2019届福建省泉州市高三第二次(5月)质检数学(理)试题(解析版)
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15．已知双曲线 的中心为 ，左、右顶点分别为 ，左、右焦点为 ，过 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点．若 ， ，则 的离心率等于_________．
法官乙民事庭维持原判的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率为 ，总体上维持原判的案件率为 ．
所以 ， ， ．选D．
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10．定义在 上的函数 ，其导函数为 ，且 ， ，若当 时， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，利用函数的奇偶性和导数，求得 在 单调递增，在 单调递减．
解法一：求得 ， ，利用单调性，即可比较；
解法二：由条件 可得 在 单调递减，在 单调递增，且 关于 对称， ， ，利用单调性，即可比较，得到答案．
14．某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理等6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有_________．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】可分为两种情况：化学、生物两门中选修一门，其余四科中选两门和化学、生物两门中选修两门，其余四科中选一门，再利用分类计数原理，即可求解．
解法二：由条件可得 在 单调递减，在 单调递增，且 关于 对称．
， ，
因为 ，且
所以 即 ，
即 ，
又 无法确定符号，所以C，D错．故选B．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中根据函数的性质，及导函数的符号得出原函数的单调性，进而利用函数的对称性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
11．已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，其底面边长为 ， 分别为侧棱 的中点．若 在三棱锥 内，且三棱锥 的体积是三棱锥 体积的3倍，则平面 截球 所得截面的面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正三棱锥 中，依题 ，求得 ，设球的半径为 ，在 中，由勾股定理解得 ，又由 平面 ，求得 ，设平面 截球 所得截面的半径为 ，在 △ ，求得 ，利用圆的面积公式，即可求解．
5．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，准线为 ， 为坐标原点，点 在 上，直线 与 交于点 ．若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点 作 垂直 于 ，得到 ,则 中，可得 ，即可求解．
【详解】
由题意，过点 作 垂直 于 ，如图所示，
因为 ，所以 ,
则 中， ， ，
由抛物线的定义，可得 ，
选C．
2．已知等比数列 满足 ， ，则其前6项的和为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等比数列通项公式求得等比数列的首项和公比，再利用求和公式，即可求解．
【详解】
由题意，等比数列 满足 ， ，
则 ，所以 ，所以 ，所以 ．选B．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
【详解】
由题意，取 中点 ，由于 ， ，根据线面垂直的判定定理，得 平面 ， 平面 ，所以 ，故①正确；
假设 平面 ，则 ，又 ，这不可能，故②错误；
由 ，当平面 平面 时， 达到最大，此时 ，故③正确.故选B．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及三棱锥体积的最值问题，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的结构特征求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
【详解】
如图所示，平面 截球 所得截面的图形为圆面．
正三棱锥 中，过 作底面的垂线 ，垂足为 ，与平面 交点记为 ，
连接 ，依题 ，所以 ，
设球的半径为 ，在 中， ，
由勾股定理得 ，解得 ．
由于平面 平面 ，所以 平面 ，球心 到平面 的距离为 ，则 ，设平面 截球 所得截面的半径为 ，
在 △ ， ，
【详解】
由题意，可知化学、生物两门中至少选修一门，可分为两种情况：
当化学、生物两门中选修一门，其余四科中选两门，共有 种；
当化学、生物两门中选修两门，其Baidu Nhomakorabea四科中选一门，共有 种；
综上可知，化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法共有 ．
【点睛】
本题主要考查了分类计数原理和组合数的应用，其中解答中认真审题，合理分类，利用组合和计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．已知等边△ 的边长为2，现把△ 绕着边 旋转到△ 的位置．给出以下三个命题：①对于任意点 ， ；②存在点 ，使得 平面 ；③三棱锥 的体积的最大值为1.以上命题正确的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】取 中点 ，根据线面垂直的判定定理，得 平面 ，进而得到 ，所以①正确；
假设 平面 ，根据线面垂直的性质，得出矛盾，所以②错误；由棱锥的体积公式，判定平面 平面 时， 达到最大，即可得到③正确，即可得到答案．
法官甲
法官乙
终审结果
民事庭
行政庭
合计
终审结果
民事庭
行政庭
合计
维持
29
100
129
维持
90
20
110
推翻
3
18
21
推翻
10
5
15
合计
32
118
150
合计
100
25
125
记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，则下面说法正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，根据品滚石的计算公式，可得 ，
设收集的48个准确数据分别记为 ，
则
，
，
故 ．选A．
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义和直角三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 ，则
②若 与 有三个交点；
③若 当 与 相切时，
设切点为 则 ，即
解得 ，两图像要有四个交点，则 ．
综上实数 的取值范围是 ，故选B．
解法二：由于 ，方程 等价于 ，
即依题意 与 图像有四个交点．
令 ，
当 ， 得 ．
当 时 单调递增，当 时， 单调递减，
当 时， 当 时，
又当 时， 得 ，
当 时， 单调递减，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一：把方程 有四个实数根，转化为函数 与 图像有四个不同的交点．分别求得当 时，函数 单调性与极值和当 时，函数 单调性与极值，作出图象，结合图象即可求解；
解法二：由方程 等价于 ，转化为 与 图像有四个交点，令 ，分别求得当 和 时，函数的单调性与极值，结合图象，即可求解．
2019届福建省泉州市高三第二次（5月）质检数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据对数的运算和一元二次不等式解法求得集合 ，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】
由题意集合 ， 或 ，
所以 ，则 ．选D．
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中根据对数的运算性质和一元二次不等式的解法求得集合 ，再根据集合的混合运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．
故 ， ，
所以 ．选B．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
4．英国统计学家E．H．辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论．有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉．记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：
所以截面圆的面积为 ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了球的性质，以及球的组合体的结构特征的应用，其中解答中根据球的性质，以及利用直角三角形的勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
12．已知函数 若方程 有四个不等的实数根，则实数 的取值范围是( )
当 时， 单调递增， 极小值为 ，
当 时， 当 时，
所以 与 图像有四个交点时 故选B．
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数零点问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值，结合图象，进而求出参数的取值范围；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
【详解】
由题意，函数满足 ，即函数 为奇函数，图象关于原点对称，
由导数的几何意义可知，函数 的图像关于 轴对称，所以 为偶函数，
所以 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减．
解法一： ， ．
因为 ，所以即 ，所以A错；
因为 ，所以即 ，所以B对；
又 无法确定符号，所以C，D错．故选B．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点 的横坐标为 ，所以 ，解得 ，
所以 的最小正周期 ，不妨令 ， ，由周期 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
令 ，解得 ，当 时， ，即函数 的一个对称中心为 ，即函数 的图象关于点 成中心对称．故选B．
【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
9．函数 的部分图象如图中实线所示，图中圆 与 的图象交于 两点，且 在 轴上，则下列说法中正确的是
A．函数 的最小正周期是
B．函数 的图象关于点 成中心对称
C．函数 在 单调递增
D．函数 的图象向右平移 后关于原点成中心对称
【答案】B
【解析】根据函数的图象，求得函数 ，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【解析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为 ， ，行政庭维持原判的案件率 ， ，总体上维持原判的案件率为 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率 ，总体上维持原判的案件率为 ；
【详解】
解法一：方程 有四个实数根，
等价于 与 图像有四个不同的交点．
当 时， 解得 ．
当 ， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 极大值为
当 时， 当 时，
当 时， ， 解得 （舍正），
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 极大值为
当 时， 当 时，
作出函数 的草图，如图：
①若 与 不可能有四个交点；
二、填空题
13． =_________．
【答案】
【解析】根据复数的运算法则，准确化简，即可求解．
【详解】
解法一：根据复数的运算，可得 ．
解法二：根据复数的运算，化简得 ．
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记复数的基本运算公式，合理准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8．已知向量 满足 ， ， 与 垂直，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据向量的模与数量积的运算，求得 ，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】
由题意知 与 垂直，则 ，可得 ．
又由 ，
所以当 时， 取得最小值1．故选B．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．若 满足约束条件 则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出约束条件所表示的可行域，根据 表示可行域内点与定点 连线的斜率，结合图象确定最优解，即可得到答案．
【详解】
由题意，画出约束条件所对应的可行域，如图所示，
因为 表示可行域内点与定点 连线的斜率，
结合图象，可得 ，
联立方程 得点 ，联立方程 得点 ，
法官乙民事庭维持原判的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率为 ，总体上维持原判的案件率为 ．
所以 ， ， ．选D．
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10．定义在 上的函数 ，其导函数为 ，且 ， ，若当 时， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，利用函数的奇偶性和导数，求得 在 单调递增，在 单调递减．
解法一：求得 ， ，利用单调性，即可比较；
解法二：由条件 可得 在 单调递减，在 单调递增，且 关于 对称， ， ，利用单调性，即可比较，得到答案．
14．某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理等6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有_________．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】可分为两种情况：化学、生物两门中选修一门，其余四科中选两门和化学、生物两门中选修两门，其余四科中选一门，再利用分类计数原理，即可求解．
解法二：由条件可得 在 单调递减，在 单调递增，且 关于 对称．
， ，
因为 ，且
所以 即 ，
即 ，
又 无法确定符号，所以C，D错．故选B．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中根据函数的性质，及导函数的符号得出原函数的单调性，进而利用函数的对称性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
11．已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，其底面边长为 ， 分别为侧棱 的中点．若 在三棱锥 内，且三棱锥 的体积是三棱锥 体积的3倍，则平面 截球 所得截面的面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正三棱锥 中，依题 ，求得 ，设球的半径为 ，在 中，由勾股定理解得 ，又由 平面 ，求得 ，设平面 截球 所得截面的半径为 ，在 △ ，求得 ，利用圆的面积公式，即可求解．
5．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，准线为 ， 为坐标原点，点 在 上，直线 与 交于点 ．若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点 作 垂直 于 ，得到 ,则 中，可得 ，即可求解．
【详解】
由题意，过点 作 垂直 于 ，如图所示，
因为 ，所以 ,
则 中， ， ，
由抛物线的定义，可得 ，
选C．
2．已知等比数列 满足 ， ，则其前6项的和为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等比数列通项公式求得等比数列的首项和公比，再利用求和公式，即可求解．
【详解】
由题意，等比数列 满足 ， ，
则 ，所以 ，所以 ，所以 ．选B．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
【详解】
由题意，取 中点 ，由于 ， ，根据线面垂直的判定定理，得 平面 ， 平面 ，所以 ，故①正确；
假设 平面 ，则 ，又 ，这不可能，故②错误；
由 ，当平面 平面 时， 达到最大，此时 ，故③正确.故选B．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及三棱锥体积的最值问题，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的结构特征求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
【详解】
如图所示，平面 截球 所得截面的图形为圆面．
正三棱锥 中，过 作底面的垂线 ，垂足为 ，与平面 交点记为 ，
连接 ，依题 ，所以 ，
设球的半径为 ，在 中， ，
由勾股定理得 ，解得 ．
由于平面 平面 ，所以 平面 ，球心 到平面 的距离为 ，则 ，设平面 截球 所得截面的半径为 ，
在 △ ， ，
【详解】
由题意，可知化学、生物两门中至少选修一门，可分为两种情况：
当化学、生物两门中选修一门，其余四科中选两门，共有 种；
当化学、生物两门中选修两门，其Baidu Nhomakorabea四科中选一门，共有 种；
综上可知，化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法共有 ．
【点睛】
本题主要考查了分类计数原理和组合数的应用，其中解答中认真审题，合理分类，利用组合和计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．已知等边△ 的边长为2，现把△ 绕着边 旋转到△ 的位置．给出以下三个命题：①对于任意点 ， ；②存在点 ，使得 平面 ；③三棱锥 的体积的最大值为1.以上命题正确的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】取 中点 ，根据线面垂直的判定定理，得 平面 ，进而得到 ，所以①正确；
假设 平面 ，根据线面垂直的性质，得出矛盾，所以②错误；由棱锥的体积公式，判定平面 平面 时， 达到最大，即可得到③正确，即可得到答案．
法官甲
法官乙
终审结果
民事庭
行政庭
合计
终审结果
民事庭
行政庭
合计
维持
29
100
129
维持
90
20
110
推翻
3
18
21
推翻
10
5
15
合计
32
118
150
合计
100
25
125
记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，则下面说法正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，根据品滚石的计算公式，可得 ，
设收集的48个准确数据分别记为 ，
则
，
，
故 ．选A．
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义和直角三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 ，则
②若 与 有三个交点；
③若 当 与 相切时，
设切点为 则 ，即
解得 ，两图像要有四个交点，则 ．
综上实数 的取值范围是 ，故选B．
解法二：由于 ，方程 等价于 ，
即依题意 与 图像有四个交点．
令 ，
当 ， 得 ．
当 时 单调递增，当 时， 单调递减，
当 时， 当 时，
又当 时， 得 ，
当 时， 单调递减，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一：把方程 有四个实数根，转化为函数 与 图像有四个不同的交点．分别求得当 时，函数 单调性与极值和当 时，函数 单调性与极值，作出图象，结合图象即可求解；
解法二：由方程 等价于 ，转化为 与 图像有四个交点，令 ，分别求得当 和 时，函数的单调性与极值，结合图象，即可求解．
2019届福建省泉州市高三第二次（5月）质检数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据对数的运算和一元二次不等式解法求得集合 ，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】
由题意集合 ， 或 ，
所以 ，则 ．选D．
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中根据对数的运算性质和一元二次不等式的解法求得集合 ，再根据集合的混合运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．
故 ， ，
所以 ．选B．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
4．英国统计学家E．H．辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论．有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉．记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：
所以截面圆的面积为 ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了球的性质，以及球的组合体的结构特征的应用，其中解答中根据球的性质，以及利用直角三角形的勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
12．已知函数 若方程 有四个不等的实数根，则实数 的取值范围是( )
当 时， 单调递增， 极小值为 ，
当 时， 当 时，
所以 与 图像有四个交点时 故选B．
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数零点问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值，结合图象，进而求出参数的取值范围；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
【详解】
由题意，函数满足 ，即函数 为奇函数，图象关于原点对称，
由导数的几何意义可知，函数 的图像关于 轴对称，所以 为偶函数，
所以 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减．
解法一： ， ．
因为 ，所以即 ，所以A错；
因为 ，所以即 ，所以B对；
又 无法确定符号，所以C，D错．故选B．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点 的横坐标为 ，所以 ，解得 ，
所以 的最小正周期 ，不妨令 ， ，由周期 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
令 ，解得 ，当 时， ，即函数 的一个对称中心为 ，即函数 的图象关于点 成中心对称．故选B．
【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
9．函数 的部分图象如图中实线所示，图中圆 与 的图象交于 两点，且 在 轴上，则下列说法中正确的是
A．函数 的最小正周期是
B．函数 的图象关于点 成中心对称
C．函数 在 单调递增
D．函数 的图象向右平移 后关于原点成中心对称
【答案】B
【解析】根据函数的图象，求得函数 ，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【解析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为 ， ，行政庭维持原判的案件率 ， ，总体上维持原判的案件率为 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率 ，总体上维持原判的案件率为 ；
【详解】
解法一：方程 有四个实数根，
等价于 与 图像有四个不同的交点．
当 时， 解得 ．
当 ， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 极大值为
当 时， 当 时，
当 时， ， 解得 （舍正），
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 极大值为
当 时， 当 时，
作出函数 的草图，如图：
①若 与 不可能有四个交点；
二、填空题
13． =_________．
【答案】
【解析】根据复数的运算法则，准确化简，即可求解．
【详解】
解法一：根据复数的运算，可得 ．
解法二：根据复数的运算，化简得 ．
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记复数的基本运算公式，合理准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8．已知向量 满足 ， ， 与 垂直，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据向量的模与数量积的运算，求得 ，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】
由题意知 与 垂直，则 ，可得 ．
又由 ，
所以当 时， 取得最小值1．故选B．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．若 满足约束条件 则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出约束条件所表示的可行域，根据 表示可行域内点与定点 连线的斜率，结合图象确定最优解，即可得到答案．
【详解】
由题意，画出约束条件所对应的可行域，如图所示，
因为 表示可行域内点与定点 连线的斜率，
结合图象，可得 ，
联立方程 得点 ，联立方程 得点 ，