运筹学11 灵敏度分析 b

b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
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代数灵敏度分析（约束b）
原解 XB = B-1b 新解 XB’= B-1（b+Δ b） 新解需要大于等于零。原因是？解大于等于零
例题（例1-28，P45）
先看书上的方法， 然后按照上式来处理。
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x1
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图解灵敏度分析案例（约束b）
解决以下几个问题 如果公司能够增加两种机器的能力，哪种机器应该有更高的优先权？ A 的变化率为 14 USD/h B 的变化率为
〔（30×0＋20×8）－（30×4＋20×0）〕/（24－4）＝2 USD/h
要以10美元/小时增加机器A和机器B的能力，合算吗
x1
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图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
E
类似地，机器B的限定范围为： 2x1＋x2 ≤ 8 2x1＋x2 ≤ 9 从E到D， E（0.8）约束＝1×0＋3×8＝24 D（4,0）约束＝1×4＋3×0＝4 〔4,24〕
x1＋3x2 ≤ 8 B G C D F
出约束条件中最小的负数， 入检验行中最小的正比值。 （检验数是负数，但比值没有倒换，仍要正值） （4）枢轴变换。（依然是行变换） （5）检验约束条件是否都大于零。
CB
5 0
XB
x1 X2
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提纲
简要复习之前学习到的知识：图解法、单纯形法、对偶问题、对偶原理和对偶单纯形 • • • 什么是灵敏度分析？灵敏度分析的应用 灵敏度分析的图解方法 复习单纯形方法的向量表达形式，灵敏度分析的代数方法
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什么是灵敏度分析？
x1
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图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
2×0＋2.67＝2.67
x1＋3x2 ≤ 8 B G C D F F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• •
不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
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如果机器A工作能力从8小时增加到13小时，将如何影响受益 因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70
如果A工作能力增加到20小时？ 最优解产生于F点
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代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态
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右端项 b 的变化分析
某公司在两台机器上生产两种产品，产品1需要2小时机器 A和1小时机器B，对于产品2需要1小时机器A和3小时机器B。 机器均只能工作 8 小时。每单位产品1受益30美元，每单位产
品2受益20美元。
B的变化意味着什么实际问题？ 在图解法中，产生了怎样的变化？
在改变最优基的情况下，继续求解 例如，Δ b 为“9”
Cj CB XB
5 x1
8 x2
6 x3
0 x4
0 x5
b 22
-1 84 b 20 1
最优基也因此改变
适合用对偶单纯形法求解
（1）填入数字
5
8
x1
x2
1
0 0 5
0
1 0 8
0
1 -2 6
2
－1 -2 0
－1
1 －3 0
检验数 Cj
Fra Baidu bibliotek
（2-3）先出后入。
斜率？截距？
x1
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图解灵敏度分析（约束b）
可以用图解法作如下表达
最优解为
X1＝3.2；X2＝1.6 最优值为 Z＝128
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
如果机器A的约束条件为9
则最优解为 x1＋3x2 ≤ 8 X1＝3.8；X2＝1.4 最优值为 Z＝142 机器A多生产了1h，收益增 加14美元。 是不是每多生产1h，都可以 增益14美元呢？
b 4 8 84
检验数
2 b 8
2 1 12 b 24 2b - 20 0 1 1 20 0,即 -12 - b 20 0
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代数灵敏度分析（约束b）
max z 30x1 20x2 机器A： 2 x1＋x2 8 机器B： x1＋3 x2 8 x1， x2 0
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图解灵敏度分析（约束b）
可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
约束条件怎样变化？ x1＋3x2 ≤ 8 Z = 30x1＋20x2
3
灵敏度分析应用 灵敏度分析，可以应用于以下问题

如果机器1的工作能力由8h提高到14h，如何影响最优受益？ 如果企业能够增加这两种机器的能力1h，应该先增加哪一个？ 如果产品价格变化，是否还要保持生产计划？
……
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灵敏度分析包括
b 分析 C 分析 A 分析
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代数灵敏度分析（约束b）
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列 正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限 数字法： XB’= B-1（b+Δ b）≥0
CB 5 8 Cj XB x1 x2 5 x1 1 0 0 8 x2 0 1 0 6 x3 0 1 -2 0 x4 2 －1 -2 0 x5 －1 1 －3