边界层分析求解

3）速度边界层厚度与热边界层厚度的关系 在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与 流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散特性和动量 扩散特性的相对大小有关。
1 1 t x x Pr 3 1.026
由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了 Re×足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常 小时（Pr<<1）,热边界层相对于速度边界层就很厚，反之 则很薄。 普朗特数Pr 的物理意义: 表征流体的热扩散特性和动量扩散 特性的相对大小
t t 2t u v a 2 x y y
du dp u dx dx

层流边界层对流 换热微分方程组： 3个方程、3个未 知量：u、v、t，
方程封闭
如果配上相应的 定解条件，则可 以求解
du dp 若 0，则 0 dx dx
三、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述
u∞ δ x
0
0
x
(a)Pr<1
(b)Pr>1
要点：
热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在
热边界层中才有温度变化，而在热边界层以外可以认为温度梯 度为零，当做等温流动区。
对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温
度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而 在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速度脉动引起的对 流混合作用。
§15-3 边界层微分方程组的解 边界层的概念是1904年德国科学 家普朗特提出的。 （Boundary layer） 一. 边界层 1.流动边界层 1）定义 垂直于壁面的方向上流体 流速发生显著变化的流体 薄层定义为流动边界层。
在离平壁前端x处用热线风速仪，测得沿壁
面方向方向上各点的流速，这一分布呈现类似 抛物线型。在u=0.99u∞ 处以外的流体，可以认 为不受流体粘性的影响，称其为主流区。而 u=0.99u∞ 以内的区域，存在明显速度梯度，称 为边界层区。
b.其他量的数量级导出
x 与 l 相当，即： x ~ l ~ 0(1);
0 y y ~ 0( )
u沿边界层厚度由0到u: u ~ u ~ 0(1)
由连续性方程：
v u u ~ ~ 0(1) y x l

v ~ 0( )
“~” — 相当于
注意：0(1)、0()表示数量级为1和 ，1>> 。
热线风速仪
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特 性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的 方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。
t∞ u
δ 0
t
δ
tw x
普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气 等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发 生显著变化的流体层是非常薄的。
t∞ u
流体流过固体壁面的流场就 人为地分成两个不同的区域。
δ 0
t
δ
tw x
其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共 同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里 流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动， 也就是势流流动。
2）边界层的厚度
当速度变化达到 u u 0.99 时的空间位置为速度边界层的 外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 x

1

） （
1 1
2
1

2
2
）
t t t c（u v ) 2 p x y y
p p ~ 0( ) ~ 0(1) y x 表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边界层 内法向的压力梯度极小。
边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力

p dp x dx
微分方程：
u v 0 x y
u u 2u (u v ) 2 x y y
2t t t c p u x v y y 2
边界条件：
u | y 0 0, v | y 0 0, t | y 0 t w u | y u , t | y t u const
• 过度边界段： Re数处于之间，粘性力和惯性力相当 • 紊流边界段：Re数很大，惯性力主导，忽略粘性力
惯性力
指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的
倾向，若是以该物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相 反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实 际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因 此惯性力又称为假想力。 惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体. 非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体.
对于导热系数不高的流体，紊流换热热阻主要取决于粘性底
层的导热过程，边界层的温度梯度在粘性底层最大，而在紊流 支层变化平缓。
流型：层流和紊流
3.引入边界层概念的意义
缩小计算区域。对对流换热问题的研究可集中在边界 层区域内 边界层内的流动与换热可以利用边界层的特点进一步 简化
二、数量级分析与边界层微分方程
1 1 u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y
u v 0 x y
(a)
(b)
v v p 2v 2v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y 2 1 1 （ ） （ 2 ） 2 1 1
2. 热（温度）边界层（Thermal boundary layer）
1）定义 当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等 时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为 热边界层。
Tw
2）热边界层厚度 当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的 0.99倍时，即 (t w t ) /(t w t ) 0.99 ，此位置就是边界层 的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度, 记为 t x 层流：温度呈抛物线 分布 湍流：温度呈幂函数 分布 湍流边界层贴壁处的 温度梯度明显大于层 流 故：湍流换热比层流换热强！
1.数量级分析(order of magnitude)
1)定义:比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量 级较大的量或项；舍去那源自文库量级小的项，方程大大简化
2)实例分析 例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力的 对流换热为例
u v 0 x y
u u p 2u 2u (u v ) ( 2 2 ) x y x x y v v p 2v 2v (u v ) ( 2 2 ) x y y x y
u u p 2u u v ) 2 （ x y x y
dp du 由上式： u dx dx p ~ 0( ) 可视为边界层的又一特性 y
u v 0 x y
u u 1 dp 2u u v 2 x y dx y
§5-4 边界层积分方程组及其求解 一.用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想
(1) (2) (3) 建立边界层积分方程 针对包括固体边界及边界层 外边界在内的有限大小的控制容积； 对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函 数形式为多项式； 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后 将速度分布和温度分布带入积分方程，解出 和 t 的计算式； 根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的
当Pr>1时，Pr=υ/a，υ>a，粘性扩散 >热量扩散，速度边 界层厚度>温度边界层厚度。 当Pr<1时，Pr=υ/a，υ<a，粘性扩散 <热量扩散，速度边 界层厚度<温度边界层厚度。 也可以从公式得出 T∞ δ δt
1 1 t x x Pr 3 1.026
T∞ u∞
δt
小：空气外掠平板， u=10m/s： x 100mm
理论关系式为 ：
1.8mm ; x200mm 2.5mm
t∞ u
层 =5.0 xv w
12
层 x =5.0 w x
1
2
5.0 u x
δ
1 2
t
δ
tw
=5.0 Re 1 2 x
3) 临界雷诺数
随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流 场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。 把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc， 其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 Re c u xc
流体平行流过平板的 临界雷诺数大约是
Re c 5 10
边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大
满足牛顿粘性定律：
w y
式中：τ——粘滞力，N/m2; μ——动力粘度, kg/(m· s) 在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力 也较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团
只能沿着壁面平行地分层流动，称为层流边界层。
加，这表明当x增大时，δ底增加很少。
4) 要点
• (1) 边界层厚度δ 与壁的定型尺寸L相比极小，δ << L • (2) 边界层内存在较大的速度梯度 • (3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面 处仍有层流特征，粘性底层（层流底层） • (4) 流场可以划分为边界层区与主流区（纵向）
• 层流边界段：Re数很小，粘性力占优势，忽略惯性力
(4)
u y
2t 2t t t c p u v 2 2 x x y y
a.定义5个基本量的数量级 主流速度：u ~ 0(1); 温度：
t ~ 0(1);
壁面特征长度： l ~ 0(1);
边界层厚度：
~ 0( ); t ~ 0( )
0
x
x x 5.0 w x
1
2
5.0 Re
1
2
要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 x x 1 )， 也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够 Re 1 的大,即
因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷 诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或 在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
1 1 1 （ 1

1

）
（
1 1
2
1

2
）
(c)
u v 0 x y
u u p u （u v ) 2 x y x y
2
t t 2 t 2t c（u v ) ( 2 2 ) p x y x y
(d)
1 1 （1 1
5
对于管内的流动运 动，取临界雷诺数 2300
粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内
粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。 紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较 小，流体具有紊流的特点。 边界层厚度=粘性底层+紊流支层
底 =29.4 x w
9
9 1 10

m
紊 =0.37 w x 4 5 m
15
紊 x = 0.37 Re1x 5
层 =5.0 xv w
底 =29.4 x w
9
12
9 1 10

m
由以上两式可以发现，流体的主流速度w∞越大，层流边 界层厚度δ层以及粘性底层的厚度δ底越薄；x增大时，层流边
界层厚度δ层随x0.5成正比增加，而粘性底层则随x0.1成正比增
结果为：

x C f , x 0.664 Re 1/ 2 x hx 0.332
5.0 Re 1/ 2 x

x Nu x 0.332 Re 1/ 2 Pr1/ 3 x
Re 1/ 2 Pr1/ 3 x
h 0.332

l
Re 1/ 2 Pr1/ 3
式中,Nux=αx/λ为局部努赛尔数，无量纲，其大小反映了局部 换热的程度。