数学建模 席位分配

将绝对度量改为相对度量 “公平”分配方 公平” 公平 法 若 p /n > p /n ，定义 1 1 2 2
p1 / n1 − p2 / n2 的 = rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2) 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
现将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 现将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 已分别有n 若增加1席 问应分给A, 设A, B已分别有 1, n2 席，若增加 席，问应分给 还 已分别有 是B？ ？ 即对A不公平 不妨设增加分配前已有 p1/n1> p2/n2 ，即对 不公平
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 不全为整数时， 应满足的准则： 不全为整数时 方向取最大整数； 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ≤ qi方向取最大整数； 与 [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ≥ qi方向取最小整数. 方向取最小整数 1) [qi]– ≤ ni ≤ [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取 i]– , [qi]+ 之一 必取[q 2) ni (N, p1, … , pm ) ≤ ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） 比例加惯例” ），但不满足 ） 比例加惯例 ）， Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！ 值方法满足 ） ） 令人遗憾！
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 个席位 三系用 值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 按人数比例的整数部分已将 席分配完毕
甲系： 甲系：p1=103, n1=10 乙系： 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系： 丙系：p3= 34, n3= 3 2
用Q值方法分配 值方法分配 席和第21席 第20席和第 席 席和第
问 题
三个系学生共200名 甲系100，乙系60，丙系40），代表 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 200 100 60 40）， 会议共20 20席 按比例分配，三个系分别为10 10， 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 20席如何分配 席如何分配？ 现因学生转系，三系人数为103, 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配？ 若增加为21席 又如何分配？ 若增加为21席，又如何分配？ 21
二．份额分配法(Quota Method) 份额分配法 一种以“相对公平”为标准的席位分配方法， 一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于 著名的“阿拉巴玛悖论” 著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。 。 美国宪法第1条第 款对议会席位分配作了明确规定， 美国宪法第 条第2款对议会席位分配作了明确规定 条第 款对议会席位分配作了明确规定， 议员数按各州相应的人数进行分配。 议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有 65席，因为议会有权改变它的席位数，到1910年， 席 因为议会有权改变它的席位数， 年 议会增加到435席。宪法并没有规定席位的具体分配 议会增加到 席 办法，因此在1881年，当考虑重新分配席位时，发现 办法，因此在 年 当考虑重新分配席位时， 用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在299个席 用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在 个席 位中获得8个议席 而当总席位增加为300席时，它却 个议席， 席时， 位中获得 个议席，而当总席位增加为 席时 只能分得7个议席 这一怪事被称为有名的“ 个议席。 只能分得 个议席。这一怪事被称为有名的“阿拉巴 玛悖论” 玛悖论”。
洪德(d′ 洪德 ′Hondt)规则 规则
分配办法是：把各党代表的选民数分别被 、 、 分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、 3、…除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分 、 除 按所有商数的大小排序， 即若A党的人数比 党的人数还多，那么给A党 党的人数比D党的人数还多 配。即若 党的人数比 党的人数还多，那么给 党3 席也是合理的。 席、给D党0席也是合理的。 党 席也是合理的
甲系11席 乙系6 丙系4 甲系11席，乙系6席，丙系4席 11
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 值方法比 席位分配的理想化准则 已知: 方人数分别为 已知 m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为 。 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为 设理想情况下 方分配的席位分别为n1,n2,… , nm 方分配的席位分别为 (自然应有 1+n2+…+nm=N)， 自然应有n 自然应有 ， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 的函数， 和 均为整数， 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A . ） 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算 B(n1+1, n2) ） 应计算r 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算 A(n1, n2+1) ） ， 应计算r 是否会出现？ 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
北欧折衷方案
作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为 作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.4、3、5、 、 、 、 7、… 、 A党 B党 C党 D党 2 2 1 0 三种分配方案，得到了完全不同的结果， 三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数法显 然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党， 然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，北欧折 衷方案对最大和最小党都不利
“公平”分配方 公平” 公平 法
人数 席位 p1 p2 n1 n2 A方 方 B方 方
找衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 的 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的 虽二者的绝对 不公平度相同 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的 但后者对 的不公平 程度已大大降低! 程度已大大降低!！
作业：
P55 第一题（第二章习题）
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系别 学生 比例 比 例 加 惯 例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0 100.0
席的分配 20席的 20席的分配 21席的分配 席的 席的分配 10.3 6.3 3.4 20.0 10 6 4 20
人数 （%） 比例 结果 ）
总和 200
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21 ？
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
该席给A 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给 rA, rB的定义
n 2 ( n 2 + 1)
2 p2
<
n1 ( n 1 + 1 )
2 p1
该席给A 该席给 否则, 该席给B 否则 该席给
p i2 , i = 1, 2 , 该席给 值较大的一方 定义 Q i = 该席给Q值 ni ( ni + 1)
推广到m方 推广到 方 分配席位
p i2 , i = 1, 2， , m L 计算 Q i = ni ( n i + 1)
该席给Q值最大的一方 该席给 值最大的一方
最大余数法
按每10万选民 席分配后 再按余数大小排序， 按每 万选民1席分配后，再按余数大小排序，多余的 万选民 席分配后， 席位依次分给余数较大的各党。 席位依次分给余数较大的各党。
党名 A B C D 代表选民数 199,000 127,500 124,000 49,500 整数席 1 1 1 0 余数 99,000 27,500 24,000 49,500 余额席 1 0 0 1 总席数 2 1 1 1
A党 除数 党 1 199,000(1) 2 99,500 (4) 3 66,333 (5) 4 49,750 3 总席位 B党 党 127,500(2) 63,750 42,500 31,875 1 C党 党 124,000(3) 62,000 41,333 － 1 D党 党 49,500 24,750 16,500 － 0
103 632 342 = 96.4, Q2 = = 94.5, Q3 = = 96.3 第20席 Q1 = 席 10 ×11 6× 7 3× 4
Q1最大，第20席给甲系 最大， 席
103 2 = 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 = 席 11 × 12
Q值方法 值方法 分配结果
Q3最大，第 最大， 21席给丙系 席 公平吗？ 公平吗？
第一章 初等方法建模
第一节 选举中的席位分配
一. 比例代表制 四个政党， 万选民， 例：有A、B、C、D四个政党，代表 万选民，各 、 、 、 四个政党 代表50万选民 政党的选民数为： 政党的选民数为： A党：199,000 B党：127,500 党 党 C党：124,000 D党： 49,500 党 党 要选出5名代表 名代表： 要选出 名代表： A党：2席 B党：1席 党 席 党 席 C党：1席 D党：0席 党 席 党 席 缺少1席 如何分配这最后一席呢？ 缺少 席，如何分配这最后一席呢？