高中数学中古典概率应用上之易错处探究

高中数学中古典概率应用上之易错处探究

戴少奇

西南大学数学与统计学院，重庆，400715

摘要：本研究关注的是高中理科生在学习高中概率的过程中存在的典型错误及其错误的原因，本文通过对教材分析、课堂观察以及日常作业情况找出学生存在的典型错误，再参考教材及与在职教师的探讨后，根据所掌握的统计结果和学生的访谈情况对存在错误的可能性作出归因分析。

关键词：高中数学；概率；易错题；探究

Some explorations on error-prone exercise of classical

probability in high school mathematics

Dai Shaoqi

School of Mathematics and Statistics,Southwest University,Chongqing 400715,china

Abstract: This study focuses on the typical mistake of high school science students in the course of learing probability and the reasons of these mistake.we explore ther typical mistakes of the students by the analysis of the teaching materals,classroom observation,and daily operations.Finaly, according to teaching materials,the discussions with service teachers.available statistics and interviews with students,we give some attributiion analysis on the probability of the exercise of the errors.

Keywords: high school mathematics; probability; error-prone exercise; exploration

1. 问题的提出

1.1 研究背景

在日常生活中，人们经常要在不确定的情况下做出决定，如在买彩票时，要凭借每

一个号码出现的情况来预测结果,人们在乘坐飞机时都要根据该飞机的飞行状况来确定

是否买保险,我们常常根据自己的经验判断某一件事情发生的可能性大小等。可以这样

说，在我们所生活的世界上，充满了不确定性和随机性。因此我们就试图通过某一种确

定的东西来猜测这样一种不确定性，而这样一种能够提供给我们参考的数据就是某一件

事件发生的概率(probability),它在帮助人们正确的处理信息、作出合理的决策方面有

着很大的参考价值，同时也成为人们处理事情所必须掌握的基本素质之一。

从20世纪90年代后期起，概率又被重新列入“实验”，随着2001年《全日制义务

教育数学课程标准(实验稿)》的颁布，基础教育课程改革拉开序幕。2003年《普通高

中数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）的颁布，明确将概率列为必学的内容。2004年9月，普通高中新课程正式启动，广东、山东、海南、宁夏四省率先实验。截至2008年秋季，实验区已扩大到了全国十九个省、市。按照教育部的规划，2010年以前普通高中新课程将在全国全面铺开。但就目前高三学生来说，除了十个省、市（宁夏、广东、山东、海南、江苏、福建、浙江、辽宁、安徽、天津）使用的是依据《标准》编制的新课程教材外，其他大部分地区使用的仍然是依据2002年《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》），由人民教育出版社统一编制的《全日制普通高级中学教科书·数学》，即大纲版教材。由于《大纲》和《标准》对学生的要求不同，对概率知识的安排也有所不同。《大纲》将高中概率分为必修部分和选修部分，其中必修部分包括随机事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验等，约12课时，安排在高二下学期学习；选修部分的离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容仅理科生学习，约5课时，安排在高三上学期。《标准》基本上涵盖了《大纲》的内容，将频率与概率、互斥事件的概率及古典概型结合在一起，构成必修部分，安排在数学3，约8课时；把离散型随机变量及其分布列、超几何分布、相互独立事件、独立重复试验及二项分布、离散型随机变量的均值与方差等结合在一起构成选修部分，安排选修2-3次，约12课时。

大纲版教材是以古典概型为主，在学生具备排列组合知识的基础上引入概率，大多数教师、命题者和教材编写者都倾向于将注意力放在繁琐的概率运算上，而不关注学生对随机思想的理解。新课程教材在内容编排上把概率放在“统计”一章之后、“计数原理”之前，在没有学习排列组合知识的情况下安排直接讲概率，这样减少了排列组合知识对理解概率、随机现象的干扰，淡化了繁琐的概率运算，有利于将重心拉回到对学生随机思想的培养上。针对概率教学，《标准》明确指出：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活中遇到的一些错误认识。但在现实的概率教学中，由于受升学压力的影响，教师在课堂上基本上采取的是考什么教什么的策略，再加上概率进入高中只有短短的几年，大多数教师还没有形成适合自己的教学方法和教学理念。教师普遍感到难教，学生普遍感到难学。相当一部分教师在教学过程中忽视学生的主动性和创造意识的培养，过分追求问题的封闭化、解题的模式化、答案的唯一性，从内容上忽视随机现象和不确定性，把重点放在对一些

概念的死记硬背和对计算技能的重复训练上，结果造成学生学了概率统计不懂得随机思想，不会在日常生活中使用数据处理问题的现象。教师采用的教学方法多是以教师讲授为主，学生动手试验的机会很少，教学方式基本上是一块黑板，两支粉笔，教学的目的侧重于让学生掌握考试大纲中的知识点，而非培养学生的随机思想。概率是新课程下高中数学的主要组成部分，如何更好的搞好概率教学是必须要引起重视的问题。

随着概率进入高中课程的推进，人们对概率的重视程度日益加强，概率的教与学问题也逐步暴露出来，尤其是反映在学生的学习上。根据学生的心理发展特征，高中生虽然已经具备学习概率统计知识的思维发展水平，但由于概率本身的不确定性与学生过去接触的确定性数学有很大的差别，加上我国高中概率教学又轻实验偏理论，尽管学生有一定概率学习基础，但在实际中还存在很大的问题。近些年的高考反映高考数学概率题的普遍得分率不高，如2006年湖南高考平均得分6.64分，2008年重庆高考5.89分，2008年河南高考30万样卷抽样显示只有零点几分(满分13分)。那么到底学生在概率的学习中犯了哪些错误?为什么会犯这些错误?这些都是亟待解决的问题。

1.2 研究问题

据自己所收集的资料，以及和学生、老师的交流所得到的信息，很多同学在做概率题错误以后没有去找明确的原因，而是仅仅停留在把怎样把这个概率题解对的层面上，老师也没有去关注这样一个问题，鉴于以上事实，该论文着重研究以下两个问题：

(1)现行高中教材中的概率题型以及正确的解题思路的探究。

(2)对学生错误的思想进行归纳并试图找到合适的建议。

1.3 研究意义

通过这个研究，能够基本归纳出绝大部分高中概率的题型以及解决对策，为学生提供思路以及为老师在解决概率问题时提供参考，其次在了解学生的错误思路以后，老师在解决部分思路错误的学生的问题时也能够对症下药，达到能够帮助学生学习好这一部分内容的目的，为进一步促进高中数学的教学提供参考。

2 研究的设计与实施

2.1 概率中基本概念

（1）分类计数原理：它又称为加法原理，既完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中2m 有种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法。那么完成这件事情共有