯形法求解
（1）填入数字
5
8
x1
x2
1
0 0 5
0
1 0 8
0
1 -2 6
2
－1 -2 0
－1
1 －3 0
检验数 Cj
（2-3）先出后入。
x1
Operational Research
10
图解灵敏度分析案例（约束b）
解决以下几个问题 如果公司能够增加两种机器的能力，哪种机器应该有更高的优先权？ A 的变化率为 14 USD/h B 的变化率为
〔（30×0＋20×8）－（30×4＋20×0）〕/（24－4）＝2 USD/h
要以10美元/小时增加机器A和机器B的能力，合算吗
13
代数灵敏度分析（约束b）
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列 正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限 数字法： XB’= B-1（b+Δ b）≥0
CB 5 8 Cj XB x1 x2 5 x1 1 0 0 8 x2 0 1 0 6 x3 0 1 -2 0 x4 2 －1 -2 0 x5 －1 1 －3
Operational Research
5
右端项 b 的变化分析
某公司在两台机器上生产两种产品，产品1需要2小时机器 A和1小时机器B，对于产品2需要1小时机器A和3小时机器B。 机器均只能工作 8 小时。每单位产品1受益30美元，每单位产
品2受益20美元。
B的变化意味着什么实际问题？ 在图解法中，产生了怎样的变化？
Operational Research
1
提纲
简要复习之前学习到的知识：图解法、单纯形法、对偶问题、对偶原理和对偶单纯形 • • • 什么是灵敏度分析？灵敏度分析的应用 灵敏度分析的图解方法 复习单纯形方法的向量表达形式，灵敏度分析的代数方法
Operational Research
2
什么是灵敏度分析？
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• •
不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
Operational Research
12
代数灵敏度分析（约束b）
原解 XB = B-1b 新解 XB’= B-1（b+Δ b） 新解需要大于等于零。原因是？解大于等于零
例题（例1-28，P45）
先看书上的方法， 然后按照上式来处理。
Operational Research
斜率？截距？
x1
Operational Research
7
图解灵敏度分析（约束b）
可以用图解法作如下表达
最优解为
X1＝3.2；X2＝1.6 最优值为 Z＝128
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
如果机器A的约束条件为9
则最优解为 x1＋3x2 ≤ 8 X1＝3.8；X2＝1.4 最优值为 Z＝142 机器A多生产了1h，收益增 加14美元。 是不是每多生产1h，都可以 增益14美元呢？
b 4 8 84
检验数
2 b 8
2 1 12 b 24 2b - 20 0 1 1 20 0,即 -12 - b 20 0
Operational Research
14
代数灵敏度分析（约束b）
max z 30x1 20x2 机器A： 2 x1＋x2 8 机器B： x1＋3 x2 8 x1， x2 0
Operational Research
6
图解灵敏度分析（约束b）
可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
约束条件怎样变化？ x1＋3x2 ≤ 8 Z = 30x1＋20x2
x1
Operational Research
9
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
E
类似地，机器B的限定范围为： 2x1＋x2 ≤ 8 2x1＋x2 ≤ 9 从E到D， E（0.8）约束＝1×0＋3×8＝24 D（4,0）约束＝1×4＋3×0＝4 〔4,24〕
x1＋3x2 ≤ 8 B G C D F