导数及其应用复习小结
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
导数及其应用复习小结
∫ f (x)dx = F(b) − F(a)
a
b
或∫ f ( x)dx = F( x)|b = F(b) − F(a) a
(F(x)叫做f(x)的原函数, f(x)就是F(x)的导函数)
(1)匀变速运动的路程公式. (1)匀变速运动的路程公式. 匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度 函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间 a,b］上的定积分， 在时间区间［ 函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分， 即 s = ∫a v ( t ) dt.
割 线 T 切 线 x
返回
定理 一般地，函数y 在某个区间(a,b) (a,b)内 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 f′(x)>0， y=f（ 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增 内单调递增； 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） f′(x)<0， y=f（ 在这个区间(a,b)内单调递减。 (a,b)内单调递减 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 为常数. 如果在某个区间内恒有 f ′(x) = 0 ,则 f (x)为常数 返回 则
函数的极值 1)如果 如果b (x)=0的一个根 (x)>0， 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， (x)=0的一个根，并且在b左侧附近f (x)>0 右侧附近f (x)<0 那么f(b)是函数f(x) (x)<0， f(b)是函数f(x)的一个极大值 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 如果a (x)=0 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根 ， 并且在 a 的左侧附近 (x)= 的一个根， 并且在a (x)<0 (x)>0 f’(x)<0 ， 在 a 右侧附近 f’(x)>0 ， 那么是 f(a) 函数 (x)< (x)> f(x)的一个极小值 的一个极小值. f(x)的一个极小值. 导数等于零的点不一定是极值点． 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（ 函数的最大（小）值与导数
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
导数知识点总结及应用
导数知识点总结及应用导数是微积分中的基本概念，是描述函数变化率的工具。
它具有广泛的应用，不仅在数学中起着重要作用，也在其他学科中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将总结导数的基本知识点以及其应用。
一、导数的定义和性质导数可以通过极限的计算来定义，假设函数f(x)在点x_0处有定义。
那么f(x)在x_0处的导数可以定义为：f'(x_0)=lim(x→x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)导数的计算方法有很多，其中最基本的有以下几种：1.使用导数定义的极限计算法；2.利用导数的基本性质：线性性、乘法法则、链式法则等。
导数具有以下基本性质：1.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点连续；2.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点的函数值变化率为f'(x_0)。
二、导数的应用1.函数的极值与图像的凹凸性导数的一个重要应用是用于确定函数的最大值和最小值。
根据函数的图像和导数的符号，可以判断函数的增减性以及极值点。
具体来说，函数在极值点的导数为零，并且在极值点的导数变号。
另外，导数的符号还可以用来确定函数图像的凹凸性。
如果函数的导数在其中一区间上恒大于零，则函数在这一区间上是严格递增的，图像是凸的。
如果函数的导数在其中一区间上恒小于零，则函数在这一区间上是严格递减的，图像是凹的。
2.切线与法线函数的导数可以用来确定函数图像上任意一点处的切线和法线。
在其中一点x_0处，函数图像上的切线的斜率等于函数在该点处的导数值，即切线的斜率为f'(x_0)。
切线的方程可以通过点斜式来确定。
3.函数的近似计算函数的导数可以用来近似计算函数在其中一点处的函数值。
根据导数的定义，函数在该点的导数等于函数在该点的函数值变化率。
所以，如果已知其中一点的导数，可以通过导数乘以函数值变化的增量来估计函数值的增量。
4.曲线的弯曲程度导数还可以用来衡量曲线的弯曲程度。
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
导数应用小结
导数应用小结导数是微积分中的一个重要概念，它在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼茨等人提出，而如今已经成为研究变化和趋势的重要工具。
在本篇小结中，我将介绍导数的应用，并且重点讨论它在几个不同领域中的实际应用。
首先，导数在物理学中有着重要的应用。
在物理学中，导数可以用于描述运动和力学系统的变化。
例如，在质点运动中，速度是位置的导数，加速度是速度的导数。
通过求解导数，我们可以得到运动物体的速度和加速度，进而了解物体的运动轨迹和受到的力的大小。
另外，在涉及到力学系统的稳定与不稳定性时，利用导数可以确定极大值和极小值，从而得到系统的稳定性条件。
其次，导数在经济学和金融领域中也有着广泛的应用。
在经济学中，导数可以用来描述消费者需求和生产者供给的响应。
通过求解边际效用和边际成本的导数，我们可以了解商品价格变化对需求和供给的影响，从而预测市场的变化趋势和最优策略。
此外，在金融领域中，导数可以用来描述股票价格和利率的变化。
通过求解股票价格和利率的导数，我们可以得到股票和债券的回报率，进而优化投资组合和风险管理策略。
此外，导数的应用还延伸到工程学和计算机科学领域。
在工程学中，导数可以用来描述电信号的变化和传输。
通过求解电流和电压的导数，我们可以得到电信号的频率和波形，从而优化电路设计和信号传输质量。
在计算机科学中，导数可以用来描述算法和计算复杂性的变化。
通过求解算法的导数，我们可以得到算法的时间复杂性和空间复杂性，从而评估算法的效率和优化算法的设计。
最后，导数在生物学和医学领域中也有着重要的应用。
在生物学中，导数可以用来描述生物体特征的变化。
通过求解遗传基因的导数，我们可以了解基因的变异和突变，从而研究生物进化和疾病发生机理。
在医学中，导数可以用来描述疾病的发展和治疗的效果。
通过求解药物浓度和病情指标的导数，我们可以得到药物的代谢和生物学效应，从而确定药物的剂量和治疗方案。
综上所述，导数是微积分中一个重要的概念，它在数学和其他科学领域中都有着广泛的应用。
导数知识点总结及其应用
导数知识点总结及其应用导数是微积分中的重要概念，它是描述函数变化率的工具，可以帮助我们求解曲线的斜率、最值、凹凸性等问题。
在数学和物理中，导数有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动、变化以及求解最优化问题等方面。
本文将对导数的定义、性质、求导法则以及其应用进行详细的总结和讨论。
一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点的变化率，可以理解为函数图像在该点处的斜率。
在数学上，导数可以通过极限的概念和定义得出。
给定函数f(x)，则f(x)在x=a处的导数定义为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，h表示自变量的增量。
这个定义可以直观地理解为f(x)在x=a处的切线斜率。
当h趋于0时，极限就表示函数在点a处的斜率，也就是导数。
二、导数的性质1. 可导性函数在某一点可导意味着该点附近存在唯一的切线，也就是说函数在该点处光滑连续。
一般来说，几乎所有的函数都有导数，也就是可导的。
2. 连续性若函数在某一点可导，则该点处是连续的。
但反之不一定成立，即函数在某点处连续不一定可导。
3. 导数运算规则（1）常数导数若f(x)=c，c为常数，则f'(x)=0。
（2）幂函数导数若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^{n-1}。
（3）和差导数若f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。
（4）积导数若f(x)=g(x)·h(x)，则f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)。
（5）商导数若f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}，则f'(x)=\frac{g'(x)·h(x)-g(x)·h'(x)}{(h(x))^2}。
导数及其应用复习小结
o
2
x
的速度行驶， 8.汽车以 v 0 = 36 km / h 的速度行驶， 到达某处 时需要减速刹车， 时需要减速刹车 ，设汽车以等减速度 a = 5 m / s 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少 m ? 刹车， 问从开始刹车到停车，
答案：f ( x)在（0,1） 在（ ,2） f ( x)极小值 = 1 ↓ 1 ↑
( 2 ) 求 g ( x )的值域 .
1 值域为： , )并作函数大致的图象 (−∞ e
函数的单调性
练习. 练习
求下列函数的单调区间：
x+2 (1) y = ; x (3) y =
x ; (2) y = 2 x −9
答案：m ≥ − 1 2
技巧：恒成立问题 技巧：恒成立问题——分离变量求值域法 分离变量求值域法
题型二：利用导数求单调区间极值、 题型二：利用导数求单调区间极值、值域
例题 2：已知函数
强调： 强调：定义域
ln x f ( x ) = x − ln x ， g ( x ) = x (1) 求 f ( x ) 在（ 0，2）上单调 区间和极值 .
f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
f ( x) f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) (3)[ ]′ = 2 g ( x) g ( x)
3、复合函数的求导法则： 、复合函数的求导法则：
y = y •u
' x ' u
4、积分运算： 、积分运算：
1、常见的导数公式： 、常见的导数公式：
记牢是前提！ 记牢是前提！
1.C ′ = o n n −1 2.( x )′ = nx
导数及其应用小结2
1．函数f(x)＝ ＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是？
与当今〝教员〞一称最接近的〝教员〞概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问«示侄孙伯安»诗云：〝伯安入小学，颖悟特殊貌，属句有夙性，说字惊教员。〞于是看，宋元时期小学教员被称为〝教员〞有案可稽。清代称主考官也为〝教员〞，而普通学堂里的先生那么称为〝教员〞或〝教习〞。可见，〝教员〞一说是比拟晚的事了。如今体会，〝教员〞的含义比之〝教员〞一说，具有资历和学问水平上较低一些的差异。辛亥革命后，教员与其他官员一样依法则任命，故又称〝教员〞为〝教员〞。
当堂检测
〔备注：本节课重、难点知识的检测〕〔以下两题任选其一做一做〕
函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．学后反思导数及其应小结2班级：姓名：小组：
学习目的
1.能熟练运用导数求最大值，最小值效果；
2.掌握应用导数知识研讨函数的图像及处置一优化效果；
3.应用导数处置实践效果中的进程中，进一步稳固导数的相关知识，提高先生的数学素养；
学习重点
难点
重点：稳固学习导数的最大值，最小值以及极值效果；
难点：如何应用导数建模并求解。
学法指点
本节课的内容是导数的运用的温习课，所以应让先生多参与，让其自主探求剖析效果、处置效果，尝试归结总结，然后由教员启示、总结、提炼，升华为剖析和处置效果的才干
课前预习
1、几种罕见函数的导数：
① 〔 为常数〕； 〔 〕； ； ； 〔 〕； ； 〔 〕； ；② ； ； ； ； ；
2、极值的判别方法：
普通说来，〝教员〞概念之构成阅历了十分漫长的历史。杨士勋〔唐初学者，四门博士〕«春秋谷梁传疏»曰：〝师者教人以不及，故谓师为师资也〞。这儿的〝师资〞，其实就是先秦然后历代对教员的别称之一。«韩非子»也有云：〝今有不才之子……师长教之弗为变〞其〝师长〞当然也指教员。这儿的〝师资〞和〝师长〞可称为〝教员〞概念的雏形，但仍说不上是名副其实的〝教员〞，由于〝教员〞必需要有明白的教授知识的对象和自身明白的职责。
高中数学选修1-1第三章复习小结
1 ②当x0=－ 时，所求的切线方程为： 2
1 y－2= － (x－1),即x+4y－9=0 4
针对训练： 求曲线 f
x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
注：导数等于零的点不一定是极值点．
六、函数的最大值与最小值：
1.定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域) 内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最 小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m. 2.存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与
x 0
x
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f ’(x0)· (x－x0)． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 若极限 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，则此极限称为
x 0
x
x 0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y|x x ；
0
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导， 就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个 确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区 间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内 的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’= lim f ( x x) f ( x)
一元函数的导数及其应用小结
3.导数在研究函数中的应用
追问：使用导数方法可解决哪些问题呢？
单调性
求单调区间
3.导数在研究函数中的应用
追问：使用导数方法可解决哪些问题呢？
单调性
零点个数
求单调区间
方程解的个数
3.导数在研究函数中的应用
追问：使用导数方法可解决哪些问题呢？
单调性
零点个数
极值
求单调区间
如：f ( x) x3，
f ( x) 3x 2 ≥ 0.
3.导数在研究函数中的应用
导数的概念
定量地刻画函
数局部变化
用导数研究
函数的性质
函数的极值
函数局部的最大
（最小）值.
3.导数在研究函数中的应用
追问：导数为0的点一定是函数的极值点吗？函数的极值点导数一定为0吗？
3.导数在研究函数中的应用
单调性 f ( x2 ) f ( x1 )
0.
（增函数）
x2 x1
最大
(小)值
导数
3.导数在研究函数中的应用
原有方法
x1 , x2 (a, b),
单调性 f ( x2 ) f ( x1 )
0.
（增函数）
x2 x1
最大
(小)值
导数
x (a, b),
f ( x) 0.
(sin x) cos x, (cos x) sin x；
1
(ex)′ = ex , (ln x) .
x
2.导数的运算
基本初等函数
加、减、乘、除
导数定义
导数定义
基本初等函
数的导数
复杂的函数
导数小结与复习
3、求导法则 f x g x f x g x f x g x f xgx f xgx
cf x
cf x
f x g x f x g x f x g x 0 g x 2 g x
变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好垂直于直 线y=11x－1，则P点坐标为 ____________, 切线方程为_____________________．
5.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 分析: y 2 cos x 1,3
2
3.已知
f x x 2xf
2
则 1,
f 1 ( -2
f 0 ( -4 )
)
4.已知曲线C：y=x3－x+2和点(1,2) 求在点A处的切线方程？
变式1：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 或(－ 1, 2) 线y=11x－1，则P点坐标为 (1,2) ____________, y=2x 或 y=2x+4 切线方程为_____________________ ．
f x 3ax2 2bx c ,所以
m 3 m 3 3 2 a , b m, c 2m . f x x x 2mx , 由 3 2 3 2 m 3 f 1 5 ,即 2m 5 ,得 m 6 . 两年北京导 3 2
所以 a 2, b 9, c 12 .
数题,感想如 何?
• 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f (x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， ∴ f (0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f (x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
导数的应用知识点总结
导数的应用知识点总结一、导数的定义与几何意义。
1. 导数的定义。
- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。
- 如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，就说f(x)在区间(a,b)内可导。
这时对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数f^′(x)，这样就构成了一个新的函数f^′(x)，称它为函数y = f(x)的导函数，简称导数，记作y^′或f^′(x)或(dy)/(dx)等。
2. 导数的几何意义。
- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。
二、导数的基本公式与运算法则。
1. 基本公式。
- (C)^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′ = nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′ = a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)2. 运算法则。
- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v + uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)三、导数在函数单调性中的应用。
1. 函数单调性与导数的关系。
- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。
高中数学导数知识点总结3篇
高中数学导数知识点总结第一篇：导数定义、基本求导公式及其应用关于导数的定义导数是微积分学中的一项重要知识，是描述函数变化率的概念。
对于函数f(x)而言，若它在点x0处可导，则导数f'(x0)表示函数f(x)在该点的变化率，即当x在x0附近微小偏移时，f(x)的改变量与x偏移量的比值。
导数的求法1. 使用导数定义根据导数的定义，导数f'(x)可以表示为：f'(x) = limΔx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx这个方法比较麻烦，但在某些特殊情况下比较有用。
2. 使用基本求导公式基本求导公式有以下几种形式：1）常数函数的导数为零。
2）幂函数的导数为：(xn)'=nxⁿ⁻¹。
3）指数函数的导数为：(ex)'=ex。
4）对数函数的导数为：(lnx)'=1/x。
5）三角函数的导数为：（sinx）'= cosx，(cosx)'= -sinx，(tanx)'= sec²x，(cotx)'= -csc²x。
3. 使用导数定理导数定理包括和法、差法、积法、商法和复合函数求导法。
它们的公式分别为：1）和法：[u(x)+v(x)]' = u'(x) + v'(x)。
2）差法：[u(x)-v(x)]' = u'(x) - v'(x)。
3）积法：[u(x)·v(x)]' = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)。
4）商法：[u(x)/v(x)]' = [u'(x)·v(x) -u(x)·v'(x)]/v²(x)。
5）复合函数求导法：[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)。
导数的应用1. 判断函数在某点的单调性和极值若函数在某点的导数f'(x0)符号发生改变，则该点是函数f(x)的极值点。
人教版数学高二人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》章末小结
章末小结知识点一导数的概念与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k ＝y′|x＝x0.(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y＝x3－x，求函数图象(1)在点(1，0)处的切线方程；(2)过点(1，0)的切线方程．解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x30－x0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－1，切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)，所以0－(x30－x0)＝(3x20－1)(1－x0)，整理，得2x 30－3x 20＋1＝0，即2(x 30－1)－3(x 20－1)＝0，所以2(x 0－1)(x 20＋x 0＋1)－3(x 0＋1)(x 0－1)＝0， 所以(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以P (1，0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，所以切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14.知识点二 导数与函数的单调性 求函数f (x )的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．(2014·高考大纲卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)因为函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3.令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a )。
导数综合运算知识点总结
导数综合运算知识点总结一、导数的定义及意义：1. 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为极限$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$其中f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
2. 导数的几何意义：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的切线斜率。
也即在点x=a处，函数f(x)的变化率。
3. 导数的物理意义：如果函数f(x)表示某一物理量y关于另一物理量x的变化规律，那么函数f'(x)表示物理量y关于物理量x的变化率。
4. 导数的符号：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的符号表示函数f(x)在点x=a处的增减情况。
当f'(a)>0时，函数f(x)在点x=a处是增加的；当f'(a)<0时，函数f(x)在点x=a处是减小的；当f'(a)=0时，函数f(x)在点x=a处是不变的。
二、导数的运算法则：1. 基本导数法则：(常数函数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则、反三角函数规则、双曲函数规则)。
2. 复合函数的导数法则：函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))g'(x)。
链式法则。
3. 反函数的导数法则：如果函数y=f(x)在区间I上单调、可导，并且在区间I上f'(x)≠0，则有反函数x=f^(-1)(y)在区间J上也可导，并且在区间J上f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))。
4. 参数方程的导数：如果x=f(t)、y=g(t)是参数方程，且函数f(t)、g(t)在t处可导，则参数方程x=f(t)、y=g(t)的导数dx/dt=f'(t)、dy/dt=g'(t)。
5. 隐函数的导数：若函数F(x，y)=0表示隐函数，且F(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内具有连续偏导数，则隐函数y=f(x)的导数dy/dx可用偏导数表示：dy/dx=-∂F/∂x/∂F/∂y。
导数及其应用复习小结
x1
x2
lim Vf (x) lim f(x2 ) f (x1)
Vx x 0
x2 x1
x2 x1
lim Vf (x) f ' (x) Vx x 0
导数
• 例1 .已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则
f (1 x) f (1 x)
lim
x
3x
()
A.3
B.
3 2
1
C. 3
D.
2 3
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
（Ⅱ）f x 3ax2 2bx c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 ,
3a 2b c 0,得 12a 4b c 0, 解得 a 2,b 9, c 12 .
a b c 5.
解法二: （Ⅰ）同解法一.
（ Ⅱ ） 设 f x mx 1x 2 mx2 3mx 2m , 又
故 f x x3 3x2 9x 2,因此 f 1 1 39 2 7 ,
即函数 f x 在区间2, 2 上的最小值为 7 ．
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 7 （ 06 北 京 16 ） 已 知 函 数
f (x) ax3 bx2 cx 在 点 x0 处 取 y
得极大值 5 ,其导函数 y f (x) 的图
A
B
C
D
解析：由函数 y＝f′(x)的图象可以看出，当 0＜x＜2 时，f′(x) ＜0，此时 f(x)单调递减，立即排除 A、B、D。答案：C
利用导数求解函数的单调区间
• 例3设函数 f (x) x ln x(x 0) ，求函数
的单调区间。
利用导数求解极值和最值
• 例4.已知函数 f (x) x3 ax2 bx，在区间
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复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:
y y u ; 或 f [ ( x)] f (u ) ( x). x u x x
注:y对x的导数等于y对u的导
数与u对x的导数的乘积.
过p(x0,y0)的切线 1) p(x0,y0)为切点 2)p(x0,y0)不为切点
1 2
①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x
②当x0=－
1
2
时，所求的切线方程为：
因为 f 2 2 a , f 2 2 2 a ,所以 f 2 f 2 .
因为在 1, 3 上 f x 0 ,所以 f x 在 1, 2 上单调递增， 又由于 f x 在 2, 1 上单调递减，因此 f 2 和 f 1 分别 是 f x 在 区 间 2, 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 于 是 有
3 2
m, n R, m 0 ，
（I）求 m 与 n 的关系表达式； （II）求 f ( x ) 的单调区间； （III）当 x 1,1 时,函数 y f ( x ) 的图象上任意一 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.
2 解:(I) f ( x ) 3 m x 6( m 1) x n 因为 x 1 是函数 f ( x ) 的
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数. 返回
函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近 f’(x)<0，在a 右侧附近 f’(x)>0，那么是f(a)函数 f(x)的一个极小值. 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（小）值与导数
2 f x 3 a x 2 b x c ,所以
a
m 3
,b
3 2 m 3
m, c 2m . f 3 2
x
m 3
x
3
3 2
x 2mx , 由
2
f 1 5 ,即
2 m 5 ,得 m 6 .
所以 a 2, b 9, c 12 .
3 2
（Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间
2, 2 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值．
(Ⅱ)当 x 2, 2 时
x
2
2, 1
1
0
1, 2
2
f x
f
x
2a
极小
22 a
0 极小值
0 极大值
2 2 故由上表知,当 m 0 时, f ( x ) 在 ,1 单调递减,在 1 ,1 单调递增, m m
在 (1, ) 上单调递减.
（III）由已知得 f ( x ) 3 m ，即 m x 2 2( m 1) x 2 0 .又 m 0 所 以x
2
2 m
( m 1) x
2
2 m 1 m
0 ,即 x
2
2 m
( m 1) x
2 m
0, x 1,1 ①
设 g ( x ) x 2 (1
)x
2 m
,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
2 2 0, g ( 1) 0, 4 1 2 所以 解之得 m 又 m 0 所以 m m 3 g (1) 0 . 1 0.
设切线的倾斜角为α,那 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的 切线的斜率.
即: k切线 f ( x0 ) lim
'
y=f Q (x)
P o
割 线 T 切 线 x
y x
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
返回
定理 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
微积分基本定理的含义 微积分基本定理的应用
面积 功 路程
①函数的平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
Y=f(x)
f x
y
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1)
B
3a 2b c 0, 得 1 2 a 4 b c 0 , 解得 a 2, b 9, c 12 . a b c 5.
解法二: （Ⅰ）同解法一.
2 （ Ⅱ ） 设 f x m x 1 x 2 m x 3m x 2 m , 又
2 m
当 m 0 时,有 1 1
2 m
,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表：
2 m
x
2 ,1 m
1
2 ,1 1 m
1
1,
f ( x )
f (x)
f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即: f ( x)g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
' n ' n-1 '
(n R )
3 .若 f ( x ) = s i n x ， 则 f ( x ) = c o s x 4 .若 f ( x ) = c o s x ， 则 f ( x ) = - s i n x 5 .若 f ( x ) = a ， 则 f ( x ) = a ln a 6 .若 f ( x ) = e ， 则 f ( x ) = e
切 线 方 程 y - y 0 = f (x)(x - x 0 )
y 1 = f(x 1 ) y1 - y 0 x1 - x 0 = f (x 1 )
'
’
切 点 P (x 1, y 1 )
3－x+2和点 例1．已经曲线C：y=x
A(1,2)。求在点A处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1，∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
f x 0 ,在 2, 上 f x 0 ,故 f
x 在 x 1 处取得极
大值,所以 x 0 1 .
2 （Ⅱ）f x 3 a x 2 b x c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 ,
22 a 20 ,解得 a 2 ．
故 f x x 3 x 9 x 2 ,因此 f 1 1 3 9 2 7 ,
3 2
即函数 f x 在区间 2, 2 上的最小值为 7 ．
例 7 （ 06 北 京 16 ） 已 知 函 数
导数及其应用复习小结
本章知识结构
函数的瞬时变化率
导数概念
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导
导数
导数运算
导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值
微 积 分
导数应用
曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题 积分定义的含义
定积分 概念 定积分 微积分基 本定理
4 m 0 .即 m 的取值范围为 , 0 . 3 3
4
【函数的极值和最值问题】
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x 3 x 9 x a .
3 2
（Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ） f x 在区间 2, 2 上的最大值为 20,求它在该 若 区间上的最小值．
2 解： （Ⅰ）f x 3 x 6 x 9 .令 f x 0 ,解得 x 1 或
x 3 ,所以函数 f
x 的单调递减区间为 , 1 , 3, ．
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x 3 x 9 x a .
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) 2 g ( x) g ( x)
返回
当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点P处的切线.
一 个极值 点 ,所以 f (1) 0 ,即 3 m 6 ( m 1) n 0 ， 所以
n 3m 6 .
（II）由（I）知， f ( x ) 3 m x 6( m 1) x 3 m 6 = 3 m ( x 1) x 1