全等三角形的判定复习讲义

全等三角形的判定

知识要点

1、两个三角形全等的条件【重点】

（1）判定1——边边边公理

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。

“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）。

注意：边边边是三条边都相等，并且在书写时边与边要对应书写。在已知两边相等的情况下优先考虑。

（2）判定2——边角边公理

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

注意：边角边中，角是指两对应边的夹角，如上图中，同样在书写时对应边角对准。比如上图中正确的写法是：△ABC≌△A＇B＇C＇

（3）判定3——角边角公理

角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写为“角边角”或“ASA”。

注意：角边角中，边是两个角中间时，才能描述为角边角，否则就是下面的角角边。

（4）判定4——角角边推论

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简称“角角边”或“AAS”。

（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边直角边”或“HL”。

判定直角三角形全等的方法：

①一般三角形全等的判定方法都适用；

②斜边-直角边公理

2、证明三角形全等一般有以下步骤：

（1）读题：明确题中的已知和求证；

（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中

（3）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角

（4）、先证明缺少的条件

（5）、再证明两个三角形全等

（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）

典例

例1：如图，∆ABC是一个屋顶钢架，AB=AC，D是BC中点。求证：AD BC

⊥

练习一

已知：如图，AB=AD，BC=DC。求证：∠B=∠D。

例2：已知：如图，CF=AE，AB∥CD，且AB=CD．求证：△CDE≌△ABF．

练习二

2、如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）

A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF

2、如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）

A．AB=AC B．DB=DC

C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C

例3、如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．

练习三

1、如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C．

求证：AE=CF．

例4：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．

练习四

如图：已知AE交BC于点D，∠1=∠2=∠3，

AB=AD.

求证：DC=BE。

熟能生巧

1．如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？

A

B C

E

D

1

2

3

A

A

O

D

C B

2．已知如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，试说明BD=CE 。

A

E D

3．如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE=CF ，∠B=∠D ，AD ∥BC 。

试说明AD=CB 。

A F E D C

B

4.如图，已知AC 、BD 相交于点0，∠A=∠B ，∠1=∠2，AD=BC. 试说明△AOD ≌△BOC.

2

1A

E

D C

B

A

N

M

C

B

5.玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（ ） A 、带①去 B 、带②去 C 、带③去 D 、带①②③去

6. 如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形

AECF 的面积是 ．

7.如图，已知AC 、BD 交于E ，∠A=∠B ，∠1=∠2． 求证：AE=BE ．

8.如图，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，，且MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC 的周长。

Ａ D

A

D

E

F

9．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，说明AB=AC

A

C

B

10.已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 ⑴求证：∠ABE=∠C ；

⑵若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

11．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC =，CF AB ∥． 求证：AD CF =．

12．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上． （1）求证AB ⊥ED ；

（2）若PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对．．全等三角形，并给予证明．

●体验中考

1.如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）

A ．C

B CD = B ．BA

C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠

D ．90B D ==︒∠∠

2.如图，点B 、E 、F 、C 在同一直线上． 已知∠A =∠D ，∠B =∠C ，要使△ABF ≌△DCE ，需要补充的一个条件是

（写出一个即可）．

3.如图，已知AC 平分∠BAD ，∠1=∠2，求证：AB=AD

A

B E

F

C

D

A B