第2章静电场和恒定电流电场

金 铝 黄铜 铁
淡水
干土 变压器油 玻璃 橡胶
10 11
10 12
1.57 10 7
10 7
10 15
二. 恒流电场的电位方程
媒质中
2
J 0 E 0 J E E
——恒流电场的电位方程

0
介质中
D 0
E
边界条件：
例3 求半径为a，电量为Q 的均匀带电球体所产生的电 位，已知球内是介电常数为 的电介质，球外是真空。 解 因为电荷球对称分布，当取球心为原点的球坐标系 时，它所产生的电位仅是r 的函数，故电位方程为：
1 d 2 d 2 ( r ) , ( r a ) 1 2 r dr dr 1 d d 2 2 (r ) 0, (r a) 2 2 r dr dr 2 Qr A 1 B, (r a) 3 8 a r C D, (r a) 2 r
E1t E2t s D1n D2 n 0
C Et 0 s Dn s n
六
静电场的能量
E , D ( D) D D
0
2
——恒流电场的电位方程
三. 恒流电场的边界条件
（推导过程和电磁场边界条件的推导方法类似）
1.不同导电媒质分界面上的边界条件
1 2 E1t E2t 1 2 J J 1 2 2n 1n n n ˆ ( E1 E2 ) 0 n 另一种表示方法 ˆ ( J1 J 2 ) 0 n 2.导电媒质和理想介质（ 0）分界面上的边界条件 ˆ ( E1 E2 ) 0 n E1t E2t 或 ˆ ( J1 J 2 ) 0 J1n J 2 n 0 n 在导电媒质表面： D1n s 或 n ˆ D1 s
E 0,
五
静电场的边界条件
E1t E2t s 两种媒质分界面上的面电荷密度 D1n D2 n 0 ˆ ˆ E E t t / t t E ˆ n ˆ / n En E n 1 2 1 2 表明: 在介质分界面 上，电位是连续的。 t t Dn En n 表明: 在一般情况下, 1 2 s ( s 0) ，电位的导数 1 2 是不连续的。 n n 0
与该点的电场强度 E 成正比，即
J E
欧姆定律的微分形式
电导率为无限大的导体称为理想导体。电导率为零的媒质，不
具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 媒 质
银
电导率(S/m)
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107
媒 质
海水
电导率
4
10 3
10 5
紫铜
例1 平行板电容器极板平面的尺寸远大于它们之间的距 离d，两极板间加恒定电压 U 0 ，极板间的介电常数为， 其中一半空间有体电荷均匀分布，体电荷密度为 ，分 界面与极板平行。试求极板间的电位分布。 解
d 2 0 x , 1 2 d 2 0, xd 2 2 2与坐标y，z 无 因为1 ，
d 0 x 2 d xd 2
例2 无限长同轴圆柱，已知内导体半径为 R1，外导体半 径为 R2，内外导体间充以介电常数为 的电介质，内导 体电位为 U，外导体电位为0，求内外导体间电场及内外 导体上的电荷分布。 解
2
取柱坐标系，内外导体间的电位方程为：
1 d d (r ) 0 (r ) C1 ln r C2 r dr dr
I
D
B 0 t
B E t
导电 恒流电场在电介质中 媒质 是保守场，可引入电 位 ，即：E=-▽
电 介 质
E 0
D 0

l
E dl 0
S
微分形式

D ds 0
积分形式
2. 在导电媒质内
E 0
电荷守恒定律的微分形式：
U 0 3 d C1 d 8 C2 0 U0 d C3 d 8 d x 2 2 d C 4 8
2 U 0 3 d 1 x ( )x 2 d 8 2 (U 0 d ) x d 2 d 8 8
I
导电 媒质 电 介 质
J t t
——电流连续性方程 恒流电场在导电媒质 中是保守场，可引入 J 0 0 电位 ，即：E=-▽
E 0 J 0

l
E dl 0
Sห้องสมุดไป่ตู้
微分形式

J ds 0
积分形式
在外源的作用下，大多数导电媒质中某点的传导电流密度 J
三. 电位与电场强度的关系
O
E
P
P O P E dl O E dl
令 O
四. 电位方程
0 ，则 P 零点 E dl
P
D E / E 2 E / 2 / —— 电位的泊松方程 在没有电荷的无源区： 0 2 0 —— 电位的拉普拉斯方程
四. 电容和电导
1
2
q 电容 C U
I 电导 G U
例2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。
计算两个端面之间的电阻。 y 解 显然，必须选用圆柱坐标系。设
U t (r,)
两个端面之间的电位差为U，且令
r
当角度 时，电位 0
0
x
。 1 0
0

a b
当角度 时，电位
第一节 静电场的基本规律 一. 静电场的基本方程
静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的 电荷所产生的电场。 D ds dV q D
H J
S
V
B E t D
B 0
静电场的
t

D l H dl S ( J t ) dS B l E dl S t dS
Qr A 1 B, (r a) 3 8 a r C D, (r a ) 2 r r 时， 2 0，则D 0 边 r 0时，1应有限，则A 0 界 Q C 条 1 B 2 r a r a 8 a a 件 1 2 Q 0 C r r a 4 0 r r a
1 W E Ddv （1） 2
E D D ( D) D ( D)
1 1 W dv ( D)dv 2 2 （高斯定理） ( D ) dv D dS 1 1 W dv D dS 2 2 1 1 通常 = 0 W dv （2） D dS 2 2
关，电位方程可简化为：


d
x

2
O
d 1 1 , 2 dx
2 2
d 2 2 0, 2 dx
2
2 x C1 x C2 1 解得： 2 2 C3 x C4
边界条件：

d
x
O

1 (0) 0 d d 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 1 2 1 x x x d 2 2 (d ) U 0
C1 ln R1 C2 U r R1 , ( R1 ) U C1 ln R2 C2 0 r R2 , ( R2 ) 0 U ln R2 U C1 , C2 ln R1 / R2 ln R1 / R2 U ln R2 U (r ) ln r ln R1 / R2 ln R1 / R2 v U 电场强度： ˆ ˆ E (r ) r r r r ln R2 / R1 s Dn U U s ( R1 ) , s ( R2 ) R1 ln R2 / R1 R2 ln R2 / R1
2
。 2 U
电位 仅与角度 有关，电位满足的方程式
d 0 2 d
2
此式的通解为
C1 C2
利用给定的边界条件，求得 2U 导电媒质中的电流密度 J 为
2U J E e e r r
那么由
S
B ds 0
有源无旋场 基本方程
E 0
D


l
S
E dl 0
D ds dV
V
二.
1.
电位
电位的引出

l
E dl 0
静电场是保守场（无旋场） 根据矢量恒等式
E 0,
0
E
标量函数 称为电位。因此，上式表明静电场在 某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。
2. 已知电荷分布，求电位 1). 点电荷的电位
P (r )
q 4 r
N
qi i 1 r i 1 dq 3). 连续分布带电体的电位 ( r ) 4 v r 1 dl (r ) 线分布： 注意：以上都 4 r 是将电位零点定于 1 dS 无限远处，但对无 面分布： ( r ) 4 r 限大带电体须选有 1 dv 限远处某点为电势 体分布： (r ) 4 r 零点。 1 2). 点电荷系的电位 P (r ) 4
当分界面为导体与电介质的交界 面时，由于导体的特殊性质，在导体和介质的分解面上 的边界条件有其特点。导体在静电场中有以下性质：
1）导体内部不带电，电荷只分布在导体表面上； 2）导体内部电场为零；
3）导体表面电场方向为法线方向，导体是个等势体， 表面是等势面。 导体和电介质分界面上的边界条件为：
3. 具有漏电电流的两非理想介质分界面的边界条件
E1t E2t ˆ ( E1 E2 ) 0 n J1n J 2 n ˆ ( J1 J 2 ) 0 n D D 2n s 1n ˆ n ( D D ) 1 2 s J1n J 2 n 1E1n 2 E2 n D1n D2n s 1E1n 2 E2 n s 1 2 s ( ) J 2n
2
解得：
B
2
Q 8 a

Q 4 0 a
(r a) (r a)
Qr Q 2 2 1 8 a 3 (a r ) 4 a , 0 Q , 2 4 0 r
第二节 恒定电流电场的基本规律 一. 恒流电场的基本方程
1. 导电媒质外的电介质中