高中数学中古典概率应用上之易错处探究
古典概率题错解辨析
古典概率题错解辨析在古典概型的学习中，大家都能熟记公式，但是在具体解题时，往往解错了也不知道错在哪里。
本节对常见的几种错解类型进行一些辨析。
１ 基本事件的非等可能性所造成的错解在解古典概率题，应用概率公式时，一定要先检查一下其中的基本事件是否等可能性．否则，会造成一些意想不到的错误．例1 掷4枚硬币，试求事件A ＝｛至少出现2个正面｝的概率。
错解 掷4枚硬币，所有可能出现正面的个数为0个，1个，2个，3个，4个共5种结果，故样本空间中的基本事件总数为5．事件A 包含3个基本事件．故其概率为P(A)=30.65=． 错因分析 这个结论是错误的．因为如果我们将4枚硬币从1至4编号，并将它们出现的正面或反面记录在一个4维向量中，则出0个正面的事件包含｛反、反、反、反｝1个基本事件，而出现1个正面的事件包含｛正、反、反、反｝，｛反、正、反、反｝，｛反、反、正、反｝，｛反、反、反、正｝4个基本事件，即出现０个正面和出现１个正面的机会是不均等的，不能利用古典概率计算公式来做．事实上，我们有本题解题中没有注意到这5种结果的非等可能性，从而造成了错解．本题的正解是234444012344444411()16C C C P A C C C C C ++==++++． ２ 事件的基本事件数与基本事件总数不属同一样本空间所造成的错解在同一个古典概率题中，只要保持基本事件的等可能性，样本空间可以有不同的取法，但计算时，基本事件数和基本事件总数一定要在同一个样本空间中考虑，否则就会产生错解．例２ 将大小相同的6个白球、6个黑球从袋中一个接一个地取出5球，试求所取的5个球中恰有4个白球的概率．错解 设事件A ＝｛所取的5球中恰有4个白球｝．由于5个球的取法与先后顺序有关，所以样本空间中共有512P 个基本事件．另外，由于题中关心所取的5个球中有几个白球，而并不关心这几个白球是在哪几次取出的，其与顺序无关，事件Ａ包含了4166C C 个基本事件．于是事件A 的概率为4166512()C C P A P =． 错因分析 这是一个错解．因为512P 是考虑取球顺序的样本空间的基本事件总数，而4166C C 是不考虑取球顺序的样本空间中事件A 包含的基本事件数，它们不属于同一个样本空间，从而导致错解．本题的正确解是4166512()C C P A C =或者415665512()C C P P A P =． ３ 基本事件重复使用所造成的错解例３ ５只球随机地落入４只盒子中，试求４只盒子都不空的概率．错解 设事件Ａ＝｛４只盒子都不空｝．每只球有４种进盒方法，５只球就有54种不同的落入方法．这是基本事件总数．为了计算Ａ包含的基本事件数，现分两步来实现：第一步：从５只球中任取４只球，将它们每盒一球地排入４只盒子中，这样就保证了盒子都不会空．有45P 种方法；第二步：让余下的一只球随机地进入４个盒中的任一盒，有４种方法．由乘法原理知事件Ａ包含454P ⋅个基本事件，故得455415()432P P A ==．错因分析 这个错貌似有理，很能迷惑人．现用①②③④⑤表示５只不同的球，按错解的思路来演示如下：第一步取①②③④这四个球，依次放入４个盒子中；第二步将余下的⑤号球放入第４个盒子．再看另一种落入的方法，第一步取①②③⑤这四个球依次放入４个盒子中；第二步将余下的④号球放入第４个盒子．结果表明，这两种落入的结果是完全一致的，是同一基本事件．如图所示而在错解中被重复计算成两个不同的基本事件，故导致出错．正确的解法为2554!15()464C P A ==．４ 组合中混杂排列所造成的错解⑤④这类错解在初学者中犯得最多，因此特地把它从基本事件重复使用这一类错解中分离出来，另列一类，以引起初学者的重视．例４ 袋中有红、黄、白三种颜色的球各2个，从中任取4个球，试求恰得2个红球和2个其它不同颜色的球的概率．错解 设事件A ＝｛所取的4个球中恰有2个红球和2个其它不同颜色的球｝．样本空间的基本事件总数是46C 。
高中数学第三章概率随机事件的概率和古典概型易错点分析例题训练北师大版必修
随机事件的概率易错点分析随机事件的概率概念多、且不易弄清它们之间的关系，学生在学习中经常遇到困难，下面就学生在解题时出现的错误分析如下，供大家参考.一、不理解频率的意义例1 若在同等条件下进行n 次重复试验，得到某个事件A 发生的频率为()f n ，则随着n 的逐渐增大，有（ ）A ()f n 与某个常数越来越接近B ()f n 与某个常数的差逐渐减小C ()f n 与某个常数的差的绝对值差逐渐减小D ()f n 的图象趋于稳定 错解 A 、B 、C分析 由频率与概率的关系知：对于给定的事件A ，由于事件A 发生的频率()n f A 随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率()n f A 来估计概率()P A .故A 、B 、C 都是错误的.正解 D二、应用能力差例2 有下列事件：（1）足球运动员点球命中；（2）在自然数集合中任取一个数为偶数；（3）在标准大气压下，水在100C 时沸腾；（4）已知A ＝{1,2,3},B={3,4},则B ØA ；（5）当α≠β时，sin α≠sin β；（6）光线在均匀媒质中发生折射现象；（7）任意两个奇数之和为奇数.问：上述事件中为随机事件的有______________________,为必然事件的有______________,不可能事件的有_________________.错解 随机事件有（1）、（2）、（6）；必然事件有（3）、（5）；不可能事件有（4）、（7）. 分析 （1）足球运动员罚点球可能命中，也可能不命中；（2）在自然数集合中任取一个数可能为奇数也可能为偶数；（3）在标准大气压下，水在100C 时一定沸腾；（4）已知A ＝{1,2,3},B={3,4},则B ØA 是不可能的；（5）当α≠β时，如果α＝60，β＝30，则sinα≠sinβ；如果α＝150，β＝30，则sinα＝sinβ；（6）光线在均匀媒质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象；（7）任意两个奇数之和为偶数正解随机事件有（1）、（2）、（5）；必然事件有（3）；不可能事件有（4）、（6）、（7）.三、未弄清互斥事件与对立事件的关系例3 判断下列命题的真假：（1）将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”.则事件A与B是对立事件；（2）在5件产品中有2件是次品，从中任取2件.事件A：“所取2件中最多有1件是次品”，事件B：“所取2件中至少有1件是次品”.则事件A与B是互斥事件；（3）若事件A与B是互斥事件，则P(A+B)＝P(A)＋P(B).错解命题（1）、（2）、（3）都是真命题.分析（1）错因是概念不清，将互斥事件与对立事件不加区别.因为事件A与B是对立事件还要满足A∪B是必然事件，显然这是错误的；（2）错因是未弄清“最多”、“至少”的意义，因为它们都包括“所取2件中有1件是次品”，当然事件A与B就不是互斥事件了；（3）是概率的加法公式，当然是正确的.正解（1）是假命题；（2）是假命题；（3）是真命题.四、未弄清对立事件的性质例4 设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“P(A)＋P(B)＝1”.则甲是乙的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件错解 C.分析若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A、B不是对立事件.正解 A.五、主观臆断例5 同时掷两枚骰子，问：(1)“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，哪一个发生的机会多?(2)最容易出现的和的点数是多少？并求出它的概率.错解（1）∵每次掷骰子的可能结果有6种，∴“两点的和等于7”的事件与“两点的和等于8”的事件，发生的机会相同；（2）出现的和的点数相同，概率为61 366=.分析错因是将掷一个骰子出现的6种结果与掷二个骰子出现两点和的事件当做一回事处理.正解设掷二个骰子，一个出现x点，另一个出现y点，和x+y,如下表：（1）从表中可得出：“两点的和等于7”的事件有6个，“两点的和等于8”的事件有5个，∴前者比后者容易出现.（2）从表中比较得，最容易出现的和是7，它的概率是61 366=.（3）。
古典概型中的两个易错问题
古典概型中的两个易错问题李娜张艳古典概型中的许多问题看似很简单，不学概率知识就能“理所当然”地得出答案，但实际上，有些答案往往是错的。
下面就两类易犯错误加以剖析。
一．等可能性的忽视。
古典概型的特点：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
例1：先后抛掷2枚均匀的硬币，求出现“一枚正面、一枚反面”的概率。
错解：基本事件为“2枚正面”、“2枚反面”、“一枚正面、一枚反面”共3个，设事件A=“一枚正面、一枚反面”，则事件A包含1个基本事件，()1 3P A∴=。
剖析：古典概型中()P A=（A包含的基本事件的个数）/（基本事件的总数），仅当所述的试验结果是等可能的时才成立。
事实上，基本事件为“正正”、“正反”、“反正”、“反反”共4个，事件A包含“正反”、“反正”2个结果。
()21 42P A∴==。
例2：设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回的依次摸出2只球，求这两只球都是白球的概率。
错解：依次摸出2个球，共有“白白”、“白黑”、“黑黑”3个基本事件。
设事件A=“两只都是白球”只包含“白白”一个基本事件，()1 3P A∴=。
剖析：“白白”、“白黑”、“黑黑”这3个事件不是等可能的。
正确解法1：4个白球分别标上1、2、3、4号，2个黑球分别标上5、6号，则基本事件为“1、2”“1、3”，“1、4”，“1、5”,“16”，“2、3”，“2、4”，“2、5”，“2、6”，“3、4”，“3、5”，“3、6”，“4、5”，“4、6”，“5、6”，共15个，事件A=“1、2”，“1、3”，“1、4”，“2、3”，“2、4”，“3、4”，包含5个基本事件，()62 155P A∴==。
正确解法2：此题也可将两次摸球，一次一次地考虑，设iB={第i次摸到白球}（i=1，2），则()()()()1212432 665P A P B B P B P B==∙=⨯=。
二．有序与无序的混淆。
古典概率计算中常见的错误及策略探究
古典概率计算中常见的错误及策略探究古典概率计算是一种重要的数理统计技术，它可以帮助人们理解不确定性、不断变化的事件，概率计算给出的概率值可以帮助人们制定策略，因此，概率计算在很多领域中都有重要的应用。
然而，由于概率计算涉及到很多复杂的数学知识，操作不当容易出现错误，影响到概率计算的准确性和结果的可靠性。
针对古典概率计算中的错误，本文将进行探究，并给出相应的策略，以提高计算结果的准确性。
首先，我们来看一下古典概率计算中常见的错误。
在古典概率计算中，常见的错误有：忽视概率项之间的互斥关系；错误计算概率值，如概率值和不为1；不知道如何正确计算多事件的条件概率；不能准确理解确定性事件和随机事件的判别；无法准确估计未知参数的概率分布。
这些错误极大地影响了古典概率计算的准确性，因此，有必要采取策略去改善古典概率计算中的错误。
其次，我们来看一下古典概率计算中常用的策略。
首先，为了准确计算概率，我们需要充分考虑概率项之间的互斥关系，特别是在计算多个事件发生概率的时候；其次，针对概率计算的过程，应该尽可能地使用简单的计算方法，避免使用复杂的计算公式；第三，有时候我们会有一些未知参数，这时候可以根据实际情况，对这些未知参数分布情况进行估计；最后，由于古典概率计算涉及到很多复杂的数学知识，因此，为了更好地掌握概率计算，应该注意不断加强数学基础知识的提升。
最后，应该重申的是，只有准确理解古典概率计算的基本原理，并采取正确的策略，才能使概率计算的结果可靠可靠。
利用这些策略，我们可以更有效地应用古典概率计算，保证计算结果的准确性。
在总结本文之前，我们再来简要看一下。
古典概率计算是一种重要的数理统计技术，它可以帮助人们更有效地制定策略。
然而，由于概率计算涉及到很多复杂的数学知识，操作不当容易出现错误，影响到概率计算的准确性和结果的可靠性。
因此，在进行古典概率计算时，应该注意考虑概率项之间的互斥关系、正确计算概率值、准确理解确定性事件和随机事件的判别、估计未知参数的概率分布，并加强数学基确的提升，以此来提高计算结果的准确性。
古典概型问题常见错解剖析
古典概型问题常见错解剖析
古典概型问题是用来考验和检测学生学习能力的一种常见的题目形式，但学生
在解答的过程中也会出现一些错误。
要想让学生正确解答古典概型问题，就必须剖析常见的错误解题思路，并结合实例加以解释。
首先，不少学生倾向于以过于简单的方法来解答不容易解答的问题。
例如有一
道题是关于如何最大限度地利用电能的，而有些学生则只是完全照搬此类问题中提出的建议，而未能深入思考以及创造出更多可能性。
在推理问题中，此类答案仅能赢得分值较低的评价。
其次，有些学生可能会出现对历史背景或者解题过程中涉及的基本知识的缺乏，从而导致他们无法根据题目暗示的信息来解答古典概型问题。
例如有一道问题是关于文艺复兴时期的经济历史，但某位学生的回答竟然完全无视文艺复兴时期有关的内容，而是给出了近代经济发展的简单解答。
最后，当学生以此学习任务为主导思维方式时，他们可能会忽视学习内容本身，并仅仅当作完成学习任务来看待古典概型问题。
这种做法可能会导致学生缺乏理解，缺少对概型的全面洞察，最终得出的结论可能毫无意义或者不正确。
因此，应该尽可能将学习任务与学习内容结合起来，从而获得更加客观全面的
理解，才能在解答古典概型问题时获得良好的效果。
在此过程之中，教师们也应当给学生在错误解答上以适当的指导，以提高学生解题能力。
高中概率论中一个易错概念
高中概率论中的一个易错概念摘要：在教学中经常碰到不可能事件和必然事件，我们都知道其相应的概率分别是0和1；但概率是0和1时，常有人相应地误以为它们一定对应着不可能事件和必然事件。
本文讨论的就是这种错误思想的成因，和用具体例子来正确认识这个问题。
关键字：概率的统计定义概率的古典定义概率的公里化定义测度概率论是研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象规律性的一门数学分支。
随着现代科学技术迅速发展，这门学科得到蓬勃发展，在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有越来越多的应用。
但在我们高中阶段引入概率知识后，本人发现很多学生在学习了概率的初步知识后认为“概率是0相应的事件就不发生”，在本人的教学学习活动中也发现不少教师在这一概念上不甚清楚，甚至给出“概率值是1相应的事件必然发生”这样犯了科学性错误的结论。
下面我们先来看两个例子。
例1．抛掷一颗骰子（假设骰子的质地是均匀的），它落地时向上的数可能是1，2，3，4，5，6中六个数字之一，求结果是3的平方的概率。
例2．在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取6件，求取得的6件产品都是次品的概率。
如以上这样的例子，其所求中的事件都是不可能事件，不可能发生的，相应的概率值都是0，因此造成很多人认为“概率是0相应的事件就不发生”。
接下来我们再看两个例子。
例3．在自然数集里任取一个数，求取到的数恰好是2的概率。
例4．在闭区间上任取一个数，求取到的数恰好是的概率。
在这两个例子中，我们很容易得到所求事件的概率都是0。
但是我们也很显然的知道，在例3和例4当中的事件并不是不可能发生的，不是不可能事件，在这两个例题中的事件都有可能发生！“概率是0相应的事件就不发生”这个结论在这两个例题中是错误的！是什么原因造成这种结果呢·其实是我们在教学过程中没有很好的把握概率学中的基本概念，没有深刻理解概率的定义。
其实概率的定义有多种形式,如以下三种定义形式：1.概率的统计定义：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n( )之比，称为这个事件在这n 次试验中出现的频率。
高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型易错点【含答案】
古典概型易错点主标题：古典概型易错点副标题：从考点分析古典概型易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：古典概型，古典概型公式，易错点难度：2重要程度：4内容：【易错点】1．古典概型的意义(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.(√) 2．古典概型的计算(4)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为A I.(√) (5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是0.2.(×) (6)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√)[剖析]1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义．2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集，故P (A )＝A I ＝m n，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如(5)、(6)．基本事件计数不正确致误【典例】 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．[错解] (1)数量积X 的所有可能取值为－1,0,1.(2)X ＝0时，有OA 1→·OA 3→，OA 4→·OA 6→，共2种情况； X ＝1时，有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种情况；X ＝－1时，有OA 1→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，共2种情况，∴所有基本事件总数n ＝2＋4＋2＝8.因此，小波去下棋的概率p 1＝28＝14， 小波唱歌的概率p 2＝24＝12，从而不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝12. [错因] (1)没能准确计算出X 的所有可能值，由数量积的运算知X 可能取－2，－1,0,1，忽视OA 2→·OA 5→＝－2.(2)基本事件列举不全面，思维定势，如X ＝－1，盲目认为向量共线，遗漏向量夹角为34π的4种情形．[正解] (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种， 数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种． 数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种情形．数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种情形． 故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为p 1＝715； 因为去唱歌的概率为p 2＝415，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝1－415＝1115. [注意] (1)准确理解题意，向量数量积由向量的模、夹角共同确定，要考虑各种情形，注意分类求解．(2)计算基本事件总数时，画出几何图形、树形图、分类列举法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段．。
苏教版数学高一-3.2素材 古典概型中的常见错误
古典概型中的常见错误山东省枣庄市第二中学 （277400） 王彦秋古典概型是非常重要的概率模型,如果不理解古典概型的定义和性质,常常出错,例如:一.易错点：重复计算基本事件的总数易错点导析：在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序.:和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法．例1. 从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任选两台，求两种品牌都齐全的概率． 错解：从5台中任取2台，所有结果共有5×4=20(种)，记事件A 为“一台为甲型另一台为乙型”，甲型从3台中取1台，乙型从2台中取1台，故其所包含的基本事件数为3×2=6.所以63()2010P A ==． 错解分析：错解的原因是重复计算了试验所有结果总数．其实，从5台中任取2台，按顺序(x,y)记录结果，x 有5种可能，y 有4种可能，但(x, y)和(y,x)是相同的，所以试验的所有结果应是5×4÷2＝10种．正确解法：从5台中任取2台，所有结果共有54102⨯= (种)，记事件A 为“一台为甲型另一台为乙型”，甲型从3台中取1台，乙型从2台中取1台，故其包含的基本事件有3232⨯= (种)，所以3()10P A =. 二.易忽略点；忽视等可能性的判断 易忽略点导析：公式()()()card A m P A card U n==的使用条件是试验为古典概型．在古典概型中，对“有限性”同学们容易掌握，而对“等可能性”的判断却不够重视，因此，在解题时，一定要站在同一角度上分析基本事件，以免引起混淆而出现错误，例2. 一个盒中装有大小相同的3个红球和2个绿球，从中摸出一球，求摸到一个红球的概率．错解：从中摸出一球的可能结果有两种：“红球”，“绿球”，所以摸出红球的概率为12. 错解分析：从球的颜色的角度上看，只有两种结果：“红球”和“绿球”，但由于红球有3个，绿球有2个，显然摸到红球的机会大于摸到绿球的机会，因此，它们不是等可能的．正确解法：从5个球中摸出一球，结果有5种：红1，红2，红3，绿1，绿2，摸到红球所包含的基本事件为前面的3种，故所求事件的概率为35. 三、对基本事件有关概念理解错误．易忽略点导析：对基本事件有关概念理解错误容易产生错误.对于该类易错知识多维化问题，除了注意数学的基本概念的理解外，还应注意把实际问题转化为数学问题时细节分析． 例3.有1号、2号、3号三个信箱和A ，B ，C ，D 四封信．若四封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A 信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？错解 每封信投入1号或2号信箱的机会均等，而且所有结果为4种，故A 信投入1号或2号信箱的概率为111 442 +=.错解分析应该考虑A信投入各个信箱的概率，而错解考虑成为四封信投入某一信箱的概率．正解由于每封信可以任意投入信箱，对于A信投入的各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为23．。
立足基础 常考常新——古典概型易错点剖析
立足基础常考常新——古典概型易错点剖析
张修英
【期刊名称】《中学生数理化（高一数学）》
【年(卷),期】2024()5
【摘要】概率是每年高考的重点考查内容之一,尤其是简单的古典概型问题。
在日常工作和社会经济生活中,有大量的随机事件的概率并不一定要通过大量的试验来得到,只要知道了一些基本情况,就可以知道它们相应的概率,这就是最常见的古典概型。
下面就古典概型中常见的易错点进行剖析,使同学们达到“误”中有“悟”。
【总页数】2页(P31-32)
【作者】张修英
【作者单位】江苏省泗洪中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.学生的易错点剖析之一——与“角度”有关的几何概型
2.古典概型与几何概型易错点辨析
3.几何概型问题的易错点剖析
4.典例剖析古典概型与几何概型异同
5.剖析几何概型问题的常见易错点
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高中数学 第三章 概率 古典概型中的一个易错问题知识素材 北师大版必修3
古典概型中的一个易错问题对于古典概型概率的求法，只要求出基本事件总数和事件A包含的基本事件个数就行了。
困难在于确定基本事件，使之具有有限性和等可能性。
判断等可能性是被许多人忽略，又使许多人感到困惑的问题，要做好这一点，需要严谨的思维，切忌想当然。
本文就是对这类问题出现的错误归类予以剖析，以期引起大家的注意。
例1. 一个家庭有两个小孩，求他们中至少有一个女孩的概率。
错解：样本空间：两个女孩或两个男孩或一男一女，用A表示“至少有一女孩”这一事件，则Ω={(男，男),(男，女),(女，女)}A={(男，男),(男，女)}∴P(A)= 2 3解析：上述解法在考虑样本空间时，两个女孩或两个男孩或一男一女发生的可能性不相等。
古典概型中，P(A)= A包含基本事件的个数基本事件的总数仅当所述的试验结果是等可能时才成立。
两个女孩只可能是（女，女），但有一女孩的情况有（男，女），（女，男）两种情况，所以Ω={(男，男),(男，女),（女，男），(女，女)}A={(男，女)， (女，男), （女，女}，∴P(A)= 3 4例2.设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球，（1）求这两只球都是白球的概率；（2）求这两只球中一只是白球一只是黑球的概率。
错解1：一次摸出2个球，观察结果的颜色只能有（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种情况，即Ω={(白，白),(白，黑),（黑，黑）}。
（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，A ={(白，白)}，所以P(A)= 1 3（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，B={(白，黑)}，所以P(B)= 1 3错解2：从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有65215⨯÷=种可能结果，（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4326⨯÷=种可能结果，所以P(A)= 2 5（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有4224⨯÷=种可能结果，所以P(B)=2 15解析1：在上述错解1中（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种结果出现不是等可能的。
高中数学概率_重问题探讨
高中数学中古典概率应用上之易错处探究一、基本概念【问】盒子中装有标号为1，2，3，4的卡片各两张，从盒子中任意抽取3张求抽出的3张卡片上最大数字是4的概率．盒子中写着1，2，3，4的卡片各2张，就是说盒子中有8张卡片，又因为每张卡片被抽的可能性相等，所以从盒中任意抽取的概率为C83三张卡片最大数字是4的概率，首先要求3张卡片至少有一张是4的取法有几种，那么1.有一张是4的概率是C62*C212.有两张是4的概率是C61*C22则有 M=C62*C21+C61*C22 N=C83那么三张卡片上最大数字是4 的概率为P=M/N=9/14因为每张被抽的可能性相等，所以不用考虑被抽取的卡片标号是否相同。
【问】一个袋中装有大小相同的黑球，白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任取1个球，得到黑球的概率是2/5，从中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是2/3，求：1）从中任意摸出两个球，得到的都是黑球的概率。
2)袋中白球的个数从第1句话可得黑球数位10*2/5=4个第2句话说至少有白的概率是2/3得摸出2个球都不是白的概率是1/3假设白球X个得 [(10-X)/10]*[(9-X)/9]=1/3X=4 即白球有4个者红球有2个【问】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．求甲以4比1获胜的概率4比1获胜说明一共进行了5局前4局中要胜3局（所以C43) ，要败一局（因为如果4局全胜就没有第5局了）。
然后第5局胜（再乘以1/2)2.“隔板法”隔板法是插空法的一种特殊情况，它的使用非常广泛，能解决一大类组合问题。
下面用一个具体的例子来说明它的使用的优越性。
例2 将9个相同的小球放到六个不同的盒子里，每个盒子至少放一个球，有多少种不同放法。
解法一：先在盒子里各放一个球，再把剩下的3个球放到6个盒子里，分三类：C种放法；①3个球放到一个盒子里，有16P种放法；②3个球放到两个盒子里，球数分别为2，1，共26③3个球放到3个盒子里，每个盒子各一个球，共36C 种放法。
古典概率计算中常见的错误分析
㊀㊀㊀解题技巧与方法１３７㊀数学学习与研究㊀２０２０ １古典概率计算中常见的错误分析古典概率计算中常见的错误分析Һ肖红梅㊀(吉林师范大学ꎬ吉林㊀四平㊀１３６０００)㊀㊀ʌ摘要ɔ古典概率是概率学的重要组成部分ꎬ对古典概率的学习主要是关于它的计算问题ꎬ古典概型的计算问题在中学时期就已经出现.本文主要针对学生在古典概率计算中的易错点ꎬ进行错误分析ꎬ找到学生出问题的地方ꎬ希望对学生在古典概率的学习上能够有所帮助.ʌ关键词ɔ古典概率ꎻ样本空间ꎻ等可能ꎻ随机事件高中教科书中关于概率计算的问题包括两个部分ꎬ分别是古典概率与几何概率.本文主要通过列举实际的古典概率的计算问题ꎬ来对古典概率计算中常见的几个错误进行具体分析.一㊁古典概率的定义与公式对古典概率ꎬ首先是在假设随机现象所能发生的事件是有限的㊁互不相容的ꎬ并且是在每个基本事件发生的可能性相等的前提下进行的.事实上ꎬ古典概率的假想世界是不存在的.一般地ꎬ设在所有可能出现的基本事件范围内构成事件Ａ的基本事件有Ｎ(Ａ)个ꎬ总的基本事件个数是Ｍꎬ则出现事件Ａ的概率是Ｐ(Ａ)＝Ｎ(Ａ)Ｍꎬ这就是古典概率的计算公式ꎬ接下来我们通过几道经典的习题来分析一下学生常常出错的地方.二㊁样本空间的选择错误(一)基本事件数与基本事件总数不属于同一样本空间在古典概率的计算公式Ｐ(Ａ)＝Ｎ(Ａ)Ｍ中ꎬＮ(Ａ)ꎬＭ分别是一个样本空间中的事件Ａ所含的基本事件数与基本事件总数ꎬ公式要求构成Ａ的基本事件个数Ｎ(Ａ)与基本事件总数Ｍ要属于同一个样本空间ꎬ如果Ｎ(Ａ)ꎬＭ在两个不同的样本空间ꎬ那么就会产生错误ꎬ为了便于我们的理解ꎬ来看下面两道例题.例１㊀某商店有２４只灯泡ꎬ其中有４只是劣品ꎬ其余灯泡均可以正常发光ꎬ商店老板在这些灯泡中每次任取１只ꎬ取完后不放回ꎬ连续取３次ꎬ问取出的灯泡中恰好有一个是劣品的概率Ｐ(Ａ).错解分析㊀情况一:因为灯泡是一个一个取出来的ꎬ所以所有可能的取法与３次取得的顺序是有关联的ꎬ所以总的样本空间为Ω１＝Ｐ３２４ꎬ由此就得到了错误答案:Ｐ(Ａ)＝Ｃ１４Ｃ２２０Ｐ３２４.情况二:因为求的是取出来的３只灯泡中只有１只是劣品的概率ꎬ而不关心是哪一次取出来的ꎬ所以就没有顺序问题ꎬ总的样本空间为Ω２＝Ｃ３２４ꎬ由此得到错误答案Ｐ(Ａ)＝Ｐ１３(Ｃ１４Ｃ２２０)Ｃ３２４.此题的样本空间有两种取法ꎬ分别是有序与无序.产生这两种错误情况的原因是分子与分母分别在两个不同的样本空间中ꎬ也就是分子与分母的计算方法不同ꎬ导致出错.正确解答㊀此题的正确答案为Ｐ(Ａ)＝Ｐ１３(Ｃ１４Ｃ２２０)Ｐ３２４(有序)或Ｐ(Ａ)＝Ｃ１４Ｃ２２０Ｃ３２４(无序).(二)样本空间中的样本点不是等可能的古典概率的定义规定了古典概率要在假设事件发生的结果是有限的㊁等可能的前提下进行的ꎬ如果忽略这一点就会得到错误答案.所以学生在做题时一定要注意ꎬ所选择的样本空间的样本点一定是等可能的.例２㊀某人一次掷两个骰子ꎬ求此人掷出的骰子数之和是偶数的概率Ｐ(Ａ).错解分析㊀学生可能认为一次试验后所有可能的结果有三种ꎬ分别是骰子数全部是奇数㊁全部是偶数和一奇一偶ꎬ由此得到错解Ｐ(Ａ)＝２３.事实上ꎬ骰子数全为奇数㊁全为偶数和一奇一偶三种基本事件发生不是等可能的ꎬ全为奇数和全为偶数的概率都是１４ꎬ而出现一奇一偶的概率是１２ꎬ不符合古典概率的假设条件ꎬ所以就不能再运用古典概率的公式来解答ꎬ因此ꎬ导致出现错误.正确解答㊀记(ａꎬｂ)为一次掷两个骰子的结果ꎬ其中ａ代表第一个骰子出现的点数ꎬｂ代表第二个骰子出现的点数ꎬａ或ｂ可取的值为１ꎬ２ꎬ ꎬ６ꎬ所以基本事件空间为６ˑ６＝３６ꎬ事件Ａ所包含的基本事件数为３ˑ３＋３ˑ３＝１８ꎬ由此所求概率Ｐ(Ａ)＝１８３６＝１２.三㊁常用的术语理解错误学生在学习古典概率问题时ꎬ经常会遇到 至多 至少 不少于 不超过 都 不都 都不 才是 等术语ꎬ这些词都是解决问题的关键ꎬ只有正确地把握住这些词的语境ꎬ才能将题目做正确.例３㊀口袋中一共有１０个球ꎬ其中白球８个ꎬ黑球２个ꎬ从中依次不放回地取出３个球ꎬ求第三个球是黑球的概率Ｐ(Ａ).㊀错解分析㊀通过审题可以知道要从口袋中依次不放回地取出３个球ꎬ所以与取球的先后顺序有关联ꎬ因此ꎬ总的事件空间为Ｍ＝Ｐ３１０ꎬ但如果不能很好地理解此题中的关键词ꎬ就很容易理解成就第三个球是黑球ꎬ导致出错ꎬ得到错误答案Ｐ(Ａ)＝Ｃ１２Ｐ２８Ｐ３１０.正确答案㊀第三个球是黑球的取法有Ｃ１２种ꎬ而第一㊁二个球要从剩下的９个球中去取ꎬ所以可能的取法有Ｐ２９种ꎬ因此ꎬ得到正确答案Ｐ(Ａ)＝Ｃ１２Ｐ２９Ｐ３１０.四㊁概念混淆错误学生在刚接触概率时ꎬ常常会把 频率 当作 概率 来进行计算ꎬ导致出错.频率是在多次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值ꎬ概率是某一事件所固有的性质.频率是变化的ꎬ概率是稳定值ꎬ不变的.例４㊀抛三次硬币ꎬ求只出现两次正面的概率Ｐ(Ａ).错解分析㊀审完题之后很多人可能认为进行三次试验ꎬ有两次试验是正面ꎬ所以就会得到错误答案Ｐ(Ａ)＝２３ꎬ这是因为做题者误将频率当成了概率.正确答案㊀抛三次硬币ꎬ总的基本事件空间Ω＝{(正ꎬ正ꎬ正)ꎬ(正ꎬ正ꎬ反)ꎬ(正ꎬ反ꎬ正)ꎬ(反ꎬ正ꎬ正)ꎬ(正ꎬ反ꎬ反)ꎬ(反ꎬ正ꎬ反)ꎬ(反ꎬ反ꎬ正)ꎬ(反ꎬ反ꎬ反)}ꎬ共８个基本事件ꎬ事件Ａ＝{(正ꎬ正ꎬ反)ꎬ(正ꎬ反ꎬ正)ꎬ(反ꎬ正ꎬ正)}ꎬ共３个基本事件ꎬ所以由古典概率计算公式可知Ｐ(Ａ)＝３８.五㊁小㊀结通过以上的错误分析ꎬ可以知道ꎬ我们在处理古典概率的计算问题时ꎬ可以从以上几个方面进行着手ꎬ做题并检验.值得注意的是本文提到的这几个错误ꎬ仅仅是学生在古典概率计算中常见的出错点ꎬ并不代表全部ꎬ所以在遇到具体问题时ꎬ我们要进行具体分析.ʌ参考文献ɔ[１]贾明斌ꎬ颜景佐.古典概率计算问题中的常见错误分析[Ｊ].山东电大学报ꎬ２００５(１):５９－６０.[２]赵曹荣.概率计算中的常见错误及错因分析[Ｊ].中国数学月刊ꎬ２００８(９):４６－４７.[３]刘金.古典概型计算中的常见错误及分析[Ｊ].数学通讯ꎬ２００８(１４):３４－３５.[４]易同茂.古典概率计算中常出现的错误及分析[Ｊ].长江工程职业技术学院学报ꎬ１９９８(３):３４－３５.。
警惕概率问题中的几种误区
ｌ
。
析： 上述解法未将骰子标上记号 ， 类似 于（ １ ， ２ ） 和（ ２ ， １ ） 的结果
误区三 ： 古典概型与几何概 型混淆不清
没有区别 ， 而（ １ ， １ ） 只有一种结果 ， 显然基 本事件不是 等可能发生
的， 不满足古典概型 ， 解 法有 误 。
例３ ． 已知 Ｉ ｌ ≤２ ， ｌ Ｙ １ ≤２ ， 点 Ｐ的坐标为（ ， Ｙ ） ， 则当 ， Ｙ Ｅ Ｚ
误 ：点 在 线段 ＡＢ上 运 动 ，满 足 只 能 在 线段 Ａ Ｄ （ ＡＤ ＝
刻剖析 ， 以帮助学生透彻理解概率概念 ， 现归纳总结如下 ：
误区一 ： 用古典概型计算概率 时。 未验证事件所 出现 的结果是 否等可能发生
Ａ ｃ ） 上 运 动 ， 故 十 摇 十 ＝ 。
生： 讨 论 后 汇报
学习态度 ， 即培养学生 以真理为准的学 习态度 。
２ ． 从教师方 面入 手 ， 让教师 明白教师不是课堂 的“ 主宰 ” ， 教师 是学 生学 习动机 的激发者和课堂气氛的营造 者 ，教 师是课堂行为 教育家 波利亚说 过 ： “ 学 习任何知 识 的最佳途径 是 自己去发 现” 。本节课从设置情景提 出问题 ， 到动手操作 、 交流 ， 直 至归 纳得 和学 习效果 的评价者 。素质教育 中要求教师在教 学中要改变 自己 已经 习惯 了的教学方式 ， 有意识地 给学生创造机会 ， 让他们亲身体 出结论 ， 整节课 中学生参 与教学活动 、 积极思维 、 创造性 地解决 问
高中概率论中的一个易错概念
高中概率论中的一个易错概念作者：宋圣祥来源：《读写算》2012年第58期摘要：在教学中经常碰到不可能事件和必然事件，我们都知道其相应的概率分别是0和1；但概率是0和1时，常有人相应地误以为它们一定对应着不可能事件和必然事件。
本文讨论的就是这种错误思想的成因，和用具体例子来正确认识这个问题。
关键字：概率的统计定义概率的古典定义概率的公里化定义测度概率论是研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象规律性的一门数学分支。
随着现代科学技术迅速发展，这门学科得到蓬勃发展，在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有越来越多的应用。
但在我们高中阶段引入概率知识后，本人发现很多学生在学习了概率的初步知识后认为“概率是0相应的事件就不发生”，在本人的教学学习活动中也发现不少教师在这一概念上不甚清楚，甚至给出“概率值是1相应的事件必然发生”这样犯了科学性错误的结论。
下面我们先来看两个例子。
例1．抛掷一颗骰子（假设骰子的质地是均匀的），它落地时向上的数可能是1，2，3，4，5，6中六个数字之一，求结果是3的平方的概率。
例2．在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取6件，求取得的6件产品都是次品的概率。
如以上这样的例子，其所求中的事件都是不可能事件，不可能发生的，相应的概率值都是0，因此造成很多人认为“概率是0相应的事件就不发生”。
接下来我们再看两个例子。
例3．在自然数集里任取一个数，求取到的数恰好是2的概率。
例4．在闭区间上任取一个数，求取到的数恰好是的概率。
在这两个例子中，我们很容易得到所求事件的概率都是0。
但是我们也很显然的知道，在例3和例4当中的事件并不是不可能发生的，不是不可能事件，在这两个例题中的事件都有可能发生！“概率是0相应的事件就不发生”这个结论在这两个例题中是错误的！是什么原因造成这种结果呢·其实是我们在教学过程中没有很好的把握概率学中的基本概念，没有深刻理解概率的定义。
求解古典概型常见错误剖析
求解古典概型常见错误剖析古典概型是概率论的基础之一，常被用于解决问题，但是在求解的过程中常常出现一些错误或者不严谨的地方，下面就对这些常见错误进行剖析和说明。
1.未考虑概率的加法原理在使用古典概型解决问题的时候，有时我们需要计算事件的概率，此时会出现一些容易犯的错误。
最常见的错误就是未考虑概率的加法原理。
概率的加法原理指的是：当两个事件没有交集时，它们同时发生的概率等于这两个事件发生的概率之和。
例如，一张扑克牌从52张扑克牌中任选一张牌，这个事件的概率是1/52。
如果现在想要求在两次抽牌中至少有一次抽到黑桃A的概率，应该用“1-不出黑桃A的概率”计算。
此时，不出黑桃A的概率为51/52，因此，至少有一次抽到黑桃A的概率为1-（51/52）×（51/52）=0.039，而不能简单地将1/52相加，得出0.038。
2.过度依赖对称性在一些有对称性的问题中，过度地依赖于对称性，容易导致错误的结果。
古典概型中常有对称性问题，如“在一张扑克牌中抽取两张牌，求两张牌的花色不同的概率”。
这个问题中，我们可能会觉得花色不同的情况只有两种：黑红、黑梅，因此概率为2/52。
但实际上，这个问题有更多种花色不同的情况，如红黑、红梅、红方、黑方、梅方等等，总共有C(4,2)×C(13,1)×C(13,1)=1326种情况，因此概率为1326/2,652=0.5。
3.未考虑再次选取的影响在一些问题中，一次选取后必须再次选取，其结果会对后续的选取有影响，但是我们常常会忽略这个因素。
例如，在一副52张扑克牌中，抽取4张牌，求其中3张牌是红桃的概率。
我们可能会认为，红桃共有13张，所以3张牌是红桃的概率为C(13,3)/C(52,4)=0.003，但实际上这个结果是不正确的。
因为要求3张牌是红桃，意味着第四张牌不能是红桃，而4张牌中第四张牌出现的概率为39/48。
因此，正确的计算方法是：C(13,3)×C(39,1)/C(52,4)=0.042。
高中数学概率统计部分易犯错误及教学策略研究
高中高中数学概率统计部分易犯错误及教学策略研究?福建莆田第八中学 胡云贵概率统计部分是高中数学教学的重要组成部分，也是高考数学的必考点之一，研究概率统计部分知识，对于提高学生的高考数学成绩，指导高中数学教学具有重要的意义．从高中数学教材的整体编排来看，概率统计部分知识涵盖的范围较广，不论是必修还是选修，该部分内容均有涉及．一、概率统计部分知识高考情况概述通过对近些年高考数学试卷的统计分析不难发现，概率统计部分知识在高考数学试卷中占据的分值逐年增加，题型由原来单一的简答题增加了部分选择与填空题．其中考查的知识点主要涵盖了图表分析、事件概率、分布列与期望、独立重复试验概率、二项式定理等，其中图表分析是近些年高考数学试卷中出现得较多的类型，二项式与排列组合部分知识主要出现在选择题和填空题．其对知识的考查形式，不再仅仅是停留在知识点本身，还考查知识在生活实践中的灵活运用．随着教育改革的实施，高考数学也在不断发生变化，其中对于概率统计知识的考查也更加全面，其题目标新立异，并且蕴含了多种思想及解题方法，对学生数学能力有了更高的要求．二、高中数学概率统计部分易犯错误类型分析１．概念掌握不够准确，公式乱用高中阶段学习的概率统计部分知识点相对较为零散，还有些知识较为抽象，学生理解起来难度较大．例如，在概率统计部分知识中的“事件”是学生理解难点．并且，该部分知识还是概率统计部分学习的基础，如果学生不能够很好地理解该部分知识，就会在后面的解题中出现问题．例１ 在１～５的五个数字中，随机抽取两个：①一个奇数一个偶数；②两个奇数和最少一个是奇数；③两个偶数和最少一个是奇数；④最少一个偶数和最少一个奇数．以上事件中是相互对立的是（ ）．１．① Ｂ．②④ Ｃ．③ Ｄ．①③问题分析：在１～５的５个数当中，任选其中两个存在都是奇数、一个奇数一个偶数和都是偶数三种可能性．题目要求找出相互对立的事件，就说明要找出的这两个事件是互斥的．在选项中①一个奇数和一个偶数不是互斥事件，②中至少有一个奇数就包含了两个奇数的情况，所以它门不属于互斥事件，③两个偶数和至少一个奇数的情况不可能同时出现，是相斥事件．④中最少一个偶数和最少一个奇数的事件有可能同时存在，并不是互斥事件．学生在解决这一问题时出现错误的主要原因就是对事件概念的理解上不够准确．２．分析理解问题的能力不足学生在解决概率统计问题时，容易在对事件整体、局部进行综合分析时出错，主要原因在于学生对问题的分析理解不到位，不能够正确理解题意．例２ 请利用所学过的知识来解释“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”这句话．问题分析：我们借助概率统计部分的知识来分析这一句话的本质就是，三个臭皮匠当中的任何一个人能够胜过诸葛亮就可以．假设一个臭皮匠的成功率犘（犅）＝０．４，那么这个三个人的成功率最少是犘（犃）＝（１－犘（犅））３＝０．７８４；如此一来，诸葛亮的成功率０．６＜０．７８４，所以“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的论点是正确的．像这类概率统计问题的实质就是小概率事件单个发生的可能性可能没有办法达到要求，但是当它重复的次数足够多时，就能够趋向于发生．很多学生看到题目后就感觉无从下手，找不出问题的核心，分析２９教育纵横争鸣探索 ２０２１年４月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中不出题目的本质，找不出解题方向．３．对知识的实际应用能力不强学生对教学中的知识与生活实践的联系不够密切，对知识的实际应用能力不强，对生活中的一些实例认识不够深入．在解题过程中，当题目利用生活实践场景包装过后，就不能够清楚地理解题目考查的信息，难以与所学的知识之间建立起联系．例３ 小红和小刚两个人相约去游乐场玩耍，他们两个约定在周末的早上７：００到８：００之间见面，先到的那一位等待后到的，如果超过４０分钟后到的还未到，先到的就可以离开了．如果两人的出发是相互独立的，他们两个在周末的早上７：００到８：００之间见面的可能性相等，那么小红和小刚两个人相见去游乐场的概率是多少？图１问题分析：题目中要求小红和小刚两个人相见去游乐场的概率，我们就需要首先确定两个人相见去游乐场的条件：“两个人约定等待的时间要小于等于４０分钟”．学生拿到这一题目后，很多学生找不出这一关键点，导致他们无从下手．假设小红到达约定地点的时间为狓，小刚到达约定地点的时间为狔，根据题意及图１所示，我们得知只有满足狓－狔≤－２３时才能够满足题意，即图中的阴影部分面积与整体面积之比．４．计算能力较差计算能力是数学解题的基础要求，如果没有一个良好的计算能力，再优秀的方法和策略都是零．通过对近些年概率统计部分试题的统计发现，部分学生在解决问题时，计算能力是他们的一个弱点，尤其是涉及二项式定理部分的知识点．二项式定理部分题目题型相对简单，学生只需要根据既有的公式来解题即可，但是由于学生的计算能力不足导致的解题错误比比皆是．三、高中数学概率统计部分教学策略１．渗透数学思想，构建自己的教学模式数学思想在概率统计部分的教学中依然重要，教师在课堂教学中，要注意数学思想方法的渗透，要结合一线教学环境和学生的生活实践，注重对学生数学思想的引导．在概率统计部分的教学中，该部分知识的最大特点就是实践性强，可操作性大，与我们的生活实践密切结合．更应该将数学思想的渗透放在重要的位置上．例如，在学习概率事件章节内容时，偶然和必然的数学思想对学生来非常重要，教师可以引导学生去体会这一思想．随机事件说的是随机变化的，并不是说要一定发生的，就像天气预报、掷骰子和抛硬币等．像这些随机的事件却存在着必然的规律，我们在每次的抛硬币中不但得到的结果不同，而且正反交替的面的出现顺序也不同，它只能是随着实验次数的增加，正面朝上的概率会趋向某一个值．教师可以让学生通过动手操作的形式，去体验这一概念．另外，教师要给学生充分的课堂展示空间，构建创新的教学模式．教师可以通过多种渠道准备教学资源，对于那些抽象的概念，教师可以导入概念的来源，带领学生体验概念的形成过程，让学生加深对概念的理解．２．创新理念，落实多样化教学方法第一，构建切合生活实际的教学情境．概率统计部分知识很大程度上与我们的生活实践密切结合，在教学中，教师就可以创设彩票问题、成绩统计等情景．学生学习了数学期望后，引导学生回忆如何在保证超市收益的基础上，如何设置超市抽奖活动的奖品及获奖人数．通过这样的生活实例情景设置，让学生感受所学知识的魅力，提高学生学习的积极性．第二，引入经典案例．概率统计部分知识对学生来说理解起来难度较大，教师可以选择一些贴近学生生活实践的案例来辅助教学，将抽象的概率统计知识具体化为学生的生活实践．在教学中，通过一些经典案例的引入，能够提高学生的学习兴趣，了解学生的解题思维．犠３９２０２１年４月 争鸣探索教育纵横Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
古典概率模型错例分析
随机变量的概率求法错例分析广东省陆丰市启恩中学(516500)林敏燕随机变量的概率求法是高考的一个重点与难点，在历年的高考中，客观题和主观题都有出现。
同学们在复习这部分内容里由于对概念的理解不够透彻，常常会犯一些错误。
本文把一些常见的错误分类展示出来，供同学们参考。
1 概念不清互斥事件,对立事件与相互独立事件是几个很重要的概念,学习时要把握它们的联系与区别.例1 若随机事件A ，B 发生的概率均不等于0,且()()()P A B P A P B +=+,则事件A,B 的关系是( )(A)A 与B 是互斥的;(B) A 与B 不是互斥的;(C)A 与B 是独立的;(D) A 与B 不是独立的错解:对任意的事件A,B,总有()()()()P A BP A P B P A B +=+-,由条件可知()0P AB =,故A,B 是互斥的,选(A). 错因分析与正解:如果A,B 是互斥的,则()0P AB =,反之却不成立.事实上,由()0,()0P A P B >>可知()()()P AB P A P B ≠,故A 与B 不是独立的,选(D).点评:要清楚事件互斥与事件独立的联系与区别,把握它们的定义是解题的关键之处.2.基本事件个数计算出错古典概率模型中概率的计算主要是排列组合数的计算,计算时一定要看清物品与组有没有编号,如“相同的小球”是指物品没有编号,“分成A,B 两组”是指组有编号等等.例2 8支蓝球队中有2个强队,先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛,这两个强队被分在同一组的概率是多少?错解: 8个队分成两个组有4484C C 种分法,两个强队被分在同一组有224264C C C 种分法,故两个强队被分在同一组的概率是2242644484314C C C P C C == 错因分析与正解:这是属于物品不同,组没有编号的排列组合问题. 事实上,8个队分成两个组有442842/C C A 种分法,这是因为组没有编号.从而两个强队被分在同一组的概率是22426444842237C C C P C C A == 点评:这类问题是同学们最容易犯的错误,组有编号和没有编号的组合数是不一样的.3.模型滥用古典概率模型是指试验中所有可能出现的基本事件只有有限个且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型.运用时一定要注意模型的前提条件.例3 甲,乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛,双方1号队员先赛,负者被淘汰,然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛,负者又被淘汰,一直这样进行下去,直到一方队员全被淘汰时,另一方获胜.假设每个队员的实力相当,试求甲方有四名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率.错解:将问题转化为10个人坐座位,因为事先顺序已定,故从10个位置中选5个位置给甲有510C 种选法,而甲胜的情况是最后一个位置为甲的最后一人,倒数第二个位置为乙的最后一人,其余8个位置中选4个位置给甲的其余4人,共有48C 种选法,所以所求事件的概率是:48510518C P C == 错因分析与正解:错解基于古典概率模型的计算方法, 解决古典概率模型的概率问题，首先应判断可能出现的试验结果。
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高中数学中古典概率应用上之易错处探究戴少奇西南大学数学与统计学院，重庆，400715摘要：本研究关注的是高中理科生在学习高中概率的过程中存在的典型错误及其错误的原因，本文通过对教材分析、课堂观察以及日常作业情况找出学生存在的典型错误，再参考教材及与在职教师的探讨后，根据所掌握的统计结果和学生的访谈情况对存在错误的可能性作出归因分析。
关键词：高中数学；概率；易错题；探究Some explorations on error-prone exercise of classicalprobability in high school mathematicsDai ShaoqiSchool of Mathematics and Statistics,Southwest University,Chongqing 400715,chinaAbstract: This study focuses on the typical mistake of high school science students in the course of learing probability and the reasons of these mistake.we explore ther typical mistakes of the students by the analysis of the teaching materals,classroom observation,and daily operations.Finaly, according to teaching materials,the discussions with service teachers.available statistics and interviews with students,we give some attributiion analysis on the probability of the exercise of the errors.Keywords: high school mathematics; probability; error-prone exercise; exploration1. 问题的提出1.1 研究背景在日常生活中，人们经常要在不确定的情况下做出决定，如在买彩票时，要凭借每一个号码出现的情况来预测结果,人们在乘坐飞机时都要根据该飞机的飞行状况来确定是否买保险,我们常常根据自己的经验判断某一件事情发生的可能性大小等。
可以这样说，在我们所生活的世界上，充满了不确定性和随机性。
因此我们就试图通过某一种确定的东西来猜测这样一种不确定性，而这样一种能够提供给我们参考的数据就是某一件事件发生的概率(probability),它在帮助人们正确的处理信息、作出合理的决策方面有着很大的参考价值，同时也成为人们处理事情所必须掌握的基本素质之一。
从20世纪90年代后期起，概率又被重新列入“实验”，随着2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的颁布，基础教育课程改革拉开序幕。
2003年《普通高中数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）的颁布，明确将概率列为必学的内容。
2004年9月，普通高中新课程正式启动，广东、山东、海南、宁夏四省率先实验。
截至2008年秋季，实验区已扩大到了全国十九个省、市。
按照教育部的规划，2010年以前普通高中新课程将在全国全面铺开。
但就目前高三学生来说，除了十个省、市（宁夏、广东、山东、海南、江苏、福建、浙江、辽宁、安徽、天津）使用的是依据《标准》编制的新课程教材外，其他大部分地区使用的仍然是依据2002年《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》），由人民教育出版社统一编制的《全日制普通高级中学教科书·数学》，即大纲版教材。
由于《大纲》和《标准》对学生的要求不同，对概率知识的安排也有所不同。
《大纲》将高中概率分为必修部分和选修部分，其中必修部分包括随机事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验等，约12课时，安排在高二下学期学习；选修部分的离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容仅理科生学习，约5课时，安排在高三上学期。
《标准》基本上涵盖了《大纲》的内容，将频率与概率、互斥事件的概率及古典概型结合在一起，构成必修部分，安排在数学3，约8课时；把离散型随机变量及其分布列、超几何分布、相互独立事件、独立重复试验及二项分布、离散型随机变量的均值与方差等结合在一起构成选修部分，安排选修2-3次，约12课时。
大纲版教材是以古典概型为主，在学生具备排列组合知识的基础上引入概率，大多数教师、命题者和教材编写者都倾向于将注意力放在繁琐的概率运算上，而不关注学生对随机思想的理解。
新课程教材在内容编排上把概率放在“统计”一章之后、“计数原理”之前，在没有学习排列组合知识的情况下安排直接讲概率，这样减少了排列组合知识对理解概率、随机现象的干扰，淡化了繁琐的概率运算，有利于将重心拉回到对学生随机思想的培养上。
针对概率教学，《标准》明确指出：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活中遇到的一些错误认识。
但在现实的概率教学中，由于受升学压力的影响，教师在课堂上基本上采取的是考什么教什么的策略，再加上概率进入高中只有短短的几年，大多数教师还没有形成适合自己的教学方法和教学理念。
教师普遍感到难教，学生普遍感到难学。
相当一部分教师在教学过程中忽视学生的主动性和创造意识的培养，过分追求问题的封闭化、解题的模式化、答案的唯一性，从内容上忽视随机现象和不确定性，把重点放在对一些概念的死记硬背和对计算技能的重复训练上，结果造成学生学了概率统计不懂得随机思想，不会在日常生活中使用数据处理问题的现象。
教师采用的教学方法多是以教师讲授为主，学生动手试验的机会很少，教学方式基本上是一块黑板，两支粉笔，教学的目的侧重于让学生掌握考试大纲中的知识点，而非培养学生的随机思想。
概率是新课程下高中数学的主要组成部分，如何更好的搞好概率教学是必须要引起重视的问题。
随着概率进入高中课程的推进，人们对概率的重视程度日益加强，概率的教与学问题也逐步暴露出来，尤其是反映在学生的学习上。
根据学生的心理发展特征，高中生虽然已经具备学习概率统计知识的思维发展水平，但由于概率本身的不确定性与学生过去接触的确定性数学有很大的差别，加上我国高中概率教学又轻实验偏理论，尽管学生有一定概率学习基础，但在实际中还存在很大的问题。
近些年的高考反映高考数学概率题的普遍得分率不高，如2006年湖南高考平均得分6.64分，2008年重庆高考5.89分，2008年河南高考30万样卷抽样显示只有零点几分(满分13分)。
那么到底学生在概率的学习中犯了哪些错误?为什么会犯这些错误?这些都是亟待解决的问题。
1.2 研究问题据自己所收集的资料，以及和学生、老师的交流所得到的信息，很多同学在做概率题错误以后没有去找明确的原因，而是仅仅停留在把怎样把这个概率题解对的层面上，老师也没有去关注这样一个问题，鉴于以上事实，该论文着重研究以下两个问题：(1)现行高中教材中的概率题型以及正确的解题思路的探究。
(2)对学生错误的思想进行归纳并试图找到合适的建议。
1.3 研究意义通过这个研究，能够基本归纳出绝大部分高中概率的题型以及解决对策，为学生提供思路以及为老师在解决概率问题时提供参考，其次在了解学生的错误思路以后，老师在解决部分思路错误的学生的问题时也能够对症下药，达到能够帮助学生学习好这一部分内容的目的，为进一步促进高中数学的教学提供参考。
2 研究的设计与实施2.1 概率中基本概念（1）分类计数原理：它又称为加法原理，既完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中2m 有种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法。
那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
（2）分步计算原理：它又称为乘法原理，既完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事情共有n m m m N 21=种不同的方法。
（3）排列:一般地，从n 个元素中取出m 个元素（n m ≤），按照一定的顺序排成一列， 叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个排列。
从n 个元素中取出m 个元素（n m ≤）的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示，)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 。
（4）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素（n m ≤）并成一组，叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个组合。
从n 个元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示。
!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n+---== 。
（5）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件。
（6）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件。
（7）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。
（8）在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数。
比值nn A 称为事件A 发生的频率。
（9）一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A 发生的频率n n A 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的频率，记作)(A P ，且一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一个事件A 由几个基本事件组成，如果一次实验中可能出现的结果有n 个，即此实验由n 个基本事件组成。
而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是n 1。
如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nm A P =)( 。
2.2 关于学生学习概率情况调查 我于2009年3月份到遵义市高坪中学的高二年级的两个班分别进行了一次摸底测试，且于2010年的3月份到期间到川外附中实习三个星期，实习内容为批改学生的卷子和平时的作业，内容都是排列组合与概率知识。
根据自己的实际调查，得到如下调查资料。
（1）学生在没有能够理解透彻题目所需要求的问题时，片面或者主观的去理解题目，然而概率题型对审题的要求和仔细的理解是非常重要的，从而导致粗偶尔。