上海市普陀区2021届新高考数学三模试卷含解析

上海市普陀区2021届新高考数学三模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．钝角三角形

【答案】C 【解析】 【分析】

利用正弦定理将边化角，再由()sin sin A B C +=，化简可得sin cos sin cos B A A A =，最后分类讨论可得； 【详解】

解：因为cos (2)cos c a B a b A -=-

所以()sin sin cos 2sin sin cos C A B A B A -=- 所以sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=- 所以()sin sin cos 2sin cos sin cos A B A B A A B A +-=-

所以sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin cos A B B A A B A A B A +-=- 所以sin cos sin cos B A A A = 当cos 0A =时2

A π

=

，ABC ∆为直角三角形；

当cos 0A ≠时sin sin A B =即A B =，ABC ∆为等腰三角形；

ABC ∆∴的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：C ． 【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：

①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的

14

.

其中正确的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】 【分析】

根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】

使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，8130

0.1456290

≈，故超过10%的大学生

使用app 主要玩游戏，所以②错误；

使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401

562904

>，所以③正确.

故选：C. 【点睛】

本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.

3．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r

（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r ，以射线Ox

为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：

()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣

莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin n

n

r i r

n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)

4

3z i =

，则

z =（ ）

A ．3

B ．4

C ．83

D ．16

【答案】D 【解析】 【分析】

根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin n

n

r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦

，直接求解即可. 【详解】

(

)

4

4

4

313216cos sin 2266z i

i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=

+=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣

⎦

16cos 4sin 488366i i ππ⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎣⎦，

()

()

2

2

883

16z =

-+=.

故选：D 【点睛】

本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.

4．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低

C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益

D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】

用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】