2019届河南省天一大联考高三阶段性测试(六)数学(理)试题(解析版)

12．已知函数 ，若函数 无零点，则实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用导数研究函数 的单调性并求极值，作出函数 的图像，数学结合得到答案.
【详解】
由题得， 且 ，令 ，可知函数 单调递增，且 ，故当 时， ，当 时， .故函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，作出函数 的图象如下图所示，令 ，得 ，观察可知 ，即 .
（Ⅰ） 平面ABC， 平面ABC， .
， .
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 .
（Ⅱ）以C为坐标原点，以 为x轴正方向， 为y轴正方向，垂直平面ABC向上的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则 .
所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
得 ，令 ，得 ，故 .
设直线DE与平面 所成的角为 ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，再根据 ，即得.
【详解】
由题得， ，因为 ，故Байду номын сангаас，解得 .
故选：A
【点睛】
本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，是基础题.
3．某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在 的概率为（）
6．设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 交于 ， 两点，其中 在左支上， 在右支上.若 ，则 （）
A． B．8C． D．4
【答案】A
【解析】由 得 ，再由定义即可求解
【详解】
由 可知， .由双曲线定义可知， ， ，两式相加得， .
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.
故选：A
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，以及由单调性求函数值域.
10．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作 ，垂足为A'，若四边形AA'PF的面积为14，且 ，则抛物线C的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点F作 ，垂足为F'.设 ，根据 和抛物线定义，可得 ， ， ，以及 与 的关系，再由四边形 的面积为 ，解出 即得.
则 .
故DE与平面 夹角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查空间线面的位置关系，向量法求线面角，考查空间想象能力，运算求解能力以及数形结合思想.
19．某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.
（Ⅰ）设消费者的年龄为 ，对该款智能家电的评分为 .若根据统计数据，用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ，且年龄 的方差为 ，评分 的方差为 .求 与 的相关系数 ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 .
【解析】（Ⅰ）由参数方程化普通方程消去 得 ，再利用普通方程化极坐标方程即可；（Ⅱ）设直线 的方程为 ，求圆心到直线 的距离 ，再由弦长公式求解即可
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【解析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a,n,S的值，当S= 1.2时满足条件 退出循环输出n的值从而得解
【详解】
运行该程序，第一次， ， ；第二次， ， ；第三次， ， ；第四次， ， ；第五次， ， ；第六次， ，此时输出的 的值为6
故选：C
【点睛】
本题考查数学文化、算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想.
【详解】
当 时，原式化为 ；当 时， ，即 ，即 ，依次迭代， ，故 ， ， 均符合该式，故 .
故答案为1840
【点睛】
本题考查数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想，是中档题
三、解答题
17．如图所示，锐角 中， ，点D在线段BC上，且 ， 的面积为 ，延长BA至E，使得 .
（Ⅰ）求AD的值；
所以 ，即 .
故当 时， .
【点睛】
本题考查导数与函数的单调性、最值，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题
22．已知平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】确定迟到次数在 的人数即可求解
【详解】
依题意，该公司共有20名员工，其中迟到次数在 的有6人，故所求概率 .
故选：C
【点睛】
本题考查茎叶图、概率的计算，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
4．记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （）
A．64B．48C．36D．24
18．如图，三棱柱 中， ， ， 平面ABC， ， ，D，E分别是AC， 的中点.
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求DE与平面 夹角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的判断定理，即得；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得向量 和平面 的法向量，由向量的数量积公式计算即得.
【详解】
【详解】
作出图形如下所示，过点F作 ，垂足为F'.设 ，因为 ，故 ， ，由抛物线定义可知， ，则 ，故 ，四边形 的面积 ，解得 ，故抛物线C的方程为 .
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的定义与方程，考查运算求解能力和数形结合思想.
11．如图所示，体积为8的正方体 中，分别过点 ， ， 作 ， ， 垂直于平面 ，垂足分别为 ， ， ，则六边形 的面积为（）
（Ⅱ）若 ，求AE的值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）根据 ，可得 的值，再由余弦定理计算即得；（Ⅱ）由 ，可得 ，根据诱导公式和正弦定理计算即得.
【详解】
（Ⅰ）在 中，
，
.
， .
由余弦定理得 ，得 .
（Ⅱ） ， .
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，所以 .
【点睛】
本题考查诱导公式，三角形的面积公式，正余弦定理，是常考题型.
由 得 或 ；
当 ，即 时，由 得 ，
由 得 或 .
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
（Ⅱ）要证： .
即证： ，
即证： ，
即证： .
令 .
.
因为 ，所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
【点睛】
本题考查回归直线方程、独立性检验，考查推理论证能力、运算求解能力以及数据分析能力.
20．已知 的周长为6， ， 关于原点对称，且 .点 的轨迹为 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，若 ， ， 成等差数列，求 的值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）2.
【解析】（Ⅰ）由椭圆定义得轨迹方程即可；（Ⅱ）依题意得 ，得 ，联立 消去y，整理 代入韦达定理得 即可
2019届河南省天一大联考高三阶段性测试（六）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先求集合A,再利用交集运算求解即可
【详解】
依题意， ，故 .
故选：D
【点睛】
本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
2．设复数 ，若 ，则 （）
（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有 的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.
好评
差评
青年
8
16
中老年
20
6
附：线性回归直线 的斜率 ；相关系数 ，独立性检验中的 ，其中 .
临界值表：
0.050
0.010
0.001
A． B． C．12D．
【答案】A
【解析】作出六边形 ,由几何关系得六边形 为正六边形故面积可求
【详解】
依题意， .因为 ，故 在平面 的投影 ，同理 ，作出六边形 ，六边形 为正六边形，如图所示，由三角形 的边长 ，知 ，故所求六边形的面积 .
故选A
【点睛】
本题考查利用空间几何体的结构，考查空间想象能力、推理论证能力以及数形结合思想.
故选：C
【点睛】
本题考查三视图，柱体和锥体的体积公式，考查空间想象能力.
9．若函数 的图象关于原点对称，则函数 在 上的值域为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数 的图象关于原点对称，可知 为奇函数，可得 ，再由函数单调性可得值域.
【详解】
由题得，函数 为奇函数，故 ，解得 ，故 ，故函数 在 上单调递增，当 时， ，当 时， ，故函数 在 上的值域为 .
故选：D
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，是基础题.
8．如图，小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．68B．72C．84D．106
【答案】C
【解析】根据三视图做出几何体的直观图，可知该几何体为三棱柱 切割掉三棱锥 所得的几何体，计算 即得.
【详解】
作出该几何体的直观图如下所示，观察可知，该几何体为三棱柱 切割掉三棱锥 所得的几何体，故所求体积 .
【答案】-455
【解析】由二项式定理的通项公式求解即可
【详解】
依题意， 的系数为 .